Mathématiques discrètes : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 8 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Logique propositionnelle et preuves

Lignes d’une table de vérité: 2ⁿ
Implication: p → q ≡ ¬p ∨ q ≡ ¬q → ¬p
Implication niée: ¬(p → q) ≡ p ∧ ¬q
Équivalence: p ↔ q ≡ (p → q) ∧ (q → p)
De Morgan: ¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q, ¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q
Lois de distributivité: p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r), p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
Quantificateurs niés: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x), ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)
Modus ponens, modus tollens: p → q, p ⊢ q; p → q, ¬q ⊢ ¬p

Méthode

Comptez les variables distinctes : la table de vérité a 2ⁿ lignes, la première avec toutes les variables à 1.
Donnez à chaque sous-formule sa propre colonne et remplissez les colonnes de l’intérieur vers l’extérieur.
Appliquez la règle de chaque connecteur : → n’est 0 que pour 1 → 0, ↔ vaut 1 quand les deux côtés sont égaux.
Pour des équivalences, comparez les colonnes finales ligne par ligne ; pour un raisonnement, regardez seulement les lignes où toutes les prémisses valent 1.
Pour nier un énoncé quantifié, faites passer ¬ vers l’intérieur, échangez ∀ et ∃, et niez la formule intérieure.

Ensembles, relations et fonctions

Deux ensembles: |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|
Trois ensembles: |A ∪ B ∪ C| = |A| + |B| + |C| − |A ∩ B| − |A ∩ C| − |B ∩ C| + |A ∩ B ∩ C|
Différence et complémentaire: A − B = A ∩ B′, |A′| = |U| − |A|
Ensemble des parties et produit: |𝒫(A)| = 2^|A|, |A × B| = |A|·|B|
Sous-ensembles de taille k: C(n, k) = n!/(k!(n − k)!)
Fonctions A → B: nᵐ; injective n!/(n − m)!; surjective Σ (−1)ᵏ C(n, k)(n − k)ᵐ
Relations sur n éléments: 2^n²; reflexive 2^{n² − n}; symmetric 2^n(n+1)/2
Composition: (g ∘ f)(x) = g(f(x))

Méthode

Dessinez un diagramme de Venn et décidez région par région ce qui appartient à l’expression ensembliste.
Pour les problèmes de dénombrement, remplissez les régions du centre vers l’extérieur : tous les ensembles, puis les paires, puis les ensembles seuls, puis l’extérieur.
Utilisez le principe d’inclusion-exclusion comme vérification : |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|.
Pour une relation, testez chaque propriété sur chaque paire et donnez un contre-exemple quand elle échoue.
Pour une fonction, comptez les flèches qui arrivent à chaque élément de B : au plus une signifie injective, au moins une surjective.

Théorie des graphes

Lemme des poignées de main: Σ deg(v) = 2|E|
Graphes complets: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
Graphe régulier: |E| = n·k/2
Arbre et forêt: |E| = n − 1, |E| = n − c
Feuilles d’un arbre: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler: circuit : tous les degrés pairs ; chemin : exactement 2 degrés impairs
Circuits hamiltoniens dans K_n: (n − 1)!/2
Mise à jour de Dijkstra: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Marches de longueur L: (Mᴸ)_ij

Méthode

Notez le degré de chaque sommet ; la somme des degrés vaut deux fois le nombre d’arêtes.
Pour les questions d’Euler, vérifiez que le graphe est connexe et comptez les sommets de degré impair.
Pour les arbres, utilisez n − 1 arêtes et le lemme des poignées de main.
Pour Dijkstra, tenez un tableau des distances provisoires et fixez à chaque tour le sommet non fixé de plus petite distance.
Pour un arbre couvrant minimal, triez les arêtes par poids et sautez toute arête qui ferme un cycle (Kruskal), ou faites croître un arbre à partir d’un sommet de départ (Prim).

