Algorithmique et structures de données : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 6 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Théorie des graphes

Lemme des poignées de main
Σ deg(v) = 2|E|
Graphes complets
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Graphe régulier
|E| = n·k/2
Arbre et forêt
|E| = n − 1, |E| = n − c
Feuilles d’un arbre
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuit : tous les degrés pairs ; chemin : exactement 2 degrés impairs
Circuits hamiltoniens dans Kn
(n − 1)!/2
Mise à jour de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Marches de longueur L
(Mᴸ)ij

Méthode

  1. Notez le degré de chaque sommet ; la somme des degrés vaut deux fois le nombre d’arêtes.
  2. Pour les questions d’Euler, vérifiez que le graphe est connexe et comptez les sommets de degré impair.
  3. Pour les arbres, utilisez n − 1 arêtes et le lemme des poignées de main.
  4. Pour Dijkstra, tenez un tableau des distances provisoires et fixez à chaque tour le sommet non fixé de plus petite distance.
  5. Pour un arbre couvrant minimal, triez les arêtes par poids et sautez toute arête qui ferme un cycle (Kruskal), ou faites croître un arbre à partir d’un sommet de départ (Prim).

2Exercices

1.Algorithmes et complexitéMoyen

Dans le problème de sélection d'activités, quelle règle gloutonne donne toujours un nombre maximal d'activités sans chevauchement ?

  1. AChoisir d'abord l'activité ayant le moins de chevauchements, puis recommencer avec les activités compatibles
  2. BChoisir l'activité qui se termine le plus tôt, puis recommencer avec les activités compatibles
  3. CChoisir d'abord l'activité la plus courte
  4. DChoisir l'activité qui commence le plus tôt
2.Algorithmes et complexitéDifficile

Pourquoi toute recherche par comparaisons dans un tableau trié nécessite-t-elle Ω(log n) comparaisons dans le pire cas ?

  1. AChaque élément doit être comparé au moins une fois
  2. BLa recherche dichotomique est le seul algorithme possible, et elle nécessite log₂ n comparaisons
  3. CUn arbre de décision à n issues possibles doit avoir une profondeur d'au moins log₂ n
  4. DChaque comparaison prend un temps logarithmique
3.Structures de donnéesMoyen

Quelle quantité de mémoire une matrice d'adjacence utilise-t-elle pour un graphe à V sommets ?

  1. AO(V + E)
  2. BO(V²)
  3. CO(log V)
  4. DO(E)
4.Structures de donnéesDifficile

Un filtre de Bloom peut répondre à la question « cet élément appartient-il à l'ensemble ? » avec :

  1. ADes faux négatifs possibles mais aucun faux positif
  2. BDes réponses uniquement pour des nombres
  3. CDes faux positifs possibles mais aucun faux négatif
  4. DDes réponses toujours exactes
5.Théorie des graphesMoyen
ABCDEFCircuit eulérienChemin eulérien, pas de circuitni l’une ni l’autre

Le graphe connexe a-t-il un circuit eulérien, un chemin eulérien qui n’est pas un circuit, ou ni l’un ni l’autre ? Cliquez sur votre réponse.

|V| = 6|E| = 6
  1. 1Circuit eulérien
  2. 2Chemin eulérien, pas de circuit
  3. 3ni l’une ni l’autre
6.Théorie des graphesDifficile
921042016177619ABCDEFG

Trouvez le poids total W d’un arbre couvrant minimal du graphe pondéré.

|V| = 7|E| = 10
W =

3Solutions

1.Algorithmes et complexité

Réponse: B · Choisir l'activité qui se termine le plus tôt, puis recommencer avec les activités compatibles

Pourquoi c'est la réponse

On peut prouver par un argument d'échange que choisir la fin la plus précoce est optimal ; les autres règles admettent des contre-exemples.

Réponse

B · Choisir l'activité qui se termine le plus tôt, puis recommencer avec les activités compatibles
2.Algorithmes et complexité

Réponse: C · Un arbre de décision à n issues possibles doit avoir une profondeur d'au moins log₂ n

Pourquoi c'est la réponse

Chaque comparaison divise au mieux par deux l'ensemble des possibilités restantes ; distinguer n positions nécessite donc au moins log₂ n comparaisons.

Réponse

C · Un arbre de décision à n issues possibles doit avoir une profondeur d'au moins log₂ n
3.Structures de données

Réponse: B · O(V²)

Pourquoi c'est la réponse

Une matrice d'adjacence stocke V × V entrées, ce qui est efficace pour les graphes denses ; les listes d'adjacence utilisent O(V + E), ce qui est préférable pour les graphes creux.

Réponse

B · O(V²)
4.Structures de données

Réponse: C · Des faux positifs possibles mais aucun faux négatif

Pourquoi c'est la réponse

Si l'un des bits d'un élément vaut 0, il est assurément absent ; si tous valent 1, il est probablement présent. Les filtres de Bloom sacrifient la précision au profit d'une très faible consommation de mémoire.

Réponse

C · Des faux positifs possibles mais aucun faux négatif
5.Théorie des graphes

Réponse: ni l’une ni l’autre

Euler, Hamilton et arbres : un graphe connexe a un circuit eulérien (chaque arête une fois, retour au départ) quand tous les sommets ont un degré pair, et un chemin eulérien qui n’est pas un circuit quand exactement deux sommets ont un degré impair ; le chemin va alors d’un sommet impair à l’autre. Un circuit hamiltonien visite chaque sommet une fois ; Kn en a (n − 1)!/2. Un arbre à n sommets a n − 1 arêtes, et un graphe connexe à m arêtes conserve un arbre couvrant après suppression de m − n + 1 arêtes.

Degrés

deg(A) = 1, deg(B) = 4, deg(C) = 1, deg(D) = 2, deg(E) = 3, deg(F) = 1

Sommets impairs

A, C, E, F → 4
ni l’une ni l’autre

Réponse

ni l’une ni l’autre
6.Théorie des graphes

Réponse: W = 44

Plus courts chemins et arbres couvrants : l’algorithme de Dijkstra fixe un sommet par tour : le sommet non fixé de plus petite distance provisoire. Sa distance est alors définitive, et chaque voisin v reçoit d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). L’algorithme de Kruskal construit un arbre couvrant minimal en prenant les arêtes de la plus légère à la plus lourde et en sautant toute arête qui fermerait un cycle ; l’algorithme de Prim fait croître un arbre à partir d’un sommet de départ en ajoutant toujours l’arête la plus légère qui en sort. Un arbre couvrant à n sommets a n − 1 arêtes.

Algorithme de Kruskal

BC (2): prise
CE (4): prise
GD (6): prise
GC (7): prise
AC (9): prise
BD (10): sautée, ferme un cycle
EF (16): prise

Poids total

W = 2 + 4 + 6 + 7 + 9 + 16 = 44

Réponse

W = 44

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