Électronique numérique : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 6 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Systèmes de numération

Poids des positions: binaire 2^k, octal 8^k, hexa 16^k
Vers le décimal: Σ d_k·b^k
Depuis le décimal: diviser par la base, lire les restes de bas en haut
Hexa ↔ binaire: un chiffre hexa = 4 bits
Complément à deux: inverser les bits et ajouter 1

Logique numérique : portes, tableaux de Karnaugh et bascules

Portes de base: A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
Règles booléennes: X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
De Morgan: (X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
Ordre du tableau de Karnaugh: 00, 01, 11, 10 (Gray code)
Groupe de 2ᵏ cases: perd k variables
Multiplexeur 4 vers 1: F = A′B′I₀ + A′BI₁ + AB′I₂ + ABI₃
Bascules: D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
Compteurs: n bits : 2ⁿ états ; modulo N : plus petit n tel que 2ⁿ ≥ N ; f_out = f_clk/N
Compteur asynchrone: f_max = 1/(n·t_pd)
Compteurs en anneau et Johnson: n et 2n états

Méthode

Pour un circuit, travaillez des entrées vers la sortie, une porte à la fois, et écrivez la valeur sur chaque fil, ou écrivez son expression et remplissez la table de vérité.
Pour la simplification, placez les 1 (et les états indifférents sous forme de X) dans un tableau de Karnaugh dont les lignes et colonnes suivent le code de Gray : 00, 01, 11, 10.
Couvrez les 1 avec le moins possible de groupes de 1, 2, 4, 8 ou 16 cases, aussi grands que possible, en débordant sur les bords ; chaque groupe est un terme produit formé des variables qui restent constantes. Regroupez les 0 pour la forme POS.
Pour les bascules et les compteurs, lisez les entrées à chaque front d’horloge actif, notez l’état après chaque front, et rappelez-vous qu’un compteur de n bits repasse à zéro après 2ⁿ états.

Acquisition de données et échantillonnage

Critère de Nyquist: f_s > 2·f_max, f_N = f_s/2
Fréquence d’alias: f_a = |f − k·f_s|, k = round(f/f_s)
Pas de quantification: 1 LSB = V_FSR/2ᴺ
Erreur de quantification (arrondi): ±½ LSB
CAN à troncature: D = ⌊V_in/LSB⌋
Nombre de bits pour une résolution r: 2ᴺ ≥ span/r
RSBQ idéal, sinusoïde pleine échelle: SQNR = 6,02·N + 1,76 dB
Débit de données: canaux × f_s × N bit/s
CAN multiplexé: f_s = 1/(n·(t_c + t_set))
UART: T_b = 1/baud ; 8N1 = 10 bits par octet ; octets/s = baud/bits par trame
Diviseur de débit en bauds: baud = f_clk/(16·D)

Méthode

Notez les données : fréquence d’échantillonnage, fréquences du signal, nombre de bits, plage d’entrée, débit en bauds.
Pour les questions d’échantillonnage, comparez chaque fréquence à f_s/2 ; une fréquence plus élevée apparaît à f_a = |f − k·f_s|, avec le multiple de f_s le plus proche.
Pour les questions de résolution, calculez 1 LSB = V_FSR/2ᴺ, ou le plus petit N tel que 2ᴺ ≥ étendue/résolution.
Pour les débits et les liaisons UART, comptez tout ce qui est envoyé : canaux, échantillons par seconde, bits ou octets entiers par échantillon, et bits de start, de parité et de stop de chaque trame.

2Exercices

1.Systèmes de numérationMoyen

Positionnez les bits pour qu’ils représentent −80 en complément à deux sur 8 bits. Lu comme un nombre non signé, quelle est la valeur U du motif ?

N = −808 bit

U =

2.Systèmes de numérationDifficile

Quel est l'entier le plus négatif N que l'on peut stocker en complément à deux sur 16 bits ?

16 bit

N =

3.Logique numérique : portes, tableaux de Karnaugh et basculesMoyen

Un multiplexeur 4 vers 1 a ses entrées de sélection S₁ = A et S₀ = B, et ses entrées de données reliées à I₀ = C, I₁ = 1, I₂ = 1, I₃ = C. Pour combien des 8 combinaisons de A, B et C la sortie vaut-elle F = 1 ? Trouvez N.

I₀ = CI₁ = 1I₂ = 1I₃ = C

N =

4.Logique numérique : portes, tableaux de Karnaugh et basculesDifficile

Un compteur asynchrone de 5 bits est construit avec des bascules ayant chacune un temps de propagation de 10 ns. Toutes les sorties doivent être stabilisées avant le front d’horloge suivant. Trouvez la fréquence d’horloge maximale f_max.

n = 5t_pd = 10 ns

f_max = MHz

5.Acquisition de données et échantillonnageMoyen

Trouvez le rapport signal sur bruit de quantification idéal SQNR d’un CAN de 20 bits pour une sinusoïde pleine échelle.

