Algorithmique et structures de données : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 6 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Théorie des graphes

Lemme des poignées de main
Σ deg(v) = 2|E|
Graphes complets
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Graphe régulier
|E| = n·k/2
Arbre et forêt
|E| = n − 1, |E| = n − c
Feuilles d’un arbre
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuit : tous les degrés pairs ; chemin : exactement 2 degrés impairs
Circuits hamiltoniens dans Kn
(n − 1)!/2
Mise à jour de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Marches de longueur L
(Mᴸ)ij

Méthode

  1. Notez le degré de chaque sommet ; la somme des degrés vaut deux fois le nombre d’arêtes.
  2. Pour les questions d’Euler, vérifiez que le graphe est connexe et comptez les sommets de degré impair.
  3. Pour les arbres, utilisez n − 1 arêtes et le lemme des poignées de main.
  4. Pour Dijkstra, tenez un tableau des distances provisoires et fixez à chaque tour le sommet non fixé de plus petite distance.
  5. Pour un arbre couvrant minimal, triez les arêtes par poids et sautez toute arête qui ferme un cycle (Kruskal), ou faites croître un arbre à partir d’un sommet de départ (Prim).

2Exercices

1.Algorithmes et complexitéMoyen

Une fonction exécute une boucle de n itérations, puis, séparément, une autre boucle de n itérations. Quelle est sa complexité temporelle ?

  1. AO(n)
  2. BO(log n)
  3. CO(2ⁿ)
  4. DO(n²)
2.Algorithmes et complexitéDifficile

Quel énoncé sur la notation petit o est correct ?

  1. An = o(n²), mais n n'est pas o(n)
  2. Bn² = o(n)
  3. Cn = o(n), puisque toute fonction est un petit o d'elle-même
  4. D2n = o(n), car 2n croît lentement
3.Structures de donnéesMoyen

Quelle condition d'équilibre un arbre AVL maintient-il en chaque nœud ?

  1. AChaque nœud est colorié en rouge ou en noir
  2. BToutes les feuilles sont exactement à la même profondeur
  3. CLes hauteurs des sous-arbres gauche et droit diffèrent d'au plus 1
  4. DLes deux sous-arbres de chaque nœud contiennent exactement le même nombre de nœuds
4.Structures de donnéesDifficile

Quel est le temps d'exécution d'un parcours en largeur sur un graphe à V sommets stocké sous forme de matrice d'adjacence ?

  1. AO(V + E)
  2. BO(E log V)
  3. CO(V²)
  4. DO(V)
5.Théorie des graphesMoyen

Un arbre a 3 sommets de degré 3, 2 sommets de degré 4, 3 sommets de degré 5, 3 sommets de degré 2, et tous ses autres sommets sont des feuilles (degré 1). Combien de feuilles L a-t-il ?

3 × deg 32 × deg 43 × deg 53 × deg 2
L =
6.Théorie des graphesDifficile
2017231184ABCDE

L’algorithme de Kruskal construit un arbre couvrant minimal. Cliquez sur l’arête qu’il ajoute en numéro 2 ; les arêtes sautées ne comptent pas.

k = 2
  1. 1arête AB
  2. 2arête AC
  3. 3arête BC
  4. 4arête BD
  5. 5arête CE
  6. 6arête DE
  7. 7arête BE

3Solutions

1.Algorithmes et complexité

Réponse: A · O(n)

Pourquoi c'est la réponse

n + n = 2n, et les facteurs constants sont supprimés : la fonction est donc O(n).

Réponse

A · O(n)
2.Algorithmes et complexité

Réponse: A · n = o(n²), mais n n'est pas o(n)

Pourquoi c'est la réponse

f = o(g) signifie que f(n) / g(n) tend vers 0 ; n / n² tend vers 0, mais n / n = 1 non.

Réponse

A · n = o(n²), mais n n'est pas o(n)
3.Structures de données

Réponse: C · Les hauteurs des sous-arbres gauche et droit diffèrent d'au plus 1

Pourquoi c'est la réponse

Le facteur d'équilibre (hauteur gauche − hauteur droite) doit valoir −1, 0 ou 1 ; des rotations le rétablissent après les insertions et les suppressions.

Réponse

C · Les hauteurs des sous-arbres gauche et droit diffèrent d'au plus 1
4.Structures de données

Réponse: C · O(V²)

Pourquoi c'est la réponse

Chacun des V sommets parcourt une ligne de V cases, ce qui donne O(V²) ; avec des listes d'adjacence, le BFS est en O(V + E).

Réponse

C · O(V²)
5.Théorie des graphes

Réponse: L = 18

Euler, Hamilton et arbres : un graphe connexe a un circuit eulérien (chaque arête une fois, retour au départ) quand tous les sommets ont un degré pair, et un chemin eulérien qui n’est pas un circuit quand exactement deux sommets ont un degré impair ; le chemin va alors d’un sommet impair à l’autre. Un circuit hamiltonien visite chaque sommet une fois ; Kn en a (n − 1)!/2. Un arbre à n sommets a n − 1 arêtes, et un graphe connexe à m arêtes conserve un arbre couvrant après suppression de m − n + 1 arêtes.

Lemme des poignées de main pour un arbre

L + 38 = 2(L + 11) − 2
L = 18

Réponse

L = 18

Raccourci : L = 2 + Σ (d − 2) sur les sommets de degré d ≥ 3.

6.Théorie des graphes

Réponse: arête BD

Plus courts chemins et arbres couvrants : l’algorithme de Dijkstra fixe un sommet par tour : le sommet non fixé de plus petite distance provisoire. Sa distance est alors définitive, et chaque voisin v reçoit d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). L’algorithme de Kruskal construit un arbre couvrant minimal en prenant les arêtes de la plus légère à la plus lourde et en sautant toute arête qui fermerait un cycle ; l’algorithme de Prim fait croître un arbre à partir d’un sommet de départ en ajoutant toujours l’arête la plus légère qui en sort. Un arbre couvrant à n sommets a n − 1 arêtes.

Algorithme de Kruskal

1. BC (2)
2. BD (3)
3. BE (4)
4. AC (17)

numéro de l’arête 2

BD

Réponse

arête BD

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