Mathématiques discrètes : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 8 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Logique propositionnelle et preuves

Lignes d’une table de vérité: 2ⁿ
Implication: p → q ≡ ¬p ∨ q ≡ ¬q → ¬p
Implication niée: ¬(p → q) ≡ p ∧ ¬q
Équivalence: p ↔ q ≡ (p → q) ∧ (q → p)
De Morgan: ¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q, ¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q
Lois de distributivité: p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r), p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
Quantificateurs niés: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x), ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)
Modus ponens, modus tollens: p → q, p ⊢ q; p → q, ¬q ⊢ ¬p

Méthode

Comptez les variables distinctes : la table de vérité a 2ⁿ lignes, la première avec toutes les variables à 1.
Donnez à chaque sous-formule sa propre colonne et remplissez les colonnes de l’intérieur vers l’extérieur.
Appliquez la règle de chaque connecteur : → n’est 0 que pour 1 → 0, ↔ vaut 1 quand les deux côtés sont égaux.
Pour des équivalences, comparez les colonnes finales ligne par ligne ; pour un raisonnement, regardez seulement les lignes où toutes les prémisses valent 1.
Pour nier un énoncé quantifié, faites passer ¬ vers l’intérieur, échangez ∀ et ∃, et niez la formule intérieure.

Ensembles, relations et fonctions

Deux ensembles: |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|
Trois ensembles: |A ∪ B ∪ C| = |A| + |B| + |C| − |A ∩ B| − |A ∩ C| − |B ∩ C| + |A ∩ B ∩ C|
Différence et complémentaire: A − B = A ∩ B′, |A′| = |U| − |A|
Ensemble des parties et produit: |𝒫(A)| = 2^|A|, |A × B| = |A|·|B|
Sous-ensembles de taille k: C(n, k) = n!/(k!(n − k)!)
Fonctions A → B: nᵐ; injective n!/(n − m)!; surjective Σ (−1)ᵏ C(n, k)(n − k)ᵐ
Relations sur n éléments: 2^n²; reflexive 2^{n² − n}; symmetric 2^n(n+1)/2
Composition: (g ∘ f)(x) = g(f(x))

Méthode

Dessinez un diagramme de Venn et décidez région par région ce qui appartient à l’expression ensembliste.
Pour les problèmes de dénombrement, remplissez les régions du centre vers l’extérieur : tous les ensembles, puis les paires, puis les ensembles seuls, puis l’extérieur.
Utilisez le principe d’inclusion-exclusion comme vérification : |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|.
Pour une relation, testez chaque propriété sur chaque paire et donnez un contre-exemple quand elle échoue.
Pour une fonction, comptez les flèches qui arrivent à chaque élément de B : au plus une signifie injective, au moins une surjective.

Théorie des graphes

Lemme des poignées de main: Σ deg(v) = 2|E|
Graphes complets: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
Graphe régulier: |E| = n·k/2
Arbre et forêt: |E| = n − 1, |E| = n − c
Feuilles d’un arbre: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler: circuit : tous les degrés pairs ; chemin : exactement 2 degrés impairs
Circuits hamiltoniens dans K_n: (n − 1)!/2
Mise à jour de Dijkstra: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Marches de longueur L: (Mᴸ)_ij

Méthode

Notez le degré de chaque sommet ; la somme des degrés vaut deux fois le nombre d’arêtes.
Pour les questions d’Euler, vérifiez que le graphe est connexe et comptez les sommets de degré impair.
Pour les arbres, utilisez n − 1 arêtes et le lemme des poignées de main.
Pour Dijkstra, tenez un tableau des distances provisoires et fixez à chaque tour le sommet non fixé de plus petite distance.
Pour un arbre couvrant minimal, triez les arêtes par poids et sautez toute arête qui ferme un cycle (Kruskal), ou faites croître un arbre à partir d’un sommet de départ (Prim).

