Mathématiques discrètes : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 8 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Logique propositionnelle et preuves

Lignes d’une table de vérité: 2ⁿ
Implication: p → q ≡ ¬p ∨ q ≡ ¬q → ¬p
Implication niée: ¬(p → q) ≡ p ∧ ¬q
Équivalence: p ↔ q ≡ (p → q) ∧ (q → p)
De Morgan: ¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q, ¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q
Lois de distributivité: p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r), p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
Quantificateurs niés: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x), ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)
Modus ponens, modus tollens: p → q, p ⊢ q; p → q, ¬q ⊢ ¬p

Méthode

Comptez les variables distinctes : la table de vérité a 2ⁿ lignes, la première avec toutes les variables à 1.
Donnez à chaque sous-formule sa propre colonne et remplissez les colonnes de l’intérieur vers l’extérieur.
Appliquez la règle de chaque connecteur : → n’est 0 que pour 1 → 0, ↔ vaut 1 quand les deux côtés sont égaux.
Pour des équivalences, comparez les colonnes finales ligne par ligne ; pour un raisonnement, regardez seulement les lignes où toutes les prémisses valent 1.
Pour nier un énoncé quantifié, faites passer ¬ vers l’intérieur, échangez ∀ et ∃, et niez la formule intérieure.

Ensembles, relations et fonctions

Deux ensembles: |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|
Trois ensembles: |A ∪ B ∪ C| = |A| + |B| + |C| − |A ∩ B| − |A ∩ C| − |B ∩ C| + |A ∩ B ∩ C|
Différence et complémentaire: A − B = A ∩ B′, |A′| = |U| − |A|
Ensemble des parties et produit: |𝒫(A)| = 2^|A|, |A × B| = |A|·|B|
Sous-ensembles de taille k: C(n, k) = n!/(k!(n − k)!)
Fonctions A → B: nᵐ; injective n!/(n − m)!; surjective Σ (−1)ᵏ C(n, k)(n − k)ᵐ
Relations sur n éléments: 2^n²; reflexive 2^{n² − n}; symmetric 2^n(n+1)/2
Composition: (g ∘ f)(x) = g(f(x))

Méthode

Dessinez un diagramme de Venn et décidez région par région ce qui appartient à l’expression ensembliste.
Pour les problèmes de dénombrement, remplissez les régions du centre vers l’extérieur : tous les ensembles, puis les paires, puis les ensembles seuls, puis l’extérieur.
Utilisez le principe d’inclusion-exclusion comme vérification : |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|.
Pour une relation, testez chaque propriété sur chaque paire et donnez un contre-exemple quand elle échoue.
Pour une fonction, comptez les flèches qui arrivent à chaque élément de B : au plus une signifie injective, au moins une surjective.

Théorie des graphes

Lemme des poignées de main: Σ deg(v) = 2|E|
Graphes complets: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
Graphe régulier: |E| = n·k/2
Arbre et forêt: |E| = n − 1, |E| = n − c
Feuilles d’un arbre: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler: circuit : tous les degrés pairs ; chemin : exactement 2 degrés impairs
Circuits hamiltoniens dans K_n: (n − 1)!/2
Mise à jour de Dijkstra: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Marches de longueur L: (Mᴸ)_ij

Méthode

Notez le degré de chaque sommet ; la somme des degrés vaut deux fois le nombre d’arêtes.
Pour les questions d’Euler, vérifiez que le graphe est connexe et comptez les sommets de degré impair.
Pour les arbres, utilisez n − 1 arêtes et le lemme des poignées de main.
Pour Dijkstra, tenez un tableau des distances provisoires et fixez à chaque tour le sommet non fixé de plus petite distance.
Pour un arbre couvrant minimal, triez les arêtes par poids et sautez toute arête qui ferme un cycle (Kruskal), ou faites croître un arbre à partir d’un sommet de départ (Prim).

