Algorithmique et structures de données : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 6 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Théorie des graphes

Lemme des poignées de main: Σ deg(v) = 2|E|
Graphes complets: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
Graphe régulier: |E| = n·k/2
Arbre et forêt: |E| = n − 1, |E| = n − c
Feuilles d’un arbre: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler: circuit : tous les degrés pairs ; chemin : exactement 2 degrés impairs
Circuits hamiltoniens dans K_n: (n − 1)!/2
Mise à jour de Dijkstra: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Marches de longueur L: (Mᴸ)_ij

Méthode

Notez le degré de chaque sommet ; la somme des degrés vaut deux fois le nombre d’arêtes.
Pour les questions d’Euler, vérifiez que le graphe est connexe et comptez les sommets de degré impair.
Pour les arbres, utilisez n − 1 arêtes et le lemme des poignées de main.
Pour Dijkstra, tenez un tableau des distances provisoires et fixez à chaque tour le sommet non fixé de plus petite distance.
Pour un arbre couvrant minimal, triez les arêtes par poids et sautez toute arête qui ferme un cycle (Kruskal), ou faites croître un arbre à partir d’un sommet de départ (Prim).

2Exercices

1.Algorithmes et complexitéMoyen

Combien de niveaux comporte la récursion du tri fusion pour un tableau de n éléments ?

AEnviron log₂ n
BEnviron n / 2
CEnviron √n
DEnviron n

2.Algorithmes et complexitéDifficile

Le problème de l'arrêt montre que :

ATout programme finit par s'arrêter
BAucun algorithme ne peut décider, pour tout programme et toute entrée, si le programme s'arrête
CIl faut éviter les boucles
DCertains programmes s'exécutent plus vite sur des ordinateurs plus rapides, donc l'arrêt dépend du matériel

3.Structures de donnéesMoyen

Pourquoi un tas binaire peut-il être stocké dans un tableau sans aucun pointeur ?

ALes tableaux maintiennent automatiquement les clés triées, donc aucun pointeur n'est nécessaire
BC'est un arbre binaire complet, donc les positions suivent des formules d'indice simples
CLes tas ne contiennent jamais plus de 100 éléments
DToutes les clés d'un tas sont égales

4.Structures de donnéesDifficile

Pour chaque élément d'un tableau, vous voulez le prochain élément plus grand à sa droite, en O(n) au total. Quelle structure aide ?

AUne file contenant toutes les paires d'éléments
BUne table de hachage de tous les éléments
CUne pile qui conserve les éléments en attente de leur réponse
DUn arbre binaire de recherche reconstruit pour chaque élément

5.Théorie des graphesMoyen

Un graphe connexe a 8 sommets et 9 arêtes. Combien d’arêtes k faut-il retirer pour obtenir un arbre couvrant ?

|V| = 8|E| = 9

k =

6.Théorie des graphesDifficile

Utilisez l’algorithme de Dijkstra pour trouver la longueur d(F) du plus court chemin de A à F dans le graphe pondéré.

départ : Aarrivée : F

d(F) =

3Solutions

1.Algorithmes et complexité

Réponse: A · Environ log₂ n

Pourquoi c'est la réponse

Passer de n à 1 par divisions successives par deux prend environ log₂ n niveaux, et chaque niveau effectue un travail de fusion en O(n), d'où O(n log n).

Réponse

A · Environ log₂ n

2.Algorithmes et complexité

Réponse: B · Aucun algorithme ne peut décider, pour tout programme et toute entrée, si le programme s'arrête

Pourquoi c'est la réponse

Turing a montré que le problème de l'arrêt est indécidable : supposer qu'un décideur existe mène à une contradiction avec un programme qui fait l'inverse.

Réponse

B · Aucun algorithme ne peut décider, pour tout programme et toute entrée, si le programme s'arrête

3.Structures de données

Réponse: B · C'est un arbre binaire complet, donc les positions suivent des formules d'indice simples

Pourquoi c'est la réponse

La complétude signifie qu'il n'y a pas de trous, donc les enfants de l'indice i sont toujours en 2i + 1 et 2i + 2.

Réponse

B · C'est un arbre binaire complet, donc les positions suivent des formules d'indice simples

4.Structures de données

Réponse: C · Une pile qui conserve les éléments en attente de leur réponse

Pourquoi c'est la réponse

En parcourant de gauche à droite, on dépile chaque élément plus petit que l'élément courant (l'élément courant est leur réponse), puis on empile celui-ci ; chaque élément est déplacé au plus deux fois.

Réponse

C · Une pile qui conserve les éléments en attente de leur réponse

5.Théorie des graphes

Réponse: k = 2

Euler, Hamilton et arbres : un graphe connexe a un circuit eulérien (chaque arête une fois, retour au départ) quand tous les sommets ont un degré pair, et un chemin eulérien qui n’est pas un circuit quand exactement deux sommets ont un degré impair ; le chemin va alors d’un sommet impair à l’autre. Un circuit hamiltonien visite chaque sommet une fois ; K_n en a (n − 1)!/2. Un arbre à n sommets a n − 1 arêtes, et un graphe connexe à m arêtes conserve un arbre couvrant après suppression de m − n + 1 arêtes.

Arêtes d’un arbre couvrant

8 − 1 = 7

Arêtes à retirer

k = 9 − 7 = 2

Réponse

k = 2

6.Théorie des graphes

Réponse: d(F) = 14

Plus courts chemins et arbres couvrants : l’algorithme de Dijkstra fixe un sommet par tour : le sommet non fixé de plus petite distance provisoire. Sa distance est alors définitive, et chaque voisin v reçoit d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). L’algorithme de Kruskal construit un arbre couvrant minimal en prenant les arêtes de la plus légère à la plus lourde et en sautant toute arête qui fermerait un cycle ; l’algorithme de Prim fait croître un arbre à partir d’un sommet de départ en ajoutant toujours l’arête la plus légère qui en sort. Un arbre couvrant à n sommets a n − 1 arêtes.

Dijkstra tour par tour

Chaque ligne : le sommet fixé, sa distance définitive, et les voisins dont la distance s’améliore.

A (0): B: 15, C: 10

C (10): E: 11

E (11): D: 12, F: 14

D (12): B: 13

B (13)

F (14)

Plus court chemin

A → C → E → F

d(F) = 14

Réponse

d(F) = 14

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