Algorithmique et structures de données : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 6 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Théorie des graphes

Lemme des poignées de main
Σ deg(v) = 2|E|
Graphes complets
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Graphe régulier
|E| = n·k/2
Arbre et forêt
|E| = n − 1, |E| = n − c
Feuilles d’un arbre
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuit : tous les degrés pairs ; chemin : exactement 2 degrés impairs
Circuits hamiltoniens dans Kn
(n − 1)!/2
Mise à jour de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Marches de longueur L
(Mᴸ)ij

Méthode

  1. Notez le degré de chaque sommet ; la somme des degrés vaut deux fois le nombre d’arêtes.
  2. Pour les questions d’Euler, vérifiez que le graphe est connexe et comptez les sommets de degré impair.
  3. Pour les arbres, utilisez n − 1 arêtes et le lemme des poignées de main.
  4. Pour Dijkstra, tenez un tableau des distances provisoires et fixez à chaque tour le sommet non fixé de plus petite distance.
  5. Pour un arbre couvrant minimal, triez les arêtes par poids et sautez toute arête qui ferme un cycle (Kruskal), ou faites croître un arbre à partir d’un sommet de départ (Prim).

2Exercices

1.Algorithmes et complexitéMoyen

Quelle est la complexité temporelle amortie de l'ajout en fin de tableau dynamique qui double sa capacité lorsqu'il est plein ?

  1. AO(n²)
  2. BO(n)
  3. CO(log n)
  4. DO(1)
2.Algorithmes et complexitéDifficile

Quel est le coût amorti de l'incrémentation d'un compteur binaire, sachant qu'une incrémentation peut inverser de nombreux bits ?

  1. AO(n) par incrémentation
  2. BO(log n) par incrémentation
  3. CO(n log n) par incrémentation
  4. DO(1) par incrémentation
3.Structures de donnéesMoyen

Quelle méthode de résolution des collisions stocke les clés en collision dans une liste au sein du même compartiment ?

  1. ALe chaînage séparé (separate chaining)
  2. BLe double hachage (double hashing)
  3. CLe sondage quadratique (quadratic probing)
  4. DLe sondage linéaire (linear probing)
4.Structures de donnéesDifficile

Quelle garantie les règles des arbres rouge-noir donnent-elles sur la hauteur d'un arbre à n clés ?

  1. ALa hauteur est au plus n / 2
  2. BLa hauteur est au plus log2 n + 1
  3. CLa hauteur est au plus 2 log2(n + 1)
  4. DLa hauteur vaut exactement log2 n
5.Théorie des graphesMoyen

Un graphe connexe a 18 sommets et 21 arêtes. Combien d’arêtes k faut-il retirer pour obtenir un arbre couvrant ?

|V| = 18|E| = 21
k =
6.Théorie des graphesDifficile
74109111513136ABCDEFG

Utilisez l’algorithme de Dijkstra pour trouver la longueur d(F) du plus court chemin de A à F dans le graphe pondéré.

départ : Aarrivée : F
d(F) =

3Solutions

1.Algorithmes et complexité

Réponse: D · O(1)

Pourquoi c'est la réponse

La copie de tous les éléments n'a lieu qu'aux puissances de deux ; répartie sur tous les ajouts, le coût moyen par ajout est constant.

Réponse

D · O(1)
2.Algorithmes et complexité

Réponse: D · O(1) par incrémentation

Pourquoi c'est la réponse

Sur n incrémentations, le bit i s'inverse environ n / 2ⁱ fois : le total est inférieur à 2n inversions, soit en moyenne O(1) chacune.

Réponse

D · O(1) par incrémentation
3.Structures de données

Réponse: A · Le chaînage séparé (separate chaining)

Pourquoi c'est la réponse

Le chaînage conserve une liste chaînée (ou une autre structure) par compartiment ; l'adressage ouvert cherche un autre emplacement libre dans la table elle-même.

Réponse

A · Le chaînage séparé (separate chaining)
4.Structures de données

Réponse: C · La hauteur est au plus 2 log2(n + 1)

Pourquoi c'est la réponse

Chaque chemin contient le même nombre de nœuds noirs et deux nœuds rouges ne peuvent pas être adjacents, donc le plus long chemin fait au plus le double du plus court, ce qui donne une hauteur en O(log n).

Réponse

C · La hauteur est au plus 2 log2(n + 1)
5.Théorie des graphes

Réponse: k = 4

Euler, Hamilton et arbres : un graphe connexe a un circuit eulérien (chaque arête une fois, retour au départ) quand tous les sommets ont un degré pair, et un chemin eulérien qui n’est pas un circuit quand exactement deux sommets ont un degré impair ; le chemin va alors d’un sommet impair à l’autre. Un circuit hamiltonien visite chaque sommet une fois ; Kn en a (n − 1)!/2. Un arbre à n sommets a n − 1 arêtes, et un graphe connexe à m arêtes conserve un arbre couvrant après suppression de m − n + 1 arêtes.

Arêtes d’un arbre couvrant

18 − 1 = 17

Arêtes à retirer

k = 21 − 17 = 4

Réponse

k = 4
6.Théorie des graphes

Réponse: d(F) = 10

Plus courts chemins et arbres couvrants : l’algorithme de Dijkstra fixe un sommet par tour : le sommet non fixé de plus petite distance provisoire. Sa distance est alors définitive, et chaque voisin v reçoit d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). L’algorithme de Kruskal construit un arbre couvrant minimal en prenant les arêtes de la plus légère à la plus lourde et en sautant toute arête qui fermerait un cycle ; l’algorithme de Prim fait croître un arbre à partir d’un sommet de départ en ajoutant toujours l’arête la plus légère qui en sort. Un arbre couvrant à n sommets a n − 1 arêtes.

Dijkstra tour par tour

Chaque ligne : le sommet fixé, sa distance définitive, et les voisins dont la distance s’améliore.

A (0): B: 7, C: 4
C (4): E: 5
E (5): F: 10, G: 11
B (7): D: 16
F (10)
G (11)
D (16)

Plus court chemin

A → C → E → F
d(F) = 10

Réponse

d(F) = 10

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