Algorithmique et structures de données : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 6 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Théorie des graphes

Lemme des poignées de main: Σ deg(v) = 2|E|
Graphes complets: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
Graphe régulier: |E| = n·k/2
Arbre et forêt: |E| = n − 1, |E| = n − c
Feuilles d’un arbre: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler: circuit : tous les degrés pairs ; chemin : exactement 2 degrés impairs
Circuits hamiltoniens dans K_n: (n − 1)!/2
Mise à jour de Dijkstra: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Marches de longueur L: (Mᴸ)_ij

Méthode

Notez le degré de chaque sommet ; la somme des degrés vaut deux fois le nombre d’arêtes.
Pour les questions d’Euler, vérifiez que le graphe est connexe et comptez les sommets de degré impair.
Pour les arbres, utilisez n − 1 arêtes et le lemme des poignées de main.
Pour Dijkstra, tenez un tableau des distances provisoires et fixez à chaque tour le sommet non fixé de plus petite distance.
Pour un arbre couvrant minimal, triez les arêtes par poids et sautez toute arête qui ferme un cycle (Kruskal), ou faites croître un arbre à partir d’un sommet de départ (Prim).

2Exercices

1.Algorithmes et complexitéMoyen

Quelle est la complexité temporelle amortie de l'ajout en fin de tableau dynamique qui double sa capacité lorsqu'il est plein ?

AO(n)
BO(log n)
CO(1)
DO(n²)

2.Algorithmes et complexitéDifficile

Pourquoi une recherche dans une table de hachage est-elle en O(1) en moyenne mais en O(n) dans le pire cas ?

AL'accès aux tableaux est en O(n)
BLes fonctions de hachage sont lentes
CDe nombreuses clés peuvent entrer en collision dans le même compartiment
DLes clés doivent d'abord être triées

3.Structures de donnéesMoyen

Comment insère-t-on un nouvel élément dans un tas binaire ?

AOn le place à la fin du tableau et on le fait remonter tant qu'il viole la propriété de tas
BOn reconstruit entièrement le tas
COn le place à la racine et on le fait descendre
DOn l'insère à sa position triée en décalant d'un cran vers la droite tous les éléments plus grands

4.Structures de donnéesDifficile

Dans un tampon circulaire, front == rear peut signifier vide ou plein. Quelle est une manière courante de les distinguer ?

AToujours vider le tampon dès que front est égal à rear, si bien que l'état est vide
BStocker front et rear dans la même variable
CTenir un compteur d'éléments séparé, ou toujours laisser une case inutilisée
DChoisir une taille de tampon égale à une puissance de deux

5.Théorie des graphesMoyen

Un arbre a 4 sommets de degré 3, 2 sommets de degré 4, 3 sommets de degré 5, et tous ses autres sommets sont des feuilles (degré 1). Combien de feuilles L a-t-il ?

4 × deg 32 × deg 43 × deg 5

L =

6.Théorie des graphesDifficile

Trouvez le poids total W d’un arbre couvrant minimal du graphe pondéré.

|V| = 5|E| = 7

W =

3Solutions

1.Algorithmes et complexité

Réponse: C · O(1)

Pourquoi c'est la réponse

La copie de tous les éléments n'a lieu qu'aux puissances de deux ; répartie sur tous les ajouts, le coût moyen par ajout est constant.

Réponse

C · O(1)

2.Algorithmes et complexité

Réponse: C · De nombreuses clés peuvent entrer en collision dans le même compartiment

Pourquoi c'est la réponse

Avec une bonne fonction de hachage et un facteur de charge adapté, les compartiments restent courts en moyenne ; un hachage malveillant ou médiocre peut placer toutes les clés dans un seul compartiment.

Réponse

C · De nombreuses clés peuvent entrer en collision dans le même compartiment

3.Structures de données

Réponse: A · On le place à la fin du tableau et on le fait remonter tant qu'il viole la propriété de tas

Pourquoi c'est la réponse

L'ajout à la fin maintient l'arbre complet ; les échanges avec le parent rétablissent l'ordre en O(log n) étapes.

Réponse

A · On le place à la fin du tableau et on le fait remonter tant qu'il viole la propriété de tas

4.Structures de données

Réponse: C · Tenir un compteur d'éléments séparé, ou toujours laisser une case inutilisée

Pourquoi c'est la réponse

Avec un compteur, vide signifie count = 0 et plein signifie count = capacité ; avec une case vide, plein se définit par (rear + 1) mod n == front.

Réponse

C · Tenir un compteur d'éléments séparé, ou toujours laisser une case inutilisée

5.Théorie des graphes

Réponse: L = 19

Euler, Hamilton et arbres : un graphe connexe a un circuit eulérien (chaque arête une fois, retour au départ) quand tous les sommets ont un degré pair, et un chemin eulérien qui n’est pas un circuit quand exactement deux sommets ont un degré impair ; le chemin va alors d’un sommet impair à l’autre. Un circuit hamiltonien visite chaque sommet une fois ; K_n en a (n − 1)!/2. Un arbre à n sommets a n − 1 arêtes, et un graphe connexe à m arêtes conserve un arbre couvrant après suppression de m − n + 1 arêtes.

Lemme des poignées de main pour un arbre

L + 35 = 2(L + 9) − 2

L = 19

Réponse

L = 19

Raccourci : L = 2 + Σ (d − 2) sur les sommets de degré d ≥ 3.

6.Théorie des graphes

Réponse: W = 17

Plus courts chemins et arbres couvrants : l’algorithme de Dijkstra fixe un sommet par tour : le sommet non fixé de plus petite distance provisoire. Sa distance est alors définitive, et chaque voisin v reçoit d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). L’algorithme de Kruskal construit un arbre couvrant minimal en prenant les arêtes de la plus légère à la plus lourde et en sautant toute arête qui fermerait un cycle ; l’algorithme de Prim fait croître un arbre à partir d’un sommet de départ en ajoutant toujours l’arête la plus légère qui en sort. Un arbre couvrant à n sommets a n − 1 arêtes.

Algorithme de Kruskal

AB (1): prise

BD (2): prise

BE (4): prise

DE (8): sautée, ferme un cycle

AC (10): prise

Poids total

W = 1 + 2 + 4 + 10 = 17

Réponse

W = 17

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