Mathématiques discrètes : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 8 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Logique propositionnelle et preuves

Lignes d’une table de vérité: 2ⁿ
Implication: p → q ≡ ¬p ∨ q ≡ ¬q → ¬p
Implication niée: ¬(p → q) ≡ p ∧ ¬q
Équivalence: p ↔ q ≡ (p → q) ∧ (q → p)
De Morgan: ¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q, ¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q
Lois de distributivité: p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r), p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
Quantificateurs niés: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x), ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)
Modus ponens, modus tollens: p → q, p ⊢ q; p → q, ¬q ⊢ ¬p

Méthode

Comptez les variables distinctes : la table de vérité a 2ⁿ lignes, la première avec toutes les variables à 1.
Donnez à chaque sous-formule sa propre colonne et remplissez les colonnes de l’intérieur vers l’extérieur.
Appliquez la règle de chaque connecteur : → n’est 0 que pour 1 → 0, ↔ vaut 1 quand les deux côtés sont égaux.
Pour des équivalences, comparez les colonnes finales ligne par ligne ; pour un raisonnement, regardez seulement les lignes où toutes les prémisses valent 1.
Pour nier un énoncé quantifié, faites passer ¬ vers l’intérieur, échangez ∀ et ∃, et niez la formule intérieure.

Ensembles, relations et fonctions

Deux ensembles: |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|
Trois ensembles: |A ∪ B ∪ C| = |A| + |B| + |C| − |A ∩ B| − |A ∩ C| − |B ∩ C| + |A ∩ B ∩ C|
Différence et complémentaire: A − B = A ∩ B′, |A′| = |U| − |A|
Ensemble des parties et produit: |𝒫(A)| = 2^|A|, |A × B| = |A|·|B|
Sous-ensembles de taille k: C(n, k) = n!/(k!(n − k)!)
Fonctions A → B: nᵐ; injective n!/(n − m)!; surjective Σ (−1)ᵏ C(n, k)(n − k)ᵐ
Relations sur n éléments: 2^n²; reflexive 2^{n² − n}; symmetric 2^n(n+1)/2
Composition: (g ∘ f)(x) = g(f(x))

Méthode

Dessinez un diagramme de Venn et décidez région par région ce qui appartient à l’expression ensembliste.
Pour les problèmes de dénombrement, remplissez les régions du centre vers l’extérieur : tous les ensembles, puis les paires, puis les ensembles seuls, puis l’extérieur.
Utilisez le principe d’inclusion-exclusion comme vérification : |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|.
Pour une relation, testez chaque propriété sur chaque paire et donnez un contre-exemple quand elle échoue.
Pour une fonction, comptez les flèches qui arrivent à chaque élément de B : au plus une signifie injective, au moins une surjective.

Théorie des graphes

Lemme des poignées de main: Σ deg(v) = 2|E|
Graphes complets: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
Graphe régulier: |E| = n·k/2
Arbre et forêt: |E| = n − 1, |E| = n − c
Feuilles d’un arbre: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler: circuit : tous les degrés pairs ; chemin : exactement 2 degrés impairs
Circuits hamiltoniens dans K_n: (n − 1)!/2
Mise à jour de Dijkstra: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Marches de longueur L: (Mᴸ)_ij

Méthode

Notez le degré de chaque sommet ; la somme des degrés vaut deux fois le nombre d’arêtes.
Pour les questions d’Euler, vérifiez que le graphe est connexe et comptez les sommets de degré impair.
Pour les arbres, utilisez n − 1 arêtes et le lemme des poignées de main.
Pour Dijkstra, tenez un tableau des distances provisoires et fixez à chaque tour le sommet non fixé de plus petite distance.
Pour un arbre couvrant minimal, triez les arêtes par poids et sautez toute arête qui ferme un cycle (Kruskal), ou faites croître un arbre à partir d’un sommet de départ (Prim).