Théorie des nombres et arithmétique modulaire

Division avec reste: a = q·n + r, 0 ≤ r < n
Euclide: gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
Plus petit commun multiple: lcm(a, b) = a·b/gcd(a, b)
Inverse: a·a⁻¹ ≡ 1 (mod n), gcd(a, n) = 1
Congruence linéaire: a·x ≡ b → x ≡ a⁻¹·b (mod n)
Indicatrice d’Euler: φ(n) = n·∏(1 − 1/p), φ(pᵏ) = pᵏ − pᵏ⁻¹
Fermat: aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)
RSA: n = pq, φ = (p − 1)(q − 1), d = e⁻¹ mod φ, c = mᵉ mod n, m = cᵈ mod n

Méthode

Réduisez d’abord chaque nombre modulo n ; les restes sont compris entre 0 et n − 1.
Pour un pgcd, divisez plusieurs fois avec l’algorithme d’Euclide ; le dernier reste non nul est le pgcd.
Pour un inverse, appliquez l’algorithme étendu et gardez le coefficient de a ; ajoutez n s’il est négatif.
Résolvez a·x ≡ b en multipliant par a⁻¹ ; combinez deux congruences en écrivant x = r₁ + m₁k.
Pour les puissances, écrivez l’exposant en binaire et élevez au carré à répétition ; en RSA, d = e⁻¹ mod φ(n) avec φ(n) = (p − 1)(q − 1).

2Exercices

1.Logique propositionnelle et preuvesMoyen

Dans combien des 8 lignes de sa table de vérité (c → b) ∧ ((b ∨ c) ∨ ¬a) est-elle vraie ? Appelez ce nombre N.

(c → b) ∧ ((b ∨ c) ∨ ¬a)

N =

2.Logique propositionnelle et preuvesDifficile

Combien des 16 lignes de la table de vérité rendent (r → (p ∧ r)) → ((s ∧ q) → ¬(p ∨ ¬q)) vraie ? Appelez ce nombre N.

(r → (p ∧ r)) → ((s ∧ q) → ¬(p ∨ ¬q))

N =

3.Ensembles, relations et fonctionsMoyen

Sur 77 étudiants de première année, 34 ont réussi les mathématiques (M), 35 ont réussi la physique (P) et 5 ont réussi les deux. Combien sont dans M mais pas dans P ?

|U| = 77|M| = 34|P| = 35|M ∩ P| = 5

|M − P| =

4.Ensembles, relations et fonctionsDifficile

Le diagramme sagittal montre une fonction f: A → B avec A = {1, 2, 3, 4, 5} et B = {a, b, c, d}. Cliquez sur la description qui convient à f.

f = {(1, a), (2, b), (3, c), (4, c), (5, d)}

1injective, non surjective
2surjective, non injective
3bijective
4ni l’une ni l’autre

5.Théorie des graphesMoyen

Combien de circuits hamiltoniens différents H le graphe complet K₄ a-t-il ? Les circuits qui ne diffèrent que par le sommet de départ ou le sens comptent comme un seul.

K₄

H =

6.Théorie des graphesDifficile

Utilisez l’algorithme de Dijkstra pour trouver la longueur d(F) du plus court chemin de A à F dans le graphe pondéré.

départ : Aarrivée : F

d(F) =

7.Théorie des nombres et arithmétique modulaireMoyen

Trouvez l’indicatrice d’Euler φ(275), le nombre d’entiers de 1 à 275 premiers avec 275.

n = 275 = 5²·11

φ(275) =

8.Théorie des nombres et arithmétique modulaireDifficile

Une clé RSA utilise p = 7, q = 23 et e = 7. Déchiffrez le chiffré c = 67 : trouvez le message m.

p = 7q = 23e = 7c = 67

m =

3Solutions

1.Logique propositionnelle et preuves

Réponse: N = 5

Tables de vérité : une formule à n variables distinctes a 2ⁿ lignes, une pour chaque combinaison de valeurs de vérité (1 = vrai, 0 = faux). Travaillez de l’intérieur vers l’extérieur et donnez à chaque sous-formule sa propre colonne. ¬a inverse la valeur ; a ∧ b vaut 1 seulement quand les deux valent 1 ; a ∨ b vaut 0 seulement quand les deux valent 0 ; a → b vaut 0 seulement quand a = 1 et b = 0 ; a ↔ b vaut 1 quand les deux côtés sont égaux.

