Algorithmique et structures de données : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 6 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Théorie des graphes

Lemme des poignées de main
Σ deg(v) = 2|E|
Graphes complets
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Graphe régulier
|E| = n·k/2
Arbre et forêt
|E| = n − 1, |E| = n − c
Feuilles d’un arbre
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuit : tous les degrés pairs ; chemin : exactement 2 degrés impairs
Circuits hamiltoniens dans Kn
(n − 1)!/2
Mise à jour de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Marches de longueur L
(Mᴸ)ij

Méthode

  1. Notez le degré de chaque sommet ; la somme des degrés vaut deux fois le nombre d’arêtes.
  2. Pour les questions d’Euler, vérifiez que le graphe est connexe et comptez les sommets de degré impair.
  3. Pour les arbres, utilisez n − 1 arêtes et le lemme des poignées de main.
  4. Pour Dijkstra, tenez un tableau des distances provisoires et fixez à chaque tour le sommet non fixé de plus petite distance.
  5. Pour un arbre couvrant minimal, triez les arêtes par poids et sautez toute arête qui ferme un cycle (Kruskal), ou faites croître un arbre à partir d’un sommet de départ (Prim).

2Exercices

1.Algorithmes et complexitéMoyen

Est-il correct de dire qu'un algorithme en O(n²) est aussi en O(n³) ?

  1. ANon, car n³ est plus petit que n² pour n grand
  2. BOui, car le grand O est une borne supérieure et n² ne croît pas plus vite que n³
  3. CNon, car le grand O doit toujours donner le taux de croissance exact de la fonction
  4. DOui, mais seulement si n est inférieur à 100
2.Algorithmes et complexitéDifficile

Quelle est la complexité temporelle de la construction d'un tas binaire à partir de n éléments non triés avec la méthode ascendante (bottom-up) ?

  1. AO(n²)
  2. BO(log n)
  3. CO(n log n)
  4. DO(n)
3.Structures de donnéesMoyen

Quelle est la complexité temporelle de la recherche d'une clé dans un arbre binaire de recherche équilibré ?

  1. AO(n log n)
  2. BO(log n)
  3. CO(n)
  4. DO(1)
4.Structures de donnéesDifficile

Quels sont les coûts en temps et en espace supplémentaire de l'inversion sur place d'une liste simplement chaînée ?

  1. AO(1) en temps et O(1) en espace supplémentaire
  2. BO(n) en temps et O(1) en espace supplémentaire
  3. CO(n log n) en temps et O(1) en espace supplémentaire
  4. DO(n) en temps et O(n) en espace supplémentaire
5.Théorie des graphesMoyen

Un graphe connexe a 7 sommets et 14 arêtes. Combien d’arêtes k faut-il retirer pour obtenir un arbre couvrant ?

|V| = 7|E| = 14
k =
6.Théorie des graphesDifficile
1096174511ABCDEF

Trouvez le poids total W d’un arbre couvrant minimal du graphe pondéré.

|V| = 6|E| = 8
W =

3Solutions

1.Algorithmes et complexité

Réponse: B · Oui, car le grand O est une borne supérieure et n² ne croît pas plus vite que n³

Pourquoi c'est la réponse

Le grand O est une borne supérieure : l'affirmation est vraie mais pas serrée ; Θ(n²) indique le taux de croissance exact.

Réponse

B · Oui, car le grand O est une borne supérieure et n² ne croît pas plus vite que n³
2.Algorithmes et complexité

Réponse: D · O(n)

Pourquoi c'est la réponse

La somme des coûts de descente (sift-down) sur les niveaux donne une série convergente ; heapify s'exécute donc en temps linéaire.

Réponse

D · O(n)
3.Structures de données

Réponse: B · O(log n)

Pourquoi c'est la réponse

Un arbre équilibré a une hauteur d'environ log₂ n, donc une recherche suit un seul chemin de la racine à une feuille.

Réponse

B · O(log n)
4.Structures de données

Réponse: B · O(n) en temps et O(1) en espace supplémentaire

Pourquoi c'est la réponse

Trois pointeurs (précédent, courant, suivant) permettent d'inverser chaque lien en un seul passage sans allouer de nouveaux nœuds.

Réponse

B · O(n) en temps et O(1) en espace supplémentaire
5.Théorie des graphes

Réponse: k = 8

Euler, Hamilton et arbres : un graphe connexe a un circuit eulérien (chaque arête une fois, retour au départ) quand tous les sommets ont un degré pair, et un chemin eulérien qui n’est pas un circuit quand exactement deux sommets ont un degré impair ; le chemin va alors d’un sommet impair à l’autre. Un circuit hamiltonien visite chaque sommet une fois ; Kn en a (n − 1)!/2. Un arbre à n sommets a n − 1 arêtes, et un graphe connexe à m arêtes conserve un arbre couvrant après suppression de m − n + 1 arêtes.

Arêtes d’un arbre couvrant

7 − 1 = 6

Arêtes à retirer

k = 14 − 6 = 8

Réponse

k = 8
6.Théorie des graphes

Réponse: W = 25

Plus courts chemins et arbres couvrants : l’algorithme de Dijkstra fixe un sommet par tour : le sommet non fixé de plus petite distance provisoire. Sa distance est alors définitive, et chaque voisin v reçoit d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). L’algorithme de Kruskal construit un arbre couvrant minimal en prenant les arêtes de la plus légère à la plus lourde et en sautant toute arête qui fermerait un cycle ; l’algorithme de Prim fait croître un arbre à partir d’un sommet de départ en ajoutant toujours l’arête la plus légère qui en sort. Un arbre couvrant à n sommets a n − 1 arêtes.

Algorithme de Kruskal

CE (1): prise
DF (4): prise
EF (5): prise
BC (6): prise
DE (7): sautée, ferme un cycle
AC (9): prise

Poids total

W = 1 + 4 + 5 + 6 + 9 = 25

Réponse

W = 25

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