Algorithmique et structures de données : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 6 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Théorie des graphes

Lemme des poignées de main
Σ deg(v) = 2|E|
Graphes complets
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Graphe régulier
|E| = n·k/2
Arbre et forêt
|E| = n − 1, |E| = n − c
Feuilles d’un arbre
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuit : tous les degrés pairs ; chemin : exactement 2 degrés impairs
Circuits hamiltoniens dans Kn
(n − 1)!/2
Mise à jour de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Marches de longueur L
(Mᴸ)ij

Méthode

  1. Notez le degré de chaque sommet ; la somme des degrés vaut deux fois le nombre d’arêtes.
  2. Pour les questions d’Euler, vérifiez que le graphe est connexe et comptez les sommets de degré impair.
  3. Pour les arbres, utilisez n − 1 arêtes et le lemme des poignées de main.
  4. Pour Dijkstra, tenez un tableau des distances provisoires et fixez à chaque tour le sommet non fixé de plus petite distance.
  5. Pour un arbre couvrant minimal, triez les arêtes par poids et sautez toute arête qui ferme un cycle (Kruskal), ou faites croître un arbre à partir d’un sommet de départ (Prim).

2Exercices

1.Algorithmes et complexitéMoyen

Quelle est la solution de la récurrence T(n) = 2T(n/2) + O(1) ?

  1. AO(n log n)
  2. BO(n²)
  3. CO(n)
  4. DO(log n)
2.Algorithmes et complexitéDifficile

Quel algorithme trouve un arbre couvrant de poids minimal en ajoutant de façon répétée l'arête la moins coûteuse qui ne forme pas de cycle ?

  1. AL'algorithme de Dijkstra
  2. BFloyd-Warshall
  3. CL'algorithme de Prim à partir d'un seul nœud
  4. DL'algorithme de Kruskal
3.Structures de donnéesMoyen

Quel est le coût de l'insertion d'un élément au milieu d'un tableau de n éléments ?

  1. AO(n²), car chaque élément se déplace n fois
  2. BO(log n), grâce à la recherche dichotomique
  3. CO(1), car l'indice est connu
  4. DO(n), car les éléments suivants doivent être décalés
4.Structures de donnéesDifficile

Un objet est stocké comme clé dans une table de hachage (hash map), puis un champ utilisé par sa fonction de hachage est modifié. Quel est le résultat probable ?

  1. ALa table lève une erreur au moment où le champ change
  2. BRien ne change, car le hachage d'une clé n'est calculé qu'une seule fois au démarrage du programme
  3. CLa recherche de l'objet peut échouer car il se trouve dans le compartiment de son ancien hachage
  4. DLa table déplace automatiquement la clé dans son nouveau compartiment
5.Théorie des graphesMoyen

Un arbre a 4 sommets de degré 4, 4 sommets de degré 5, 2 sommets de degré 2, et tous ses autres sommets sont des feuilles (degré 1). Combien de feuilles L a-t-il ?

4 × deg 44 × deg 52 × deg 2
L =
6.Théorie des graphesDifficile
14314254129ABCDEF

Utilisez l’algorithme de Dijkstra pour trouver la longueur d(F) du plus court chemin de A à F dans le graphe pondéré.

départ : Aarrivée : F
d(F) =

3Solutions

1.Algorithmes et complexité

Réponse: C · O(n)

Pourquoi c'est la réponse

Par le théorème maître, nlog₂ 2 = n domine le travail constant, donc T(n) = Θ(n), comme lorsqu'on cherche un maximum en coupant en deux moitiés.

Réponse

C · O(n)
2.Algorithmes et complexité

Réponse: D · L'algorithme de Kruskal

Pourquoi c'est la réponse

Kruskal trie les arêtes par poids et les ajoute si elles relient des composantes différentes ; Prim fait croître un seul arbre à partir d'un sommet de départ.

Réponse

D · L'algorithme de Kruskal
3.Structures de données

Réponse: D · O(n), car les éléments suivants doivent être décalés

Pourquoi c'est la réponse

Tous les éléments situés après le point d'insertion se décalent d'une position vers la droite, ce qui prend un temps proportionnel à n.

Réponse

D · O(n), car les éléments suivants doivent être décalés
4.Structures de données

Réponse: C · La recherche de l'objet peut échouer car il se trouve dans le compartiment de son ancien hachage

Pourquoi c'est la réponse

L'emplacement de la clé a été choisi à partir de son ancien hachage ; avec un nouveau hachage, les recherches examinent le mauvais compartiment, c'est pourquoi les clés devraient être immuables.

Réponse

C · La recherche de l'objet peut échouer car il se trouve dans le compartiment de son ancien hachage
5.Théorie des graphes

Réponse: L = 22

Euler, Hamilton et arbres : un graphe connexe a un circuit eulérien (chaque arête une fois, retour au départ) quand tous les sommets ont un degré pair, et un chemin eulérien qui n’est pas un circuit quand exactement deux sommets ont un degré impair ; le chemin va alors d’un sommet impair à l’autre. Un circuit hamiltonien visite chaque sommet une fois ; Kn en a (n − 1)!/2. Un arbre à n sommets a n − 1 arêtes, et un graphe connexe à m arêtes conserve un arbre couvrant après suppression de m − n + 1 arêtes.

Lemme des poignées de main pour un arbre

L + 40 = 2(L + 10) − 2
L = 22

Réponse

L = 22

Raccourci : L = 2 + Σ (d − 2) sur les sommets de degré d ≥ 3.

6.Théorie des graphes

Réponse: d(F) = 24

Plus courts chemins et arbres couvrants : l’algorithme de Dijkstra fixe un sommet par tour : le sommet non fixé de plus petite distance provisoire. Sa distance est alors définitive, et chaque voisin v reçoit d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). L’algorithme de Kruskal construit un arbre couvrant minimal en prenant les arêtes de la plus légère à la plus lourde et en sautant toute arête qui fermerait un cycle ; l’algorithme de Prim fait croître un arbre à partir d’un sommet de départ en ajoutant toujours l’arête la plus légère qui en sort. Un arbre couvrant à n sommets a n − 1 arêtes.

Dijkstra tour par tour

Chaque ligne : le sommet fixé, sa distance définitive, et les voisins dont la distance s’améliore.

A (0): B: 14, C: 3
C (3): E: 8
E (8): D: 12
D (12): F: 24
B (14)
F (24)

Plus court chemin

A → C → E → D → F
d(F) = 24

Réponse

d(F) = 24

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