Algorithmique et structures de données : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 6 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Théorie des graphes

Lemme des poignées de main
Σ deg(v) = 2|E|
Graphes complets
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Graphe régulier
|E| = n·k/2
Arbre et forêt
|E| = n − 1, |E| = n − c
Feuilles d’un arbre
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuit : tous les degrés pairs ; chemin : exactement 2 degrés impairs
Circuits hamiltoniens dans Kn
(n − 1)!/2
Mise à jour de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Marches de longueur L
(Mᴸ)ij

Méthode

  1. Notez le degré de chaque sommet ; la somme des degrés vaut deux fois le nombre d’arêtes.
  2. Pour les questions d’Euler, vérifiez que le graphe est connexe et comptez les sommets de degré impair.
  3. Pour les arbres, utilisez n − 1 arêtes et le lemme des poignées de main.
  4. Pour Dijkstra, tenez un tableau des distances provisoires et fixez à chaque tour le sommet non fixé de plus petite distance.
  5. Pour un arbre couvrant minimal, triez les arêtes par poids et sautez toute arête qui ferme un cycle (Kruskal), ou faites croître un arbre à partir d’un sommet de départ (Prim).

2Exercices

1.Algorithmes et complexitéMoyen

Que calcule l'algorithme de Floyd-Warshall, et en combien de temps ?

  1. AUn ordre topologique en O(V²)
  2. BUn arbre couvrant de poids minimal en O(E log V)
  3. CLes plus courts chemins entre toutes les paires de sommets en O(V³)
  4. DLes plus courts chemins depuis un sommet source vers tous les autres en O(V + E)
2.Algorithmes et complexitéDifficile

L'algorithme de programmation dynamique de Held-Karp résout exactement le problème du voyageur de commerce. Quel est son temps d'exécution pour n villes ?

  1. AO(n!)
  2. BO(2n²)
  3. CO(n² 2ⁿ)
  4. DO(n³)
3.Structures de donnéesMoyen

Qu'est-ce qui est vrai de la matrice d'adjacence d'un graphe non orienté ?

  1. ASa diagonale principale contient toujours des 1
  2. BElle est symétrique par rapport à la diagonale principale
  3. CChaque ligne contient exactement un 1
  4. DElle est toujours triangulaire supérieure
4.Structures de donnéesDifficile

Sous l'hypothèse de hachage uniforme simple, quel est le temps attendu d'une recherche dans une table de hachage à chaînage contenant n clés et m compartiments ?

  1. AO(m)
  2. BO(1 + α), où α = n / m
  3. CO(log n)
  4. DO(n)
5.Théorie des graphesMoyen

Un graphe connexe a 13 sommets et 16 arêtes. Combien d’arêtes k faut-il retirer pour obtenir un arbre couvrant ?

|V| = 13|E| = 16
k =
6.Théorie des graphesDifficile
ABCDE

Combien de marches fermées de longueur 2 partent de C et y reviennent ? Une marche peut répéter des sommets et des arêtes. Appelez ce nombre N.

M = matrice d’adjacenceL = 2
N =

3Solutions

1.Algorithmes et complexité

Réponse: C · Les plus courts chemins entre toutes les paires de sommets en O(V³)

Pourquoi c'est la réponse

Floyd-Warshall est un algorithme de programmation dynamique qui autorise tour à tour chaque sommet comme point intermédiaire, en temps O(V³).

Réponse

C · Les plus courts chemins entre toutes les paires de sommets en O(V³)
2.Algorithmes et complexité

Réponse: C · O(n² 2ⁿ)

Pourquoi c'est la réponse

Il y a environ n 2ⁿ états, chacun calculé en O(n) ; c'est exponentiel mais bien plus rapide que d'essayer les (n − 1)! tournées possibles.

Réponse

C · O(n² 2ⁿ)
3.Structures de données

Réponse: B · Elle est symétrique par rapport à la diagonale principale

Pourquoi c'est la réponse

Dans un graphe non orienté, l'arête {u, v} signifie que M[u][v] et M[v][u] sont tous deux renseignés, donc la matrice est égale à sa transposée.

Réponse

B · Elle est symétrique par rapport à la diagonale principale
4.Structures de données

Réponse: B · O(1 + α), où α = n / m

Pourquoi c'est la réponse

Le calcul du hachage coûte O(1) et la longueur attendue d'une chaîne est α ; maintenir α borné par redimensionnement donne donc un temps attendu en O(1).

Réponse

B · O(1 + α), où α = n / m
5.Théorie des graphes

Réponse: k = 4

Euler, Hamilton et arbres : un graphe connexe a un circuit eulérien (chaque arête une fois, retour au départ) quand tous les sommets ont un degré pair, et un chemin eulérien qui n’est pas un circuit quand exactement deux sommets ont un degré impair ; le chemin va alors d’un sommet impair à l’autre. Un circuit hamiltonien visite chaque sommet une fois ; Kn en a (n − 1)!/2. Un arbre à n sommets a n − 1 arêtes, et un graphe connexe à m arêtes conserve un arbre couvrant après suppression de m − n + 1 arêtes.

Arêtes d’un arbre couvrant

13 − 1 = 12

Arêtes à retirer

k = 16 − 12 = 4

Réponse

k = 4
6.Théorie des graphes

Réponse: N = 2

Degrés : le degré d’un sommet est le nombre d’arêtes qui y aboutissent. Chaque arête a deux extrémités, donc les degrés totalisent deux fois le nombre d’arêtes : Σ deg(v) = 2|E| (le lemme des poignées de main). Le nombre de sommets de degré impair est donc pair. Kn a n(n − 1)/2 arêtes, un graphe k-régulier à n sommets en a nk/2, et un arbre à n sommets a n − 1 arêtes.

Matrice d’adjacence

A: 0 1 1 0 0
B: 1 0 0 1 1
C: 1 0 0 0 1
D: 0 1 0 0 1
E: 0 1 1 1 0

Voisins communs

(M²)CC = 1·1 + 0·0 + 0·0 + 0·0 + 1·1 = 2

Réponse

N = 2

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