Théorie des nombres et arithmétique modulaire

Division avec reste: a = q·n + r, 0 ≤ r < n
Euclide: gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
Plus petit commun multiple: lcm(a, b) = a·b/gcd(a, b)
Inverse: a·a⁻¹ ≡ 1 (mod n), gcd(a, n) = 1
Congruence linéaire: a·x ≡ b → x ≡ a⁻¹·b (mod n)
Indicatrice d’Euler: φ(n) = n·∏(1 − 1/p), φ(pᵏ) = pᵏ − pᵏ⁻¹
Fermat: aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)
RSA: n = pq, φ = (p − 1)(q − 1), d = e⁻¹ mod φ, c = mᵉ mod n, m = cᵈ mod n

Méthode

Réduisez d’abord chaque nombre modulo n ; les restes sont compris entre 0 et n − 1.
Pour un pgcd, divisez plusieurs fois avec l’algorithme d’Euclide ; le dernier reste non nul est le pgcd.
Pour un inverse, appliquez l’algorithme étendu et gardez le coefficient de a ; ajoutez n s’il est négatif.
Résolvez a·x ≡ b en multipliant par a⁻¹ ; combinez deux congruences en écrivant x = r₁ + m₁k.
Pour les puissances, écrivez l’exposant en binaire et élevez au carré à répétition ; en RSA, d = e⁻¹ mod φ(n) avec φ(n) = (p − 1)(q − 1).

2Exercices

1.Logique propositionnelle et preuvesMoyen

Quelle formule est logiquement équivalente à c → b ? Cliquez dessus.

c → b

1b → c
2¬c → ¬b
3¬b → ¬c
4¬b ∧ ¬c

2.Logique propositionnelle et preuvesDifficile

Les prémisses a → c; c → b sont données. Quelle conclusion en découle ? Cliquez dessus.

a → cc → b

1b → a
2a → b
3a ∧ b
4¬a → ¬b

3.Ensembles, relations et fonctionsMoyen

Une seule région du diagramme de Venn est l’ensemble (C ∩ A′) − (B ∩ C). Cliquez sur son numéro.

(C ∩ A′) − (B ∩ C)

1région 1
2région 2
3région 3
4région 4
5région 5
6région 6
7région 7
8région 8

4.Ensembles, relations et fonctionsDifficile

Le diagramme sagittal montre une fonction f: A → B avec A = {1, 2, 3, 4} et B = {a, b, c, d}. Cliquez sur la description qui convient à f.

f = {(1, b), (2, c), (3, d), (4, a)}

1injective, non surjective
2surjective, non injective
3bijective
4ni l’une ni l’autre

5.Théorie des graphesMoyen

Combien de circuits hamiltoniens différents H le graphe complet K₅ a-t-il ? Les circuits qui ne diffèrent que par le sommet de départ ou le sens comptent comme un seul.

K₅

H =

6.Théorie des graphesDifficile

Trouvez le poids total W d’un arbre couvrant minimal du graphe pondéré.

|V| = 7|E| = 9

W =

7.Théorie des nombres et arithmétique modulaireMoyen

Trouvez l’inverse de 39 modulo 89 : le nombre x avec 0 < x < 89 et 39·x ≡ 1 (mod 89).

a = 39n = 89

39⁻¹ mod 89 =

8.Théorie des nombres et arithmétique modulaireDifficile

Chiffre le message m = 140 avec la clé publique RSA (n, e) = (143, 17). Trouvez le chiffré c.

n = 143e = 17m = 140

c =

3Solutions

1.Logique propositionnelle et preuves

Réponse: ¬b → ¬c

Équivalence logique : deux formules sont équivalentes (≡) quand elles ont la même valeur dans chaque ligne de la table de vérité. Une tautologie vaut 1 dans toutes les lignes, une contradiction 0 dans toutes les lignes, et une contingence n’est ni l’une ni l’autre. Lois utiles : De Morgan, ¬(a ∧ b) ≡ ¬a ∨ ¬b et ¬(a ∨ b) ≡ ¬a ∧ ¬b ; a → b ≡ ¬a ∨ b ≡ ¬b → ¬a (contraposée) ; ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b ; et les lois de distributivité, a ∨ (b ∧ c) ≡ (a ∨ b) ∧ (a ∨ c).

