Algorithmique et structures de données : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 6 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Théorie des graphes

Lemme des poignées de main
Σ deg(v) = 2|E|
Graphes complets
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Graphe régulier
|E| = n·k/2
Arbre et forêt
|E| = n − 1, |E| = n − c
Feuilles d’un arbre
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuit : tous les degrés pairs ; chemin : exactement 2 degrés impairs
Circuits hamiltoniens dans Kn
(n − 1)!/2
Mise à jour de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Marches de longueur L
(Mᴸ)ij

Méthode

  1. Notez le degré de chaque sommet ; la somme des degrés vaut deux fois le nombre d’arêtes.
  2. Pour les questions d’Euler, vérifiez que le graphe est connexe et comptez les sommets de degré impair.
  3. Pour les arbres, utilisez n − 1 arêtes et le lemme des poignées de main.
  4. Pour Dijkstra, tenez un tableau des distances provisoires et fixez à chaque tour le sommet non fixé de plus petite distance.
  5. Pour un arbre couvrant minimal, triez les arêtes par poids et sautez toute arête qui ferme un cycle (Kruskal), ou faites croître un arbre à partir d’un sommet de départ (Prim).

2Exercices

1.Algorithmes et complexitéMoyen

Un tri rapide utilise toujours le premier élément comme pivot. Sur quelle entrée présente-t-il son comportement de pire cas ?

  1. AUn tableau déjà trié
  2. BUn tableau dont tous les éléments sont distincts
  3. CUn tableau dans un ordre aléatoire
  4. DUn tableau de longueur 2
2.Algorithmes et complexitéDifficile

Pour quelle variante du problème du sac à dos la règle gloutonne « prendre les objets par ordre de valeur par unité de poids » donne-t-elle toujours une réponse optimale ?

  1. ALe sac à dos fractionnaire, où les objets peuvent être fractionnés
  2. BLes deux variantes
  3. CAucune des deux variantes
  4. DLe sac à dos 0/1, où les objets doivent toujours être pris entiers
3.Structures de donnéesMoyen

Un trie (arbre de préfixes) est particulièrement efficace pour :

  1. ALa recherche des plus courts chemins
  2. BLe stockage de matrices
  3. CLe tri de nombres
  4. DLes recherches par préfixe, comme l'autocomplétion
4.Structures de donnéesDifficile

Pourquoi les bases de données utilisent-elles souvent des arbres B+ plutôt que de simples B-arbres pour leurs index ?

  1. ALes arbres B+ utilisent des nœuds internes binaires, ce qui réduit le nombre de lectures sur disque
  2. BTous les enregistrements sont dans des feuilles chaînées, ce qui rend les parcours d'intervalle efficaces
  3. CLes arbres B+ ne stockent les données que dans la racine
  4. DLes arbres B+ n'ont pas besoin d'être équilibrés
5.Théorie des graphesMoyen

Un graphe connexe a 8 sommets et 16 arêtes. Combien d’arêtes k faut-il retirer pour obtenir un arbre couvrant ?

|V| = 8|E| = 16
k =
6.Théorie des graphesDifficile
512111110137ABCDEF

L’algorithme de Dijkstra part de A. Cliquez sur le sommet qui est fixé (rendu définitif) au tour 5 ; A lui-même est le tour 1.

départ : Atour 5
  1. 1A
  2. 2B
  3. 3C
  4. 4D
  5. 5E
  6. 6F

3Solutions

1.Algorithmes et complexité

Réponse: A · Un tableau déjà trié

Pourquoi c'est la réponse

Sur une entrée triée, le pivot est toujours le minimum : un côté est vide et l'autre contient n − 1 éléments, ce qui donne O(n²).

Réponse

A · Un tableau déjà trié
2.Algorithmes et complexité

Réponse: A · Le sac à dos fractionnaire, où les objets peuvent être fractionnés

Pourquoi c'est la réponse

Lorsque les objets peuvent être fractionnés, prendre d'abord le meilleur rapport est optimal ; dans le sac à dos 0/1, un objet à fort rapport peut bloquer une meilleure combinaison, d'où la nécessité de la programmation dynamique.

Réponse

A · Le sac à dos fractionnaire, où les objets peuvent être fractionnés
3.Structures de données

Réponse: D · Les recherches par préfixe, comme l'autocomplétion

Pourquoi c'est la réponse

Les tries stockent les chaînes caractère par caractère le long de chemins, donc les recherches et les requêtes par préfixe prennent un temps proportionnel à la longueur de la clé.

Réponse

D · Les recherches par préfixe, comme l'autocomplétion
4.Structures de données

Réponse: B · Tous les enregistrements sont dans des feuilles chaînées, ce qui rend les parcours d'intervalle efficaces

Pourquoi c'est la réponse

Dans un arbre B+, les nœuds internes servent uniquement à guider la recherche et les feuilles sont chaînées dans l'ordre des clés ; une requête par intervalle trouve la première clé puis parcourt les feuilles.

Réponse

B · Tous les enregistrements sont dans des feuilles chaînées, ce qui rend les parcours d'intervalle efficaces
5.Théorie des graphes

Réponse: k = 9

Euler, Hamilton et arbres : un graphe connexe a un circuit eulérien (chaque arête une fois, retour au départ) quand tous les sommets ont un degré pair, et un chemin eulérien qui n’est pas un circuit quand exactement deux sommets ont un degré impair ; le chemin va alors d’un sommet impair à l’autre. Un circuit hamiltonien visite chaque sommet une fois ; Kn en a (n − 1)!/2. Un arbre à n sommets a n − 1 arêtes, et un graphe connexe à m arêtes conserve un arbre couvrant après suppression de m − n + 1 arêtes.

Arêtes d’un arbre couvrant

8 − 1 = 7

Arêtes à retirer

k = 16 − 7 = 9

Réponse

k = 9
6.Théorie des graphes

Réponse: D

Plus courts chemins et arbres couvrants : l’algorithme de Dijkstra fixe un sommet par tour : le sommet non fixé de plus petite distance provisoire. Sa distance est alors définitive, et chaque voisin v reçoit d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). L’algorithme de Kruskal construit un arbre couvrant minimal en prenant les arêtes de la plus légère à la plus lourde et en sautant toute arête qui fermerait un cycle ; l’algorithme de Prim fait croître un arbre à partir d’un sommet de départ en ajoutant toujours l’arête la plus légère qui en sort. Un arbre couvrant à n sommets a n − 1 arêtes.

Dijkstra tour par tour

1. A (0): B: 5, C: 1
2. C (1): B: 3, E: 2
3. E (2): D: 13, F: 15
4. B (3): D: 4
5. D (4): F: 14
6. F (14)

tour 5

D

Réponse

D

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