Théorie des nombres et arithmétique modulaire

Division avec reste: a = q·n + r, 0 ≤ r < n
Euclide: gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
Plus petit commun multiple: lcm(a, b) = a·b/gcd(a, b)
Inverse: a·a⁻¹ ≡ 1 (mod n), gcd(a, n) = 1
Congruence linéaire: a·x ≡ b → x ≡ a⁻¹·b (mod n)
Indicatrice d’Euler: φ(n) = n·∏(1 − 1/p), φ(pᵏ) = pᵏ − pᵏ⁻¹
Fermat: aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)
RSA: n = pq, φ = (p − 1)(q − 1), d = e⁻¹ mod φ, c = mᵉ mod n, m = cᵈ mod n

Méthode

Réduisez d’abord chaque nombre modulo n ; les restes sont compris entre 0 et n − 1.
Pour un pgcd, divisez plusieurs fois avec l’algorithme d’Euclide ; le dernier reste non nul est le pgcd.
Pour un inverse, appliquez l’algorithme étendu et gardez le coefficient de a ; ajoutez n s’il est négatif.
Résolvez a·x ≡ b en multipliant par a⁻¹ ; combinez deux congruences en écrivant x = r₁ + m₁k.
Pour les puissances, écrivez l’exposant en binaire et élevez au carré à répétition ; en RSA, d = e⁻¹ mod φ(n) avec φ(n) = (p − 1)(q − 1).

2Exercices

1.Logique propositionnelle et preuvesMoyen

Dans combien des 8 lignes de sa table de vérité (p → ¬(r ∧ ¬q)) ↔ (¬p → r) est-elle vraie ? Appelez ce nombre N.

(p → ¬(r ∧ ¬q)) ↔ (¬p → r)

N =

2.Logique propositionnelle et preuvesDifficile

Combien des 16 lignes de la table de vérité rendent ((p ∧ q) ↔ s) ∧ (¬r ∨ s) vraie ? Appelez ce nombre N.

((p ∧ q) ↔ s) ∧ (¬r ∨ s)

N =

3.Ensembles, relations et fonctionsMoyen

Chaque nombre du diagramme de Venn est le nombre d’éléments de cette région. Trouvez |C ∩ A|.

|U| = 33

|C ∩ A| =

4.Ensembles, relations et fonctionsDifficile

Combien de relations sur un ensemble de 3 éléments sont à la fois réflexives et symétriques ? Appelez ce nombre N.

|X| = 3

N =

5.Théorie des graphesMoyen

Combien de circuits hamiltoniens différents H le graphe complet K₄ a-t-il ? Les circuits qui ne diffèrent que par le sommet de départ ou le sens comptent comme un seul.

K₄

H =

6.Théorie des graphesDifficile

L’algorithme de Prim construit un arbre couvrant minimal en partant du sommet C. Cliquez sur l’arête qu’il ajoute en numéro 4.

départ : Ck = 4

1arête AB
2arête AC
3arête BC
4arête BD
5arête CE
6arête DE
7arête BE

7.Théorie des nombres et arithmétique modulaireMoyen

Trouvez l’inverse de 3 modulo 23 : le nombre x avec 0 < x < 23 et 3·x ≡ 1 (mod 23).

a = 3n = 23

3⁻¹ mod 23 =

8.Théorie des nombres et arithmétique modulaireDifficile

79 est premier. Utilisez le petit théorème de Fermat pour trouver 14⁶⁰²⁸⁰ mod 79.

p = 79k = 60280

14⁶⁰²⁸⁰ mod 79 =

3Solutions

1.Logique propositionnelle et preuves

Réponse: N = 5

Tables de vérité : une formule à n variables distinctes a 2ⁿ lignes, une pour chaque combinaison de valeurs de vérité (1 = vrai, 0 = faux). Travaillez de l’intérieur vers l’extérieur et donnez à chaque sous-formule sa propre colonne. ¬a inverse la valeur ; a ∧ b vaut 1 seulement quand les deux valent 1 ; a ∨ b vaut 0 seulement quand les deux valent 0 ; a → b vaut 0 seulement quand a = 1 et b = 0 ; a ↔ b vaut 1 quand les deux côtés sont égaux.