La loi

Une implication est équivalente à sa contraposée ¬b → ¬a, pas à sa réciproque b → a ni à son inverse ¬a → ¬b.

c → b ≡ ¬b → ¬c

Vérifier avec la table de vérité

b = 1, c = 1: 1 | 1 1 1 0

b = 1, c = 0: 1 | 0 0 1 0

b = 0, c = 1: 0 | 1 1 0 0

b = 0, c = 0: 1 | 1 1 1 1

Réponse

¬b → ¬c

Les colonnes après la barre sont les options dans l’ordre affiché.

2.Logique propositionnelle et preuves

Réponse: a → b

Quantificateurs et raisonnements : ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x) et ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x). Faites passer une négation vers l’intérieur, échangez chaque quantificateur qu’elle traverse, et niez la formule intérieure avec les lois propositionnelles, comme ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b. Un raisonnement est valide quand la conclusion vaut 1 dans toutes les lignes où toutes les prémisses valent 1. Une seule ligne avec des prémisses vraies et une conclusion fausse est un contre-exemple et montre que le raisonnement est invalide.

Lignes où toutes les prémisses sont vraies

a = 1, b = 1, c = 1: b → a = 1, a → b = 1, a ∧ b = 1, ¬a → ¬b = 1

a = 0, b = 1, c = 1: b → a = 0, a → b = 1, a ∧ b = 0, ¬a → ¬b = 0

a = 0, b = 1, c = 0: b → a = 0, a → b = 1, a ∧ b = 0, ¬a → ¬b = 0

a = 0, b = 0, c = 0: b → a = 1, a → b = 1, a ∧ b = 0, ¬a → ¬b = 1

Conclusion

a → b (syllogisme hypothétique)

Réponse

a → b

3.Ensembles, relations et fonctions

Réponse: région 2

Ensembles et diagrammes de Venn : A ∪ B contient les éléments de A ou de B (ou des deux), A ∩ B les éléments des deux, A − B les éléments de A qui ne sont pas dans B, et le complémentaire A′ tout ce qui est dans U sans être dans A. Dans un diagramme de Venn, toute expression ensembliste est une réunion de régions, donc dénombre-la région par région. Inclusion-exclusion : |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|, et |A ∪ B ∪ C| = |A| + |B| + |C| − |A ∩ B| − |A ∩ C| − |B ∩ C| + |A ∩ B ∩ C|.

À l’intérieur ou à l’extérieur de chaque ensemble

A′ ∩ B′ ∩ C

La région

région 2

Réponse

région 2

4.Ensembles, relations et fonctions

Réponse: bijective

Fonctions et dénombrement : une fonction f: A → B donne à chaque élément de A exactement une image dans B. f est injective quand des éléments différents ont des images différentes, surjective quand tout élément de B est une image, et bijective quand les deux sont vraies. Avec |A| = m et |B| = n il y a nᵐ fonctions, n!/(n − m)! fonctions injectives (m ≤ n), et par inclusion-exclusion Σ (−1)ᵏ·C(n, k)·(n − k)ᵐ fonctions surjectives. |𝒫(A)| = 2ᵐ et |A × B| = m·n.

Injective ?

chaque élément de B est atteint au plus une fois → injective

Surjective ?

chaque élément de B est atteint → surjective

Réponse

bijective

Réponse

bijective

5.Théorie des graphes

Réponse: H = 12

Euler, Hamilton et arbres : un graphe connexe a un circuit eulérien (chaque arête une fois, retour au départ) quand tous les sommets ont un degré pair, et un chemin eulérien qui n’est pas un circuit quand exactement deux sommets ont un degré impair ; le chemin va alors d’un sommet impair à l’autre. Un circuit hamiltonien visite chaque sommet une fois ; K_n en a (n − 1)!/2. Un arbre à n sommets a n − 1 arêtes, et un graphe connexe à m arêtes conserve un arbre couvrant après suppression de m − n + 1 arêtes.

