Algorithmique et structures de données : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 6 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Théorie des graphes

Lemme des poignées de main: Σ deg(v) = 2|E|
Graphes complets: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
Graphe régulier: |E| = n·k/2
Arbre et forêt: |E| = n − 1, |E| = n − c
Feuilles d’un arbre: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler: circuit : tous les degrés pairs ; chemin : exactement 2 degrés impairs
Circuits hamiltoniens dans K_n: (n − 1)!/2
Mise à jour de Dijkstra: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Marches de longueur L: (Mᴸ)_ij

Méthode

Notez le degré de chaque sommet ; la somme des degrés vaut deux fois le nombre d’arêtes.
Pour les questions d’Euler, vérifiez que le graphe est connexe et comptez les sommets de degré impair.
Pour les arbres, utilisez n − 1 arêtes et le lemme des poignées de main.
Pour Dijkstra, tenez un tableau des distances provisoires et fixez à chaque tour le sommet non fixé de plus petite distance.
Pour un arbre couvrant minimal, triez les arêtes par poids et sautez toute arête qui ferme un cycle (Kruskal), ou faites croître un arbre à partir d’un sommet de départ (Prim).

2Exercices

1.Algorithmes et complexitéMoyen

Que signifie qu'un problème possède une sous-structure optimale ?

AUne solution optimale peut être construite à partir de solutions optimales de ses sous-problèmes
BTous les sous-problèmes ont la même taille
CLe problème peut être résolu en temps constant
DLe problème a exactement une solution optimale, que partagent tous les sous-problèmes

2.Algorithmes et complexitéDifficile

Comment l'algorithme de Bellman-Ford détecte-t-il un cycle de poids négatif accessible depuis la source ?

AIl vérifie si une arête a un poids négatif
BAprès V − 1 tours, il vérifie si une arête peut encore être relâchée
CIl exécute deux fois l'algorithme de Dijkstra et compare les deux résultats de distances
DIl compte les cycles par un parcours en profondeur

3.Structures de donnéesMoyen

Comment trouve-t-on la clé minimale dans un arbre binaire de recherche ?

AOn regarde uniquement la racine
BOn suit les enfants droits depuis la racine jusqu'à ce qu'il n'y en ait plus
COn suit les enfants gauches depuis la racine jusqu'à ce qu'il n'y en ait plus
DOn visite toutes les feuilles et on les compare

4.Structures de donnéesDifficile

Quel est le temps d'exécution d'un parcours en largeur sur un graphe à V sommets stocké sous forme de matrice d'adjacence ?

AO(E log V)
BO(V + E)
CO(V)
DO(V²)

5.Théorie des graphesMoyen

Un graphe connexe a 14 sommets et 21 arêtes. Combien d’arêtes k faut-il retirer pour obtenir un arbre couvrant ?

|V| = 14|E| = 21

k =

6.Théorie des graphesDifficile

Utilisez l’algorithme de Dijkstra pour trouver la longueur d(F) du plus court chemin de A à F dans le graphe pondéré.

départ : Aarrivée : F

d(F) =

3Solutions

1.Algorithmes et complexité

Réponse: A · Une solution optimale peut être construite à partir de solutions optimales de ses sous-problèmes

Pourquoi c'est la réponse

La sous-structure optimale est nécessaire pour que les algorithmes gloutons comme la programmation dynamique produisent des réponses correctes.

Réponse

A · Une solution optimale peut être construite à partir de solutions optimales de ses sous-problèmes

2.Algorithmes et complexité

Réponse: B · Après V − 1 tours, il vérifie si une arête peut encore être relâchée

Pourquoi c'est la réponse

Toutes les vraies distances minimales sont trouvées en V − 1 tours ; si une arête peut encore être améliorée, un cycle négatif existe forcément.

Réponse

B · Après V − 1 tours, il vérifie si une arête peut encore être relâchée

3.Structures de données

Réponse: C · On suit les enfants gauches depuis la racine jusqu'à ce qu'il n'y en ait plus

Pourquoi c'est la réponse

Le nœud le plus à gauche n'a aucune clé plus petite dans l'arbre, c'est donc le minimum ; le coût est proportionnel à la hauteur.

Réponse

C · On suit les enfants gauches depuis la racine jusqu'à ce qu'il n'y en ait plus

4.Structures de données

Réponse: D · O(V²)

Pourquoi c'est la réponse

Chacun des V sommets parcourt une ligne de V cases, ce qui donne O(V²) ; avec des listes d'adjacence, le BFS est en O(V + E).

Réponse

D · O(V²)

5.Théorie des graphes

Réponse: k = 8

Euler, Hamilton et arbres : un graphe connexe a un circuit eulérien (chaque arête une fois, retour au départ) quand tous les sommets ont un degré pair, et un chemin eulérien qui n’est pas un circuit quand exactement deux sommets ont un degré impair ; le chemin va alors d’un sommet impair à l’autre. Un circuit hamiltonien visite chaque sommet une fois ; K_n en a (n − 1)!/2. Un arbre à n sommets a n − 1 arêtes, et un graphe connexe à m arêtes conserve un arbre couvrant après suppression de m − n + 1 arêtes.

Arêtes d’un arbre couvrant

14 − 1 = 13

Arêtes à retirer

k = 21 − 13 = 8

Réponse

k = 8

6.Théorie des graphes

Réponse: d(F) = 17

Plus courts chemins et arbres couvrants : l’algorithme de Dijkstra fixe un sommet par tour : le sommet non fixé de plus petite distance provisoire. Sa distance est alors définitive, et chaque voisin v reçoit d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). L’algorithme de Kruskal construit un arbre couvrant minimal en prenant les arêtes de la plus légère à la plus lourde et en sautant toute arête qui fermerait un cycle ; l’algorithme de Prim fait croître un arbre à partir d’un sommet de départ en ajoutant toujours l’arête la plus légère qui en sort. Un arbre couvrant à n sommets a n − 1 arêtes.

Dijkstra tour par tour

Chaque ligne : le sommet fixé, sa distance définitive, et les voisins dont la distance s’améliore.

A (0): B: 2, C: 3

B (2): D: 3

C (3): E: 16, G: 16

D (3): F: 17

E (16)

G (16)

F (17)

Plus court chemin

A → B → D → F

d(F) = 17

Réponse

d(F) = 17

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