Algorithmique et structures de données : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 6 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Théorie des graphes

Lemme des poignées de main
Σ deg(v) = 2|E|
Graphes complets
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Graphe régulier
|E| = n·k/2
Arbre et forêt
|E| = n − 1, |E| = n − c
Feuilles d’un arbre
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuit : tous les degrés pairs ; chemin : exactement 2 degrés impairs
Circuits hamiltoniens dans Kn
(n − 1)!/2
Mise à jour de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Marches de longueur L
(Mᴸ)ij

Méthode

  1. Notez le degré de chaque sommet ; la somme des degrés vaut deux fois le nombre d’arêtes.
  2. Pour les questions d’Euler, vérifiez que le graphe est connexe et comptez les sommets de degré impair.
  3. Pour les arbres, utilisez n − 1 arêtes et le lemme des poignées de main.
  4. Pour Dijkstra, tenez un tableau des distances provisoires et fixez à chaque tour le sommet non fixé de plus petite distance.
  5. Pour un arbre couvrant minimal, triez les arêtes par poids et sautez toute arête qui ferme un cycle (Kruskal), ou faites croître un arbre à partir d’un sommet de départ (Prim).

2Exercices

1.Algorithmes et complexitéMoyen

Un algorithme glouton :

  1. AEssaie toutes les solutions possibles
  2. BN'utilise que la récursivité
  3. CDonne toujours la solution optimale
  4. DFait le meilleur choix local à chaque étape
2.Algorithmes et complexitéDifficile

Comment se comparent n! et 2ⁿ pour n grand ?

  1. AIls croissent au même rythme
  2. Bn! croît plus vite que 2ⁿ
  3. C2ⁿ croît plus vite que n!
  4. Dn! est O(n²)
3.Structures de donnéesMoyen

Que se passe-t-il lorsqu'une table de hachage est rehachée après que son facteur de charge a dépassé un seuil ?

  1. ALes clés les plus anciennes sont supprimées pour faire de la place
  2. BSeules les clés en collision sont déplacées dans une nouvelle liste de débordement à la fin de la table
  3. CLes clés existantes sont triées sur place
  4. DUne table plus grande est allouée et chaque clé y est réinsérée
4.Structures de donnéesDifficile

Un arbre de segments (segment tree) est généralement utilisé pour :

  1. AImplémenter une pile
  2. BTrier des chaînes par ordre alphabétique en stockant chaque préfixe dans un nœud distinct de l'arbre
  3. CStocker les arêtes d'un graphe
  4. DRépondre à des requêtes sur intervalles (comme des sommes d'intervalles) et à des mises à jour en O(log n)
5.Théorie des graphesMoyen

Un arbre a 3 sommets de degré 3, 3 sommets de degré 5, et tous ses autres sommets sont des feuilles (degré 1). Combien de feuilles L a-t-il ?

3 × deg 33 × deg 5
L =
6.Théorie des graphesDifficile
ABCDEF

Combien de marches fermées de longueur 2 partent de D et y reviennent ? Une marche peut répéter des sommets et des arêtes. Appelez ce nombre N.

M = matrice d’adjacenceL = 2
N =

3Solutions

1.Algorithmes et complexité

Réponse: D · Fait le meilleur choix local à chaque étape

Pourquoi c'est la réponse

Les algorithmes gloutons sont rapides et optimaux pour certains problèmes (par ex. Dijkstra, codage de Huffman), mais pas en général (par ex. le rendu de monnaie avec certains systèmes de pièces).

Réponse

D · Fait le meilleur choix local à chaque étape
2.Algorithmes et complexité

Réponse: B · n! croît plus vite que 2ⁿ

Pourquoi c'est la réponse

Pour n ≥ 4, n! dépasse 2ⁿ, et le rapport croît sans borne car chaque facteur supplémentaire de n! est supérieur à 2.

Réponse

B · n! croît plus vite que 2ⁿ
3.Structures de données

Réponse: D · Une table plus grande est allouée et chaque clé y est réinsérée

Pourquoi c'est la réponse

Comme l'indice est calculé modulo la taille de la table, toutes les clés doivent être rehachées dans la nouvelle table, plus grande ; en doublant la taille, le coût reste O(1) amorti.

Réponse

D · Une table plus grande est allouée et chaque clé y est réinsérée
4.Structures de données

Réponse: D · Répondre à des requêtes sur intervalles (comme des sommes d'intervalles) et à des mises à jour en O(log n)

Pourquoi c'est la réponse

Un arbre de segments stocke des agrégats pour des intervalles et permet des requêtes sur intervalles et des mises à jour ponctuelles en temps O(log n).

Réponse

D · Répondre à des requêtes sur intervalles (comme des sommes d'intervalles) et à des mises à jour en O(log n)
5.Théorie des graphes

Réponse: L = 14

Euler, Hamilton et arbres : un graphe connexe a un circuit eulérien (chaque arête une fois, retour au départ) quand tous les sommets ont un degré pair, et un chemin eulérien qui n’est pas un circuit quand exactement deux sommets ont un degré impair ; le chemin va alors d’un sommet impair à l’autre. Un circuit hamiltonien visite chaque sommet une fois ; Kn en a (n − 1)!/2. Un arbre à n sommets a n − 1 arêtes, et un graphe connexe à m arêtes conserve un arbre couvrant après suppression de m − n + 1 arêtes.

Lemme des poignées de main pour un arbre

L + 24 = 2(L + 6) − 2
L = 14

Réponse

L = 14

Raccourci : L = 2 + Σ (d − 2) sur les sommets de degré d ≥ 3.

6.Théorie des graphes

Réponse: N = 3

Degrés : le degré d’un sommet est le nombre d’arêtes qui y aboutissent. Chaque arête a deux extrémités, donc les degrés totalisent deux fois le nombre d’arêtes : Σ deg(v) = 2|E| (le lemme des poignées de main). Le nombre de sommets de degré impair est donc pair. Kn a n(n − 1)/2 arêtes, un graphe k-régulier à n sommets en a nk/2, et un arbre à n sommets a n − 1 arêtes.

Matrice d’adjacence

A: 0 1 1 0 0 0
B: 1 0 0 1 1 0
C: 1 0 0 0 0 0
D: 0 1 0 0 1 1
E: 0 1 0 1 0 1
F: 0 0 0 1 1 0

Voisins communs

(M²)DD = 0·0 + 1·1 + 0·0 + 0·0 + 1·1 + 1·1 = 3

Réponse

N = 3

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