N = 20

SQNR = dB

6.Acquisition de données et échantillonnageDifficile

Une mesure audio demande un rapport signal sur bruit de quantification idéal d’au moins 70 dB pour une sinusoïde pleine échelle. Trouvez le plus petit nombre de bits N du CAN.

SQNR ≥ 70 dB

N =

3Solutions

1.Systèmes de numération

Réponse: U = 176

Positionner les bits : chaque bit vaut une puissance de deux (128, 64, …, 1). Un chiffre hexadécimal correspond exactement à quatre bits, et en complément à deux sur 8 bits, le bit le plus à gauche vaut −128. Les opérations bit à bit s’appliquent séparément à chaque position de bit.

Inverser et ajouter un

80 = 0101 0000

inversé: 1010 1111

+1 → 1011 0000

Le lire en non signé

1011 0000₂ = 256 − 80 = 176

Réponse

U = 176

2.Systèmes de numération

Réponse: N = −32768

Systèmes de numération positionnels : chaque chiffre vaut sa valeur multipliée par une puissance de la base. En binaire les positions valent 1, 2, 4, 8, 16, … ; en hexadécimal 1, 16, 256, …, avec A–F pour 10–15. En complément à deux sur 8 bits, le bit de gauche vaut −128 au lieu de +128 : c'est ainsi qu'on stocke les nombres négatifs.

Valeur la plus négative

−2¹⁵ = −32768

Réponse

N = −32768

3.Logique numérique : portes, tableaux de Karnaugh et bascules

Réponse: N = 6

Multiplexeur : un multiplexeur 2ⁿ vers 1 transmet l’une de ses entrées de données à la sortie ; les lignes de sélection, lues comme un nombre binaire, choisissent laquelle. Pour un MUX 4 vers 1 avec sélections S₁S₀ = AB, F = A′B′·I₀ + A′B·I₁ + AB′·I₂ + AB·I₃. En reliant les entrées de données à 0, 1, C ou C′, le MUX produit n’importe quelle fonction de A, B et C, ce qui est une manière courante de réaliser une logique avec un seul circuit.

Expression de sortie

F = A′B′C + A′B + AB′ + ABC

Lignes avec F = 1

ABC = 001, 010, 011, 100, 101, 111

N = 6

Réponse

N = 6

4.Logique numérique : portes, tableaux de Karnaugh et bascules

Réponse: f_max = 20 MHz

Bascules et compteurs : une bascule ne change qu’au front actif de l’horloge. D copie son entrée (Q⁺ = D) ; T change d’état quand T = 1 ; JK conserve pour 00, remet à 0 pour 01, met à 1 pour 10 et change d’état pour 11. Un compteur binaire de n bits a 2ⁿ états et compte modulo 2ⁿ ; un compteur modulo N va de 0, 1, …, N − 1 puis revient à 0, et exige le plus petit n tel que 2ⁿ ≥ N bascules. Chaque étage d’un compteur asynchrone divise la fréquence par deux, donc la dernière sortie d’un compteur modulo N tourne à f_clk/N. Un compteur Johnson de n bascules a 2n états, un compteur en anneau n.

Temps de stabilisation dans le pire cas

T = 5·10 ns = 50 ns

Fréquence maximale

f_max = 1/50 ns = 20 MHz

Réponse

f_max = 20 MHz

5.Acquisition de données et échantillonnage

Réponse: SQNR = 122,2 dB

Résolution du CAN : un convertisseur de N bits divise sa plage pleine échelle V_FSR en 2ᴺ codes, de 0 à 2ᴺ − 1. Un pas vaut 1 LSB = V_FSR/2ᴺ : la plus petite variation que le convertisseur peut afficher. Un CAN à troncature donne le code ⌊V_in/LSB⌋ ; un CAN à arrondi n’est jamais à plus de ½ LSB de la valeur réelle, c’est son erreur de quantification. Chaque bit supplémentaire divise le LSB par deux et ajoute environ 6 dB au rapport signal sur bruit de quantification idéal RSBQ = 6,02·N + 1,76 dB pour une sinusoïde pleine échelle. Pour atteindre une résolution r sur une étendue, choisissez le plus petit N tel que 2ᴺ ≥ étendue/r.

RSBQ idéal

SQNR = 6,02·20 + 1,76 = 122,2 dB

Réponse

SQNR = 122,2 dB

6.Acquisition de données et échantillonnage

Réponse: N = 12

Résoudre pour N

N ≥ (70 − 1,76)/6,02 = 11,34

Arrondir vers le haut

N = 12

vérification: 6,02·12 + 1,76 = 74 dB ≥ 70 dB

Réponse

N = 12

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