Électronique numérique : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 6 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Systèmes de numération

Poids des positions: binaire 2^k, octal 8^k, hexa 16^k
Vers le décimal: Σ d_k·b^k
Depuis le décimal: diviser par la base, lire les restes de bas en haut
Hexa ↔ binaire: un chiffre hexa = 4 bits
Complément à deux: inverser les bits et ajouter 1

Logique numérique : portes, tableaux de Karnaugh et bascules

Portes de base: A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
Règles booléennes: X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
De Morgan: (X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
Ordre du tableau de Karnaugh: 00, 01, 11, 10 (Gray code)
Groupe de 2ᵏ cases: perd k variables
Multiplexeur 4 vers 1: F = A′B′I₀ + A′BI₁ + AB′I₂ + ABI₃
Bascules: D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
Compteurs: n bits : 2ⁿ états ; modulo N : plus petit n tel que 2ⁿ ≥ N ; f_out = f_clk/N
Compteur asynchrone: f_max = 1/(n·t_pd)
Compteurs en anneau et Johnson: n et 2n états

Méthode

Pour un circuit, travaillez des entrées vers la sortie, une porte à la fois, et écrivez la valeur sur chaque fil, ou écrivez son expression et remplissez la table de vérité.
Pour la simplification, placez les 1 (et les états indifférents sous forme de X) dans un tableau de Karnaugh dont les lignes et colonnes suivent le code de Gray : 00, 01, 11, 10.
Couvrez les 1 avec le moins possible de groupes de 1, 2, 4, 8 ou 16 cases, aussi grands que possible, en débordant sur les bords ; chaque groupe est un terme produit formé des variables qui restent constantes. Regroupez les 0 pour la forme POS.
Pour les bascules et les compteurs, lisez les entrées à chaque front d’horloge actif, notez l’état après chaque front, et rappelez-vous qu’un compteur de n bits repasse à zéro après 2ⁿ états.

Acquisition de données et échantillonnage

Critère de Nyquist: f_s > 2·f_max, f_N = f_s/2
Fréquence d’alias: f_a = |f − k·f_s|, k = round(f/f_s)
Pas de quantification: 1 LSB = V_FSR/2ᴺ
Erreur de quantification (arrondi): ±½ LSB
CAN à troncature: D = ⌊V_in/LSB⌋
Nombre de bits pour une résolution r: 2ᴺ ≥ span/r
RSBQ idéal, sinusoïde pleine échelle: SQNR = 6,02·N + 1,76 dB
Débit de données: canaux × f_s × N bit/s
CAN multiplexé: f_s = 1/(n·(t_c + t_set))
UART: T_b = 1/baud ; 8N1 = 10 bits par octet ; octets/s = baud/bits par trame
Diviseur de débit en bauds: baud = f_clk/(16·D)

Méthode

Notez les données : fréquence d’échantillonnage, fréquences du signal, nombre de bits, plage d’entrée, débit en bauds.
Pour les questions d’échantillonnage, comparez chaque fréquence à f_s/2 ; une fréquence plus élevée apparaît à f_a = |f − k·f_s|, avec le multiple de f_s le plus proche.
Pour les questions de résolution, calculez 1 LSB = V_FSR/2ᴺ, ou le plus petit N tel que 2ᴺ ≥ étendue/résolution.
Pour les débits et les liaisons UART, comptez tout ce qui est envoyé : canaux, échantillons par seconde, bits ou octets entiers par échantillon, et bits de start, de parité et de stop de chaque trame.

2Exercices

1.Systèmes de numérationMoyen

Le motif de 8 bits 1101 1100 stocke un entier signé en complément à deux. Quelle est sa valeur N en décimal ?

1101 11008 bit

N =

2.Systèmes de numérationDifficile

Un système doit donner à chacun de 1042 éléments son propre code binaire, tous de même longueur. Quel est le plus petit nombre de bits b nécessaire ?

1042

b = bit

3.Logique numérique : portes, tableaux de Karnaugh et basculesMoyen

Simplifiez F = A′B + A′BC′ + AC + A′B′C à sa forme somme de produits minimale. Combien de littéraux L contient l’expression simplifiée ?

F = A′B + A′BC′ + AC + A′B′C

L =

4.Logique numérique : portes, tableaux de Karnaugh et basculesDifficile

Un compteur modulo 7 synchrone compte 0, 1, …, 6 puis revient à 0. Il part de 6. Quelle valeur Q (en décimal) affiche-t-il après 19 impulsions d’horloge ?

Q₀ = 619N = 7

Q =

5.Acquisition de données et échantillonnageMoyen

Un CAN de 10 bits, de plage d’entrée 0 à 5 V, fonctionne par troncature : son code de sortie est ⌊V_in/LSB⌋ avec 1 LSB = V_FSR/2ᴺ. Trouvez le code de sortie décimal D pour une entrée de 3,543 V.

