Électronique numérique : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 6 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Systèmes de numération

Poids des positions
binaire 2k, octal 8k, hexa 16k
Vers le décimal
Σ dk·bk
Depuis le décimal
diviser par la base, lire les restes de bas en haut
Hexa ↔ binaire
un chiffre hexa = 4 bits
Complément à deux
inverser les bits et ajouter 1

Logique numérique : portes, tableaux de Karnaugh et bascules

Portes de base
A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
Règles booléennes
X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
De Morgan
(X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
Ordre du tableau de Karnaugh
00, 01, 11, 10 (Gray code)
Groupe de 2ᵏ cases
perd k variables
Multiplexeur 4 vers 1
F = A′B′I0 + A′BI1 + AB′I2 + ABI3
Bascules
D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
Compteurs
n bits : 2ⁿ états ; modulo N : plus petit n tel que 2ⁿ ≥ N ; fout = fclk/N
Compteur asynchrone
fmax = 1/(n·tpd)
Compteurs en anneau et Johnson
n et 2n états

Méthode

  1. Pour un circuit, travaillez des entrées vers la sortie, une porte à la fois, et écrivez la valeur sur chaque fil, ou écrivez son expression et remplissez la table de vérité.
  2. Pour la simplification, placez les 1 (et les états indifférents sous forme de X) dans un tableau de Karnaugh dont les lignes et colonnes suivent le code de Gray : 00, 01, 11, 10.
  3. Couvrez les 1 avec le moins possible de groupes de 1, 2, 4, 8 ou 16 cases, aussi grands que possible, en débordant sur les bords ; chaque groupe est un terme produit formé des variables qui restent constantes. Regroupez les 0 pour la forme POS.
  4. Pour les bascules et les compteurs, lisez les entrées à chaque front d’horloge actif, notez l’état après chaque front, et rappelez-vous qu’un compteur de n bits repasse à zéro après 2ⁿ états.

Acquisition de données et échantillonnage

Critère de Nyquist
fs > 2·fmax, fN = fs/2
Fréquence d’alias
fa = |f − k·fs|, k = round(f/fs)
Pas de quantification
1 LSB = VFSR/2ᴺ
Erreur de quantification (arrondi)
±½ LSB
CAN à troncature
D = ⌊Vin/LSB⌋
Nombre de bits pour une résolution r
2ᴺ ≥ span/r
RSBQ idéal, sinusoïde pleine échelle
SQNR = 6,02·N + 1,76 dB
Débit de données
canaux × fs × N bit/s
CAN multiplexé
fs = 1/(n·(tc + tset))
UART
Tb = 1/baud ; 8N1 = 10 bits par octet ; octets/s = baud/bits par trame
Diviseur de débit en bauds
baud = fclk/(16·D)

Méthode

  1. Notez les données : fréquence d’échantillonnage, fréquences du signal, nombre de bits, plage d’entrée, débit en bauds.
  2. Pour les questions d’échantillonnage, comparez chaque fréquence à fs/2 ; une fréquence plus élevée apparaît à fa = |f − k·fs|, avec le multiple de fs le plus proche.
  3. Pour les questions de résolution, calculez 1 LSB = VFSR/2ᴺ, ou le plus petit N tel que 2ᴺ ≥ étendue/résolution.
  4. Pour les débits et les liaisons UART, comptez tout ce qui est envoyé : canaux, échantillons par seconde, bits ou octets entiers par échantillon, et bits de start, de parité et de stop de chaque trame.

2Exercices

1.Systèmes de numérationMoyen
poids en complément à deux1−12806413211618140211

Le motif de 8 bits 1011 1101 stocke un entier signé en complément à deux. Quelle est sa valeur N en décimal ?

1011 11018 bit
N =
2.Systèmes de numérationDifficile
8 bit1 px800 px600 pxM = ? KiB

Une image non compressée fait 800 × 600 pixels avec 8 bits par pixel. Quelle mémoire M occupe-t-elle, en Kio (1 Kio = 1024 octets) ?