Table de vérité ligne par ligne

p = 1, q = 1, r = 1: ¬q = 0, r ∧ ¬q = 0, ¬(r ∧ ¬q) = 1, p → ¬(r ∧ ¬q) = 1, ¬p = 0, ¬p → r = 1, (p → ¬(r ∧ ¬q)) ↔ (¬p → r) = 1

p = 1, q = 1, r = 0: ¬q = 0, r ∧ ¬q = 0, ¬(r ∧ ¬q) = 1, p → ¬(r ∧ ¬q) = 1, ¬p = 0, ¬p → r = 1, (p → ¬(r ∧ ¬q)) ↔ (¬p → r) = 1

p = 1, q = 0, r = 1: ¬q = 1, r ∧ ¬q = 1, ¬(r ∧ ¬q) = 0, p → ¬(r ∧ ¬q) = 0, ¬p = 0, ¬p → r = 1, (p → ¬(r ∧ ¬q)) ↔ (¬p → r) = 0

p = 1, q = 0, r = 0: ¬q = 1, r ∧ ¬q = 0, ¬(r ∧ ¬q) = 1, p → ¬(r ∧ ¬q) = 1, ¬p = 0, ¬p → r = 1, (p → ¬(r ∧ ¬q)) ↔ (¬p → r) = 1

p = 0, q = 1, r = 1: ¬q = 0, r ∧ ¬q = 0, ¬(r ∧ ¬q) = 1, p → ¬(r ∧ ¬q) = 1, ¬p = 1, ¬p → r = 1, (p → ¬(r ∧ ¬q)) ↔ (¬p → r) = 1

p = 0, q = 1, r = 0: ¬q = 0, r ∧ ¬q = 0, ¬(r ∧ ¬q) = 1, p → ¬(r ∧ ¬q) = 1, ¬p = 1, ¬p → r = 0, (p → ¬(r ∧ ¬q)) ↔ (¬p → r) = 0

p = 0, q = 0, r = 1: ¬q = 1, r ∧ ¬q = 1, ¬(r ∧ ¬q) = 0, p → ¬(r ∧ ¬q) = 1, ¬p = 1, ¬p → r = 1, (p → ¬(r ∧ ¬q)) ↔ (¬p → r) = 1

p = 0, q = 0, r = 0: ¬q = 1, r ∧ ¬q = 0, ¬(r ∧ ¬q) = 1, p → ¬(r ∧ ¬q) = 1, ¬p = 1, ¬p → r = 0, (p → ¬(r ∧ ¬q)) ↔ (¬p → r) = 0

Compter les lignes de valeur 1

(p → ¬(r ∧ ¬q)) ↔ (¬p → r): 1, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 0

N = 5

Réponse

N = 5

2.Logique propositionnelle et preuves

Réponse: N = 5

Colonnes

p ∧ q; (p ∧ q) ↔ s; ¬r; ¬r ∨ s; ((p ∧ q) ↔ s) ∧ (¬r ∨ s)

Scinder selon p

p = 1: 3

p = 0: 2

N = 3 + 2 = 5

Réponse

N = 5

3.Ensembles, relations et fonctions

Réponse: |C ∩ A| = 10

Ensembles et diagrammes de Venn : A ∪ B contient les éléments de A ou de B (ou des deux), A ∩ B les éléments des deux, A − B les éléments de A qui ne sont pas dans B, et le complémentaire A′ tout ce qui est dans U sans être dans A. Dans un diagramme de Venn, toute expression ensembliste est une réunion de régions, donc dénombre-la région par région. Inclusion-exclusion : |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|, et |A ∪ B ∪ C| = |A| + |B| + |C| − |A ∩ B| − |A ∩ C| − |B ∩ C| + |A ∩ B ∩ C|.

Régions de l’expression

A ∩ B′ ∩ C: 4

A ∩ B ∩ C: 6

Additionner

|C ∩ A| = 4 + 6 = 10

Réponse

|C ∩ A| = 10

4.Ensembles, relations et fonctions

Réponse: N = 8

Relations : une relation R sur un ensemble X est un ensemble de couples ordonnés (x, y). R est réflexive quand (x, x) ∈ R pour tout x de X ; symétrique quand (x, y) ∈ R vient toujours avec (y, x) ∈ R ; antisymétrique quand (x, y) et (y, x) sont tous deux dans R seulement si x = y ; et transitive quand (x, y) et (y, z) dans R imposent (x, z) ∈ R. Une relation d’équivalence est réflexive, symétrique et transitive, et découpe X en classes disjointes.