Théorie des nombres et arithmétique modulaire

Division avec reste: a = q·n + r, 0 ≤ r < n
Euclide: gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
Plus petit commun multiple: lcm(a, b) = a·b/gcd(a, b)
Inverse: a·a⁻¹ ≡ 1 (mod n), gcd(a, n) = 1
Congruence linéaire: a·x ≡ b → x ≡ a⁻¹·b (mod n)
Indicatrice d’Euler: φ(n) = n·∏(1 − 1/p), φ(pᵏ) = pᵏ − pᵏ⁻¹
Fermat: aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)
RSA: n = pq, φ = (p − 1)(q − 1), d = e⁻¹ mod φ, c = mᵉ mod n, m = cᵈ mod n

Méthode

Réduisez d’abord chaque nombre modulo n ; les restes sont compris entre 0 et n − 1.
Pour un pgcd, divisez plusieurs fois avec l’algorithme d’Euclide ; le dernier reste non nul est le pgcd.
Pour un inverse, appliquez l’algorithme étendu et gardez le coefficient de a ; ajoutez n s’il est négatif.
Résolvez a·x ≡ b en multipliant par a⁻¹ ; combinez deux congruences en écrivant x = r₁ + m₁k.
Pour les puissances, écrivez l’exposant en binaire et élevez au carré à répétition ; en RSA, d = e⁻¹ mod φ(n) avec φ(n) = (p − 1)(q − 1).

2Exercices

1.Logique propositionnelle et preuvesMoyen

Dans combien des 8 lignes de sa table de vérité ¬(((q → p) ∨ r) ↔ (q → r)) est-elle vraie ? Appelez ce nombre N.

¬(((q → p) ∨ r) ↔ (q → r))

N =

2.Logique propositionnelle et preuvesDifficile

Quel énoncé est équivalent à ¬∀x ∃y R(x, y), la négation étant passée complètement à l’intérieur ? Cliquez dessus.

¬∀x ∃y R(x, y)

1∃y ∀x ¬R(x, y)
2∃x ∀y ¬R(x, y)
3∀x ∃y ¬R(x, y)
4∀x ∀y ¬R(x, y)

3.Ensembles, relations et fonctionsMoyen

Dans un groupe de 46 étudiants, 19 parlent français (F), 21 parlent allemand (G) et 16 parlent espagnol (S). 6 parlent français et allemand, 6 français et espagnol, 6 allemand et espagnol, et 4 parlent les trois. Combien sont dans exactement deux des trois ensembles ? Appelez ce nombre n.

|U| = 46

n =

4.Ensembles, relations et fonctionsDifficile

Sur X = {1, 2, …, 13}, la relation R est vérifiée quand x ≡ y (mod 3). Combien de couples ordonnés R contient-elle ? Appelez ce nombre |R|.

X = {1, …, 13}x R y ⟺ 3 | (x − y)

|R| =

5.Théorie des graphesMoyen

Le graphe connexe a-t-il un circuit eulérien, un chemin eulérien qui n’est pas un circuit, ou ni l’un ni l’autre ? Cliquez sur votre réponse.

|V| = 7|E| = 12

1Circuit eulérien
2Chemin eulérien, pas de circuit
3ni l’une ni l’autre

6.Théorie des graphesDifficile

L’algorithme de Kruskal construit un arbre couvrant minimal. Cliquez sur l’arête qu’il ajoute en numéro 4 ; les arêtes sautées ne comptent pas.

k = 4

1arête AB
2arête AC
3arête BC
4arête BD
5arête CE
6arête DE
7arête BE

7.Théorie des nombres et arithmétique modulaireMoyen

Trouvez l’inverse de 51 modulo 92 : le nombre x avec 0 < x < 92 et 51·x ≡ 1 (mod 92).

a = 51n = 92

51⁻¹ mod 92 =

8.Théorie des nombres et arithmétique modulaireDifficile

Combien de solutions N a 39x ≡ 21 (mod 48) dans {0, 1, …, 47} ?

39x ≡ 21 (mod 48)

N =

3Solutions

1.Logique propositionnelle et preuves

Réponse: N = 1

Tables de vérité : une formule à n variables distinctes a 2ⁿ lignes, une pour chaque combinaison de valeurs de vérité (1 = vrai, 0 = faux). Travaillez de l’intérieur vers l’extérieur et donnez à chaque sous-formule sa propre colonne. ¬a inverse la valeur ; a ∧ b vaut 1 seulement quand les deux valent 1 ; a ∨ b vaut 0 seulement quand les deux valent 0 ; a → b vaut 0 seulement quand a = 1 et b = 0 ; a ↔ b vaut 1 quand les deux côtés sont égaux.