800 × 600 px8 bit/px1 KiB = 1024 B
M = KiB
3.Logique numérique : portes, tableaux de Karnaugh et basculesMoyen
ABCD00011110000111101111

Dans ce tableau de Karnaugh, exactement un 1 n’a aucun 1 voisin, donc il reste un groupe d’une seule case (un minterme complet de quatre littéraux) dans la forme SOP minimale. Les voisins de part et d’autre des bords du tableau comptent. Cliquez sur cette case.

F = Σm(5, 10, 13, 15)
  1. 1AB = 00, CD = 00
  2. 2AB = 00, CD = 01
  3. 3AB = 00, CD = 11
  4. 4AB = 00, CD = 10
  5. 5AB = 01, CD = 00
  6. 6AB = 01, CD = 01
  7. 7AB = 01, CD = 11
  8. 8AB = 01, CD = 10
  9. 9AB = 11, CD = 00
  10. 10AB = 11, CD = 01
  11. 11AB = 11, CD = 11
  12. 12AB = 11, CD = 10
  13. 13AB = 10, CD = 00
  14. 14AB = 10, CD = 01
  15. 15AB = 10, CD = 11
  16. 16AB = 10, CD = 10
4.Logique numérique : portes, tableaux de Karnaugh et basculesDifficile
TQ0​Q0​TQ1​Q1​TQ2​Q2​TQ3​Q3​CLKUP

Un compteur binaire croissant de 4 bits part de 6 (décimal, Q = 0110). Quelle valeur Q (en décimal) affiche-t-il après 41 impulsions d’horloge ?

Q0 = 641n = 4
Q =
5.Acquisition de données et échantillonnageMoyen
Vin​N = ?5 V2ᴺ − 10≤ 1 mV

Un CAN de plage d’entrée 0 à 5 V doit résoudre des pas de 1 mV ou moins. Trouvez le plus petit nombre de bits N.

VFSR = 5 Vrésolution = 1 mV
N =
6.Acquisition de données et échantillonnageDifficile
T10 mV/°C×4∿01N = 10, 5 V? °C/LSB

Un capteur de température délivre 10 mV/°C (0 V à 0 °C). Son signal est amplifié 4 fois et envoyé à un CAN de 10 bits de plage 0 à 5 V (1 LSB = VFSR/2ᴺ). Trouvez la variation de température ΔTLSB correspondant à un LSB.

S = 10 mV/°CG = 4N = 10VFSR = 5 V
ΔTLSB = °C

3Solutions

1.Systèmes de numération

Réponse: N = −67

Systèmes de numération positionnels : chaque chiffre vaut sa valeur multipliée par une puissance de la base. En binaire les positions valent 1, 2, 4, 8, 16, … ; en hexadécimal 1, 16, 256, …, avec A–F pour 10–15. En complément à deux sur 8 bits, le bit de gauche vaut −128 au lieu de +128 : c'est ainsi qu'on stocke les nombres négatifs.

Additionner les poids

Les autres bits gardent leurs valeurs positives habituelles.

−128 + 32 + 16 + 8 + 4 + 1 = −67

Réponse

N = −67
2.Systèmes de numération

Réponse: M = 468,8 KiB

Systèmes de numération positionnels : chaque chiffre vaut sa valeur multipliée par une puissance de la base. En binaire les positions valent 1, 2, 4, 8, 16, … ; en hexadécimal 1, 16, 256, …, avec A–F pour 10–15. En complément à deux sur 8 bits, le bit de gauche vaut −128 au lieu de +128 : c'est ainsi qu'on stocke les nombres négatifs.

Bits et octets

800·600·8 = 3840000 bit = 480000 B

Convertir en Kio

480000/1024 = 468,75 KiB

Réponse

M = 468,75 KiB
3.Logique numérique : portes, tableaux de Karnaugh et bascules

Réponse: AB = 10, CD = 10

Tableaux de Karnaugh : les cases sont ordonnées en code de Gray (00, 01, 11, 10), donc les cases voisines, y compris celles de part et d’autre des bords, diffèrent par exactement une variable. Regroupez les 1 en rectangles de 1, 2, 4, 8 ou 16 cases, aussi grands que possible et en aussi petit nombre que possible, jusqu’à ce que chaque 1 soit couvert. Chaque groupe est un terme produit : les variables qui restent constantes à l’intérieur. Un groupe de 2ᵏ cases perd k variables. Les états indifférents (X) peuvent servir à agrandir les groupes mais n’ont jamais besoin d’être couverts. Regrouper les 0 donne la forme POS minimale.