Compter les choix libres

N = 2³ = 8

Réponse

N = 8

5.Théorie des graphes

Réponse: H = 3

Euler, Hamilton et arbres : un graphe connexe a un circuit eulérien (chaque arête une fois, retour au départ) quand tous les sommets ont un degré pair, et un chemin eulérien qui n’est pas un circuit quand exactement deux sommets ont un degré impair ; le chemin va alors d’un sommet impair à l’autre. Un circuit hamiltonien visite chaque sommet une fois ; K_n en a (n − 1)!/2. Un arbre à n sommets a n − 1 arêtes, et un graphe connexe à m arêtes conserve un arbre couvrant après suppression de m − n + 1 arêtes.

Compter

H = (4 − 1)!/2 = 6/2 = 3

Réponse

H = 3

6.Théorie des graphes

Réponse: arête DE

Plus courts chemins et arbres couvrants : l’algorithme de Dijkstra fixe un sommet par tour : le sommet non fixé de plus petite distance provisoire. Sa distance est alors définitive, et chaque voisin v reçoit d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). L’algorithme de Kruskal construit un arbre couvrant minimal en prenant les arêtes de la plus légère à la plus lourde et en sautant toute arête qui fermerait un cycle ; l’algorithme de Prim fait croître un arbre à partir d’un sommet de départ en ajoutant toujours l’arête la plus légère qui en sort. Un arbre couvrant à n sommets a n − 1 arêtes.

Algorithme de Prim

1. CE (9)

2. BE (6)

3. AB (5)

4. DE (7)

numéro de l’arête 4

Réponse

arête DE

7.Théorie des nombres et arithmétique modulaire

Réponse: 3⁻¹ mod 23 = 8

Inverses et congruences : a a un inverse modulo n exactement quand pgcd(a, n) = 1. L’algorithme d’Euclide étendu écrit 1 = s·n + t·a, et alors a⁻¹ ≡ t (mod n). Une congruence a·x ≡ b (mod n) avec pgcd(a, n) = 1 a pour solution x ≡ a⁻¹·b. Deux congruences x ≡ r₁ (mod m₁) et x ≡ r₂ (mod m₂) à modules premiers entre eux ont une solution modulo m₁·m₂ (théorème des restes chinois). L’indicatrice d’Euler φ(n) compte les nombres de 1 à n premiers avec n : φ(n) = n·∏(1 − 1/p).

Algorithme d’Euclide étendu

Chaque reste r s’écrit r ≡ t·3 (mod 23).

r = 23, t = 0

r = 3, q = 7, t = 1

r = 2, q = 1, t = −7

r = 1, q = 2, t = 8

Inverse

1 ≡ 8·3 (mod 23)

x = 8

vérification: 3·8 = 24 = 1·23 + 1

Réponse

3⁻¹ mod 23 = 8

8.Théorie des nombres et arithmétique modulaire

Réponse: 14⁶⁰²⁸⁰ mod 79 = 62

Puissances modulaires et RSA : calculez aᵏ mod n par carrés répétés : écrivez k en binaire, élevez au carré, réduisez après chaque étape et multipliez les puissances dont le bit vaut 1. Fermat : aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p) pour un nombre premier p ne divisant pas a, donc l’exposant peut être réduit modulo p − 1. RSA : choisissez des nombres premiers p et q, n = p·q et φ(n) = (p − 1)(q − 1) ; l’exposant public e est premier avec φ(n), et l’exposant privé est d = e⁻¹ mod φ(n). Chiffre avec c = mᵉ mod n et déchiffrez avec m = cᵈ mod n.

Réduire l’exposant

60280 mod 78 = 64

14⁶⁰²⁸⁰ ≡ 14⁶⁴ (mod 79)

Petite puissance

14⁶⁴ mod 79 = 62

Réponse

14⁶⁰²⁸⁰ mod 79 = 62

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