Table de vérité ligne par ligne

p = 1, q = 1, r = 1: q → p = 1, (q → p) ∨ r = 1, q → r = 1, ((q → p) ∨ r) ↔ (q → r) = 1, ¬(((q → p) ∨ r) ↔ (q → r)) = 0

p = 1, q = 1, r = 0: q → p = 1, (q → p) ∨ r = 1, q → r = 0, ((q → p) ∨ r) ↔ (q → r) = 0, ¬(((q → p) ∨ r) ↔ (q → r)) = 1

p = 1, q = 0, r = 1: q → p = 1, (q → p) ∨ r = 1, q → r = 1, ((q → p) ∨ r) ↔ (q → r) = 1, ¬(((q → p) ∨ r) ↔ (q → r)) = 0

p = 1, q = 0, r = 0: q → p = 1, (q → p) ∨ r = 1, q → r = 1, ((q → p) ∨ r) ↔ (q → r) = 1, ¬(((q → p) ∨ r) ↔ (q → r)) = 0

p = 0, q = 1, r = 1: q → p = 0, (q → p) ∨ r = 1, q → r = 1, ((q → p) ∨ r) ↔ (q → r) = 1, ¬(((q → p) ∨ r) ↔ (q → r)) = 0

p = 0, q = 1, r = 0: q → p = 0, (q → p) ∨ r = 0, q → r = 0, ((q → p) ∨ r) ↔ (q → r) = 1, ¬(((q → p) ∨ r) ↔ (q → r)) = 0

p = 0, q = 0, r = 1: q → p = 1, (q → p) ∨ r = 1, q → r = 1, ((q → p) ∨ r) ↔ (q → r) = 1, ¬(((q → p) ∨ r) ↔ (q → r)) = 0

p = 0, q = 0, r = 0: q → p = 1, (q → p) ∨ r = 1, q → r = 1, ((q → p) ∨ r) ↔ (q → r) = 1, ¬(((q → p) ∨ r) ↔ (q → r)) = 0

Compter les lignes de valeur 1

¬(((q → p) ∨ r) ↔ (q → r)): 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0

N = 1

Réponse

N = 1

2.Logique propositionnelle et preuves

Réponse: ∃x ∀y ¬R(x, y)

Quantificateurs et raisonnements : ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x) et ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x). Faites passer une négation vers l’intérieur, échangez chaque quantificateur qu’elle traverse, et niez la formule intérieure avec les lois propositionnelles, comme ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b. Un raisonnement est valide quand la conclusion vaut 1 dans toutes les lignes où toutes les prémisses valent 1. Une seule ligne avec des prémisses vraies et une conclusion fausse est un contre-exemple et montre que le raisonnement est invalide.

Faire passer la négation vers l’intérieur

¬∀x ∃y R(x, y) ≡ ∃x ∀y ¬R(x, y)

Réponse

∃x ∀y ¬R(x, y)

Les autres options laissent un quantificateur inchangé, changent l’ordre des quantificateurs, ou nient mal la formule intérieure.

3.Ensembles, relations et fonctions

Réponse: n = 6

Ensembles et diagrammes de Venn : A ∪ B contient les éléments de A ou de B (ou des deux), A ∩ B les éléments des deux, A − B les éléments de A qui ne sont pas dans B, et le complémentaire A′ tout ce qui est dans U sans être dans A. Dans un diagramme de Venn, toute expression ensembliste est une réunion de régions, donc dénombre-la région par région. Inclusion-exclusion : |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|, et |A ∪ B ∪ C| = |A| + |B| + |C| − |A ∩ B| − |A ∩ C| − |B ∩ C| + |A ∩ B ∩ C|.