Voisins de chaque 1

Un 1 ayant un 1 voisin peut rejoindre un groupe de deux ou plus.

m10: m11, m8, m14, m2 → 0
ABCD00011110000111101111

Le 1 isolé

m10 = AB′CD′ → AB = 10, CD = 10

Réponse

AB = 10, CD = 10
4.Logique numérique : portes, tableaux de Karnaugh et bascules

Réponse: Q = 15

Bascules et compteurs : une bascule ne change qu’au front actif de l’horloge. D copie son entrée (Q⁺ = D) ; T change d’état quand T = 1 ; JK conserve pour 00, remet à 0 pour 01, met à 1 pour 10 et change d’état pour 11. Un compteur binaire de n bits a 2ⁿ états et compte modulo 2ⁿ ; un compteur modulo N va de 0, 1, …, N − 1 puis revient à 0, et exige le plus petit n tel que 2ⁿ ≥ N bascules. Chaque étage d’un compteur asynchrone divise la fréquence par deux, donc la dernière sortie d’un compteur modulo N tourne à fclk/N. Un compteur Johnson de n bascules a 2n états, un compteur en anneau n.

Cycles complets

Toutes les 16 impulsions ramènent le compteur au même état.

41 = 2·16 + 9

Valeur après les impulsions restantes

Q = (6 + 9) mod 16 = 15
Q = 1111₂

Réponse

Q = 15
5.Acquisition de données et échantillonnage

Réponse: N = 13

Résolution du CAN : un convertisseur de N bits divise sa plage pleine échelle VFSR en 2ᴺ codes, de 0 à 2ᴺ − 1. Un pas vaut 1 LSB = VFSR/2ᴺ : la plus petite variation que le convertisseur peut afficher. Un CAN à troncature donne le code ⌊Vin/LSB⌋ ; un CAN à arrondi n’est jamais à plus de ½ LSB de la valeur réelle, c’est son erreur de quantification. Chaque bit supplémentaire divise le LSB par deux et ajoute environ 6 dB au rapport signal sur bruit de quantification idéal RSBQ = 6,02·N + 1,76 dB pour une sinusoïde pleine échelle. Pour atteindre une résolution r sur une étendue, choisissez le plus petit N tel que 2ᴺ ≥ étendue/r.

Pas nécessaires

5000 mV/1 mV = 5000

Bits

log₂(5000) = 12,29
212 = 4096 < 5000 ≤ 213 = 8192
N = 13

Réponse

N = 13
6.Acquisition de données et échantillonnage

Réponse: ΔTLSB = 0,1221 °C

Résolution du CAN : un convertisseur de N bits divise sa plage pleine échelle VFSR en 2ᴺ codes, de 0 à 2ᴺ − 1. Un pas vaut 1 LSB = VFSR/2ᴺ : la plus petite variation que le convertisseur peut afficher. Un CAN à troncature donne le code ⌊Vin/LSB⌋ ; un CAN à arrondi n’est jamais à plus de ½ LSB de la valeur réelle, c’est son erreur de quantification. Chaque bit supplémentaire divise le LSB par deux et ajoute environ 6 dB au rapport signal sur bruit de quantification idéal RSBQ = 6,02·N + 1,76 dB pour une sinusoïde pleine échelle. Pour atteindre une résolution r sur une étendue, choisissez le plus petit N tel que 2ᴺ ≥ étendue/r.

Pas de quantification

1 LSB = 5000/1024 = 4,883 mV

Sensibilité à l’entrée du CAN

10·4 = 40 mV/°C

Résolution en température

ΔTLSB = 4,883/40 = 0,1221 °C

Réponse

ΔTLSB = 0,1221 °C

Le CAN atteint la pleine échelle à 125 °C.

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