Algorithmique et structures de données : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 6 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Théorie des graphes

Lemme des poignées de main
Σ deg(v) = 2|E|
Graphes complets
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Graphe régulier
|E| = n·k/2
Arbre et forêt
|E| = n − 1, |E| = n − c
Feuilles d’un arbre
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuit : tous les degrés pairs ; chemin : exactement 2 degrés impairs
Circuits hamiltoniens dans Kn
(n − 1)!/2
Mise à jour de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Marches de longueur L
(Mᴸ)ij

Méthode

  1. Notez le degré de chaque sommet ; la somme des degrés vaut deux fois le nombre d’arêtes.
  2. Pour les questions d’Euler, vérifiez que le graphe est connexe et comptez les sommets de degré impair.
  3. Pour les arbres, utilisez n − 1 arêtes et le lemme des poignées de main.
  4. Pour Dijkstra, tenez un tableau des distances provisoires et fixez à chaque tour le sommet non fixé de plus petite distance.
  5. Pour un arbre couvrant minimal, triez les arêtes par poids et sautez toute arête qui ferme un cycle (Kruskal), ou faites croître un arbre à partir d’un sommet de départ (Prim).

2Exercices

1.Algorithmes et complexitéMoyen

Le parcours en largeur (BFS) sur un graphe non pondéré trouve :

  1. AL'arbre couvrant de poids minimal
  2. BUn ordre topologique dans tous les graphes
  3. CLes plus courts chemins dans les graphes qui contiennent des poids d'arêtes négatifs
  4. DLes plus courts chemins en nombre d'arêtes depuis le nœud de départ
2.Algorithmes et complexitéDifficile

Pourquoi une recherche dans une table de hachage est-elle en O(1) en moyenne mais en O(n) dans le pire cas ?

  1. ALes clés doivent d'abord être triées
  2. BLes fonctions de hachage sont lentes
  3. CDe nombreuses clés peuvent entrer en collision dans le même compartiment
  4. DL'accès aux tableaux est en O(n)
3.Structures de donnéesMoyen

Un tampon circulaire (ring buffer) est couramment utilisé pour implémenter :

  1. AUne file de taille fixe
  2. BUn arbre binaire de recherche
  3. CUn parcours de graphe
  4. DUne fonction de hachage
4.Structures de donnéesDifficile

Quelle paire de parcours détermine toujours un arbre binaire unique à clés distinctes ?

  1. APréfixe seul
  2. BPar niveaux seul
  3. CPréfixe et postfixe
  4. DPréfixe et infixe
5.Théorie des graphesMoyen
ABCDEFCircuit eulérienChemin eulérien, pas de circuitni l’une ni l’autre

Le graphe connexe a-t-il un circuit eulérien, un chemin eulérien qui n’est pas un circuit, ou ni l’un ni l’autre ? Cliquez sur votre réponse.

|V| = 6|E| = 6
  1. 1Circuit eulérien
  2. 2Chemin eulérien, pas de circuit
  3. 3ni l’une ni l’autre
6.Théorie des graphesDifficile
31183881410ABCDEF

Utilisez l’algorithme de Dijkstra pour trouver la longueur d(F) du plus court chemin de A à F dans le graphe pondéré.

départ : Aarrivée : F
d(F) =

3Solutions

1.Algorithmes et complexité

Réponse: D · Les plus courts chemins en nombre d'arêtes depuis le nœud de départ

Pourquoi c'est la réponse

BFS visite les nœuds par ordre de distance (en arêtes) depuis la source ; il trouve donc les plus courts chemins non pondérés en O(V + E).

Réponse

D · Les plus courts chemins en nombre d'arêtes depuis le nœud de départ
2.Algorithmes et complexité

Réponse: C · De nombreuses clés peuvent entrer en collision dans le même compartiment

Pourquoi c'est la réponse

Avec une bonne fonction de hachage et un facteur de charge adapté, les compartiments restent courts en moyenne ; un hachage malveillant ou médiocre peut placer toutes les clés dans un seul compartiment.

Réponse

C · De nombreuses clés peuvent entrer en collision dans le même compartiment
3.Structures de données

Réponse: A · Une file de taille fixe

Pourquoi c'est la réponse

Un tampon circulaire utilise des indices de tête et de queue qui reviennent au début, ce qui permet enqueue et dequeue en O(1) dans une mémoire fixe.

Réponse

A · Une file de taille fixe
4.Structures de données

Réponse: D · Préfixe et infixe

Pourquoi c'est la réponse

Le parcours préfixe donne la racine, et sa position dans la séquence infixe sépare les sous-arbres gauche et droit ; préfixe et postfixe sont ambigus lorsqu'un nœud a un seul enfant.

Réponse

D · Préfixe et infixe
5.Théorie des graphes

Réponse: ni l’une ni l’autre

Euler, Hamilton et arbres : un graphe connexe a un circuit eulérien (chaque arête une fois, retour au départ) quand tous les sommets ont un degré pair, et un chemin eulérien qui n’est pas un circuit quand exactement deux sommets ont un degré impair ; le chemin va alors d’un sommet impair à l’autre. Un circuit hamiltonien visite chaque sommet une fois ; Kn en a (n − 1)!/2. Un arbre à n sommets a n − 1 arêtes, et un graphe connexe à m arêtes conserve un arbre couvrant après suppression de m − n + 1 arêtes.

Degrés

deg(A) = 1, deg(B) = 4, deg(C) = 2, deg(D) = 1, deg(E) = 3, deg(F) = 1

Sommets impairs

A, D, E, F → 4
ni l’une ni l’autre

Réponse

ni l’une ni l’autre
6.Théorie des graphes

Réponse: d(F) = 27

Plus courts chemins et arbres couvrants : l’algorithme de Dijkstra fixe un sommet par tour : le sommet non fixé de plus petite distance provisoire. Sa distance est alors définitive, et chaque voisin v reçoit d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). L’algorithme de Kruskal construit un arbre couvrant minimal en prenant les arêtes de la plus légère à la plus lourde et en sautant toute arête qui fermerait un cycle ; l’algorithme de Prim fait croître un arbre à partir d’un sommet de départ en ajoutant toujours l’arête la plus légère qui en sort. Un arbre couvrant à n sommets a n − 1 arêtes.

Dijkstra tour par tour

Chaque ligne : le sommet fixé, sa distance définitive, et les voisins dont la distance s’améliore.

A (0): B: 3, C: 11
B (3): D: 6, E: 13
D (6)
C (11)
E (13): F: 27
F (27)

Plus court chemin

A → B → E → F
d(F) = 27

Réponse

d(F) = 27

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