Centre et paires

F ∩ G ∩ S: 4

F ∩ G uniquement: 6 − 4 = 2

F ∩ S uniquement: 6 − 4 = 2

G ∩ S uniquement: 6 − 4 = 2

Ensembles seuls

F uniquement: 19 − 2 − 2 − 4 = 11

G uniquement: 21 − 2 − 2 − 4 = 13

S uniquement: 16 − 2 − 2 − 4 = 8

Réponse

2 + 2 + 2 = 6

Réponse

n = 6

4.Ensembles, relations et fonctions

Réponse: |R| = 57

Relations : une relation R sur un ensemble X est un ensemble de couples ordonnés (x, y). R est réflexive quand (x, x) ∈ R pour tout x de X ; symétrique quand (x, y) ∈ R vient toujours avec (y, x) ∈ R ; antisymétrique quand (x, y) et (y, x) sont tous deux dans R seulement si x = y ; et transitive quand (x, y) et (y, z) dans R imposent (x, z) ∈ R. Une relation d’équivalence est réflexive, symétrique et transitive, et découpe X en classes disjointes.

Classes

reste 0: 4

reste 1: 5

reste 2: 4

Couples

|R| = 4² + 5² + 4² = 57

Réponse

|R| = 57

5.Théorie des graphes

Réponse: Circuit eulérien

Euler, Hamilton et arbres : un graphe connexe a un circuit eulérien (chaque arête une fois, retour au départ) quand tous les sommets ont un degré pair, et un chemin eulérien qui n’est pas un circuit quand exactement deux sommets ont un degré impair ; le chemin va alors d’un sommet impair à l’autre. Un circuit hamiltonien visite chaque sommet une fois ; K_n en a (n − 1)!/2. Un arbre à n sommets a n − 1 arêtes, et un graphe connexe à m arêtes conserve un arbre couvrant après suppression de m − n + 1 arêtes.

Degrés

deg(A) = 2, deg(B) = 4, deg(C) = 4, deg(D) = 4, deg(E) = 4, deg(F) = 2, deg(G) = 4

Sommets impairs

Circuit eulérien

Réponse

Circuit eulérien

6.Théorie des graphes

Réponse: arête DE

Plus courts chemins et arbres couvrants : l’algorithme de Dijkstra fixe un sommet par tour : le sommet non fixé de plus petite distance provisoire. Sa distance est alors définitive, et chaque voisin v reçoit d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). L’algorithme de Kruskal construit un arbre couvrant minimal en prenant les arêtes de la plus légère à la plus lourde et en sautant toute arête qui fermerait un cycle ; l’algorithme de Prim fait croître un arbre à partir d’un sommet de départ en ajoutant toujours l’arête la plus légère qui en sort. Un arbre couvrant à n sommets a n − 1 arêtes.

Algorithme de Kruskal

1. CE (5)

2. BC (6)

3. AB (8)

4. DE (16)

numéro de l’arête 4

Réponse

arête DE

7.Théorie des nombres et arithmétique modulaire

Réponse: 51⁻¹ mod 92 = 83

Inverses et congruences : a a un inverse modulo n exactement quand pgcd(a, n) = 1. L’algorithme d’Euclide étendu écrit 1 = s·n + t·a, et alors a⁻¹ ≡ t (mod n). Une congruence a·x ≡ b (mod n) avec pgcd(a, n) = 1 a pour solution x ≡ a⁻¹·b. Deux congruences x ≡ r₁ (mod m₁) et x ≡ r₂ (mod m₂) à modules premiers entre eux ont une solution modulo m₁·m₂ (théorème des restes chinois). L’indicatrice d’Euler φ(n) compte les nombres de 1 à n premiers avec n : φ(n) = n·∏(1 − 1/p).

Algorithme d’Euclide étendu

Chaque reste r s’écrit r ≡ t·51 (mod 92).

r = 92, t = 0

r = 51, q = 1, t = 1

r = 41, q = 1, t = −1

r = 10, q = 4, t = 2

r = 1, q = 10, t = −9

Inverse

1 ≡ −9·51 (mod 92)

x = 83

vérification: 51·83 = 4233 = 46·92 + 1

Réponse

51⁻¹ mod 92 = 83

8.Théorie des nombres et arithmétique modulaire

Réponse: N = 3

Diviser par le pgcd

gcd(39, 48) = 3

13x ≡ 7 (mod 16)

Résoudre la congruence réduite

13⁻¹ ≡ 5 (mod 16) → x ≡ 3 (mod 16)

Solutions modulo 48

x ∈ {3, 19, 35}

N = 3

Réponse

N = 3

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