Compter

H = (5 − 1)!/2 = 24/2 = 12

Réponse

H = 12

6.Théorie des graphes

Réponse: W = 42

Plus courts chemins et arbres couvrants : l’algorithme de Dijkstra fixe un sommet par tour : le sommet non fixé de plus petite distance provisoire. Sa distance est alors définitive, et chaque voisin v reçoit d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). L’algorithme de Kruskal construit un arbre couvrant minimal en prenant les arêtes de la plus légère à la plus lourde et en sautant toute arête qui fermerait un cycle ; l’algorithme de Prim fait croître un arbre à partir d’un sommet de départ en ajoutant toujours l’arête la plus légère qui en sort. Un arbre couvrant à n sommets a n − 1 arêtes.

Algorithme de Kruskal

GD (1): prise

GE (3): prise

DF (4): prise

DE (6): sautée, ferme un cycle

CE (7): prise

GC (8): sautée, ferme un cycle

BC (11): prise

AB (16): prise

Poids total

W = 1 + 3 + 4 + 7 + 11 + 16 = 42

Réponse

W = 42

7.Théorie des nombres et arithmétique modulaire

Réponse: 39⁻¹ mod 89 = 16

Inverses et congruences : a a un inverse modulo n exactement quand pgcd(a, n) = 1. L’algorithme d’Euclide étendu écrit 1 = s·n + t·a, et alors a⁻¹ ≡ t (mod n). Une congruence a·x ≡ b (mod n) avec pgcd(a, n) = 1 a pour solution x ≡ a⁻¹·b. Deux congruences x ≡ r₁ (mod m₁) et x ≡ r₂ (mod m₂) à modules premiers entre eux ont une solution modulo m₁·m₂ (théorème des restes chinois). L’indicatrice d’Euler φ(n) compte les nombres de 1 à n premiers avec n : φ(n) = n·∏(1 − 1/p).

Algorithme d’Euclide étendu

Chaque reste r s’écrit r ≡ t·39 (mod 89).

r = 89, t = 0

r = 39, q = 2, t = 1

r = 11, q = 3, t = −2

r = 6, q = 1, t = 7

r = 5, q = 1, t = −9

r = 1, q = 5, t = 16

Inverse

1 ≡ 16·39 (mod 89)

x = 16

vérification: 39·16 = 624 = 7·89 + 1

Réponse

39⁻¹ mod 89 = 16

8.Théorie des nombres et arithmétique modulaire

Réponse: c = 134

Puissances modulaires et RSA : calculez aᵏ mod n par carrés répétés : écrivez k en binaire, élevez au carré, réduisez après chaque étape et multipliez les puissances dont le bit vaut 1. Fermat : aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p) pour un nombre premier p ne divisant pas a, donc l’exposant peut être réduit modulo p − 1. RSA : choisissez des nombres premiers p et q, n = p·q et φ(n) = (p − 1)(q − 1) ; l’exposant public e est premier avec φ(n), et l’exposant privé est d = e⁻¹ mod φ(n). Chiffre avec c = mᵉ mod n et déchiffrez avec m = cᵈ mod n.

Carré répété

17 = 16 + 1

140¹ ≡ 140 (mod 143)

140² ≡ 9 (mod 143)

140⁴ ≡ 81 (mod 143)

140⁸ ≡ 126 (mod 143)

140¹⁶ ≡ 3 (mod 143)

140¹⁷ ≡ 140·3 ≡ 134 (mod 143)

Chiffré

c = 134

Réponse

c = 134

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