N = 10V_FSR = 5 VV_in = 3,543 V

D =

6.Acquisition de données et échantillonnageDifficile

Un capteur de température délivre 10 mV/°C (0 V à 0 °C). Son signal est amplifié 10 fois et envoyé à un CAN de 12 bits de plage 0 à 10 V (1 LSB = V_FSR/2ᴺ). Trouvez la variation de température ΔT_LSB correspondant à un LSB.

S = 10 mV/°CG = 10N = 12V_FSR = 10 V

ΔT_LSB = °C

3Solutions

1.Systèmes de numération

Réponse: N = −36

Systèmes de numération positionnels : chaque chiffre vaut sa valeur multipliée par une puissance de la base. En binaire les positions valent 1, 2, 4, 8, 16, … ; en hexadécimal 1, 16, 256, …, avec A–F pour 10–15. En complément à deux sur 8 bits, le bit de gauche vaut −128 au lieu de +128 : c'est ainsi qu'on stocke les nombres négatifs.

Additionner les poids

Les autres bits gardent leurs valeurs positives habituelles.

−128 + 64 + 16 + 8 + 4 = −36

Réponse

N = −36

2.Systèmes de numération

Réponse: b = 11 bit

Puissances de deux

2¹⁰ = 1024 < 1042

2¹¹ = 2048 ≥ 1042

Réponse

b = 11

3.Logique numérique : portes, tableaux de Karnaugh et bascules

Réponse: L = 3

Algèbre de Boole : les règles qui simplifient les expressions sont X + X′ = 1 et X·X′ = 0, X + X = X, l’absorption X + X·Y = X, la règle de combinaison X·Y + X·Y′ = X, X + X′Y = X + Y et le théorème du consensus XY + X′Z + YZ = XY + X′Z. Les lois de De Morgan transforment (X·Y)′ en X′ + Y′ et (X + Y)′ en X′·Y′. Un tableau de Karnaugh applique ces règles graphiquement : chaque groupe de deux cases voisines est une utilisation de XY + XY′ = X.

Mintermes de l’expression

A′B → m(2, 3)

A′BC′ → m(2)

AC → m(5, 7)

A′B′C → m(1)

Regrouper et lire

F = C + A′B

Compter les littéraux

L = 3

Réponse

L = 3

4.Logique numérique : portes, tableaux de Karnaugh et bascules

Réponse: Q = 4

Bascules et compteurs : une bascule ne change qu’au front actif de l’horloge. D copie son entrée (Q⁺ = D) ; T change d’état quand T = 1 ; JK conserve pour 00, remet à 0 pour 01, met à 1 pour 10 et change d’état pour 11. Un compteur binaire de n bits a 2ⁿ états et compte modulo 2ⁿ ; un compteur modulo N va de 0, 1, …, N − 1 puis revient à 0, et exige le plus petit n tel que 2ⁿ ≥ N bascules. Chaque étage d’un compteur asynchrone divise la fréquence par deux, donc la dernière sortie d’un compteur modulo N tourne à f_clk/N. Un compteur Johnson de n bascules a 2n états, un compteur en anneau n.

Cycles complets

Toutes les 7 impulsions ramènent le compteur au même état.

19 = 2·7 + 5

Valeur après les impulsions restantes

Q = (6 + 5) mod 7 = 4

Q = 100₂

Réponse

Q = 4

5.Acquisition de données et échantillonnage

Réponse: D = 725

Résolution du CAN : un convertisseur de N bits divise sa plage pleine échelle V_FSR en 2ᴺ codes, de 0 à 2ᴺ − 1. Un pas vaut 1 LSB = V_FSR/2ᴺ : la plus petite variation que le convertisseur peut afficher. Un CAN à troncature donne le code ⌊V_in/LSB⌋ ; un CAN à arrondi n’est jamais à plus de ½ LSB de la valeur réelle, c’est son erreur de quantification. Chaque bit supplémentaire divise le LSB par deux et ajoute environ 6 dB au rapport signal sur bruit de quantification idéal RSBQ = 6,02·N + 1,76 dB pour une sinusoïde pleine échelle. Pour atteindre une résolution r sur une étendue, choisissez le plus petit N tel que 2ᴺ ≥ étendue/r.

Pas de quantification

1 LSB = 5/2¹⁰ = 4,883 mV

Code

V_in/LSB = 3543/4,883 = 725,6

code = ⌊725,6⌋ = 725

Réponse

D = 725

En binaire, cela donne 1011010101.

6.Acquisition de données et échantillonnage

Réponse: ΔT_LSB = 0,02441 °C

Pas de quantification

1 LSB = 10000/4096 = 2,441 mV

Sensibilité à l’entrée du CAN

10·10 = 100 mV/°C

Résolution en température

ΔT_LSB = 2,441/100 = 0,02441 °C

Réponse

ΔT_LSB = 0,02441 °C

Le CAN atteint la pleine échelle à 100 °C.

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