Algorithmique et structures de données : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 6 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Théorie des graphes

Lemme des poignées de main
Σ deg(v) = 2|E|
Graphes complets
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Graphe régulier
|E| = n·k/2
Arbre et forêt
|E| = n − 1, |E| = n − c
Feuilles d’un arbre
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuit : tous les degrés pairs ; chemin : exactement 2 degrés impairs
Circuits hamiltoniens dans Kn
(n − 1)!/2
Mise à jour de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Marches de longueur L
(Mᴸ)ij

Méthode

  1. Notez le degré de chaque sommet ; la somme des degrés vaut deux fois le nombre d’arêtes.
  2. Pour les questions d’Euler, vérifiez que le graphe est connexe et comptez les sommets de degré impair.
  3. Pour les arbres, utilisez n − 1 arêtes et le lemme des poignées de main.
  4. Pour Dijkstra, tenez un tableau des distances provisoires et fixez à chaque tour le sommet non fixé de plus petite distance.
  5. Pour un arbre couvrant minimal, triez les arêtes par poids et sautez toute arête qui ferme un cycle (Kruskal), ou faites croître un arbre à partir d’un sommet de départ (Prim).

2Exercices

1.Algorithmes et complexitéMoyen

La borne inférieure du tri par comparaisons dans le pire cas est :

  1. AΩ(log n)
  2. BΩ(n²)
  3. CΩ(n)
  4. DΩ(n log n)
2.Algorithmes et complexitéDifficile

Pour montrer qu'un nouveau problème X est NP-difficile, que faut-il faire ?

  1. AMontrer que X peut être vérifié en temps polynomial
  2. BRéduire X à un problème NP-difficile connu en temps polynomial
  3. CRéduire un problème NP-difficile connu à X en temps polynomial
  4. DMontrer que X n'a pas d'algorithme polynomial pour les petites entrées
3.Structures de donnéesMoyen

Un arbre binaire a pour racine 1, avec 2 comme enfant gauche et 3 comme enfant droit ; le nœud 2 a pour enfants 4 (gauche) et 5 (droit). Quel est le parcours postfixe ?

  1. A1 2 4 5 3
  2. B4 5 2 3 1
  3. C4 2 5 1 3
  4. D5 4 3 2 1
4.Structures de donnéesDifficile

Comment détecter si une liste simplement chaînée contient un cycle avec O(1) mémoire supplémentaire ?

  1. ATrier la liste et chercher des doublons
  2. BStocker chaque nœud visité dans un ensemble haché
  3. CCompter les nœuds jusqu'à dépasser le champ de longueur de la liste
  4. DAvancer un pointeur d'un pas et un autre de deux pas, et vérifier s'ils se rencontrent
5.Théorie des graphesMoyen

Un graphe connexe a 7 sommets et 11 arêtes. Combien d’arêtes k faut-il retirer pour obtenir un arbre couvrant ?

|V| = 7|E| = 11
k =
6.Théorie des graphesDifficile
81026101412114513ABCDEFG

L’algorithme de Dijkstra part de A. Cliquez sur le sommet qui est fixé (rendu définitif) au tour 3 ; A lui-même est le tour 1.

départ : Atour 3
  1. 1A
  2. 2B
  3. 3C
  4. 4D
  5. 5E
  6. 6F
  7. 7G

3Solutions

1.Algorithmes et complexité

Réponse: D · Ω(n log n)

Pourquoi c'est la réponse

Tout tri par comparaisons nécessite au moins log₂(n!) ≈ n log n comparaisons dans le pire cas. Le tri par dénombrement fait mieux car il n'effectue pas de comparaisons.

Réponse

D · Ω(n log n)
2.Algorithmes et complexité

Réponse: C · Réduire un problème NP-difficile connu à X en temps polynomial

Pourquoi c'est la réponse

Si un problème difficile connu peut être transformé efficacement en X, un algorithme rapide pour X résoudrait aussi le problème connu.

Réponse

C · Réduire un problème NP-difficile connu à X en temps polynomial
3.Structures de données

Réponse: B · 4 5 2 3 1

Pourquoi c'est la réponse

Le parcours postfixe traite 4 et 5 avant 2, puis 3, et enfin la racine 1.

Réponse

B · 4 5 2 3 1
4.Structures de données

Réponse: D · Avancer un pointeur d'un pas et un autre de deux pas, et vérifier s'ils se rencontrent

Pourquoi c'est la réponse

Dans l'algorithme de Floyd, s'il y a un cycle, le pointeur rapide finit par rattraper le lent ; sinon, le pointeur rapide atteint null.

Réponse

D · Avancer un pointeur d'un pas et un autre de deux pas, et vérifier s'ils se rencontrent
5.Théorie des graphes

Réponse: k = 5

Euler, Hamilton et arbres : un graphe connexe a un circuit eulérien (chaque arête une fois, retour au départ) quand tous les sommets ont un degré pair, et un chemin eulérien qui n’est pas un circuit quand exactement deux sommets ont un degré impair ; le chemin va alors d’un sommet impair à l’autre. Un circuit hamiltonien visite chaque sommet une fois ; Kn en a (n − 1)!/2. Un arbre à n sommets a n − 1 arêtes, et un graphe connexe à m arêtes conserve un arbre couvrant après suppression de m − n + 1 arêtes.

Arêtes d’un arbre couvrant

7 − 1 = 6

Arêtes à retirer

k = 11 − 6 = 5

Réponse

k = 5
6.Théorie des graphes

Réponse: G

Plus courts chemins et arbres couvrants : l’algorithme de Dijkstra fixe un sommet par tour : le sommet non fixé de plus petite distance provisoire. Sa distance est alors définitive, et chaque voisin v reçoit d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). L’algorithme de Kruskal construit un arbre couvrant minimal en prenant les arêtes de la plus légère à la plus lourde et en sautant toute arête qui fermerait un cycle ; l’algorithme de Prim fait croître un arbre à partir d’un sommet de départ en ajoutant toujours l’arête la plus légère qui en sort. Un arbre couvrant à n sommets a n − 1 arêtes.

Dijkstra tour par tour

1. A (0): B: 8, C: 10
2. B (8): D: 14, G: 9
3. G (9): E: 22
4. C (10)
5. D (14): F: 28
6. E (22)
7. F (28)

tour 3

G

Réponse

G

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