Table de vérité ligne par ligne

a = 1, b = 1, c = 1: c → b = 1, b ∨ c = 1, ¬a = 0, (b ∨ c) ∨ ¬a = 1, (c → b) ∧ ((b ∨ c) ∨ ¬a) = 1

a = 1, b = 1, c = 0: c → b = 1, b ∨ c = 1, ¬a = 0, (b ∨ c) ∨ ¬a = 1, (c → b) ∧ ((b ∨ c) ∨ ¬a) = 1

a = 1, b = 0, c = 1: c → b = 0, b ∨ c = 1, ¬a = 0, (b ∨ c) ∨ ¬a = 1, (c → b) ∧ ((b ∨ c) ∨ ¬a) = 0

a = 1, b = 0, c = 0: c → b = 1, b ∨ c = 0, ¬a = 0, (b ∨ c) ∨ ¬a = 0, (c → b) ∧ ((b ∨ c) ∨ ¬a) = 0

a = 0, b = 1, c = 1: c → b = 1, b ∨ c = 1, ¬a = 1, (b ∨ c) ∨ ¬a = 1, (c → b) ∧ ((b ∨ c) ∨ ¬a) = 1

a = 0, b = 1, c = 0: c → b = 1, b ∨ c = 1, ¬a = 1, (b ∨ c) ∨ ¬a = 1, (c → b) ∧ ((b ∨ c) ∨ ¬a) = 1

a = 0, b = 0, c = 1: c → b = 0, b ∨ c = 1, ¬a = 1, (b ∨ c) ∨ ¬a = 1, (c → b) ∧ ((b ∨ c) ∨ ¬a) = 0

a = 0, b = 0, c = 0: c → b = 1, b ∨ c = 0, ¬a = 1, (b ∨ c) ∨ ¬a = 1, (c → b) ∧ ((b ∨ c) ∨ ¬a) = 1

Compter les lignes de valeur 1

(c → b) ∧ ((b ∨ c) ∨ ¬a): 1, 1, 0, 0, 1, 1, 0, 1

N = 5

Réponse

N = 5

2.Logique propositionnelle et preuves

Réponse: N = 14

Colonnes

p ∧ r; r → (p ∧ r); s ∧ q; ¬q; p ∨ ¬q; ¬(p ∨ ¬q); (s ∧ q) → ¬(p ∨ ¬q); (r → (p ∧ r)) → ((s ∧ q) → ¬(p ∨ ¬q))

Scinder selon p

p = 1: 6

p = 0: 8

N = 6 + 8 = 14

Réponse

N = 14

3.Ensembles, relations et fonctions

Réponse: |M − P| = 29

Ensembles et diagrammes de Venn : A ∪ B contient les éléments de A ou de B (ou des deux), A ∩ B les éléments des deux, A − B les éléments de A qui ne sont pas dans B, et le complémentaire A′ tout ce qui est dans U sans être dans A. Dans un diagramme de Venn, toute expression ensembliste est une réunion de régions, donc dénombre-la région par région. Inclusion-exclusion : |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|, et |A ∪ B ∪ C| = |A| + |B| + |C| − |A ∩ B| − |A ∩ C| − |B ∩ C| + |A ∩ B ∩ C|.

Régions

M ∩ P: 5

M − P: 34 − 5 = 29

P − M: 35 − 5 = 30

(M ∪ P)′: 77 − (29 + 30 + 5) = 13

Réponse

|M − P| = 29

Réponse

|M − P| = 29

4.Ensembles, relations et fonctions

Réponse: surjective, non injective

Fonctions et dénombrement : une fonction f: A → B donne à chaque élément de A exactement une image dans B. f est injective quand des éléments différents ont des images différentes, surjective quand tout élément de B est une image, et bijective quand les deux sont vraies. Avec |A| = m et |B| = n il y a nᵐ fonctions, n!/(n − m)! fonctions injectives (m ≤ n), et par inclusion-exclusion Σ (−1)ᵏ·C(n, k)·(n − k)ᵐ fonctions surjectives. |𝒫(A)| = 2ᵐ et |A × B| = m·n.

Injective ?

f(3) = f(4) = c → non injective

Surjective ?

chaque élément de B est atteint → surjective

Réponse

surjective, non injective

Réponse

surjective, non injective

5.Théorie des graphes

Réponse: H = 3

Euler, Hamilton et arbres : un graphe connexe a un circuit eulérien (chaque arête une fois, retour au départ) quand tous les sommets ont un degré pair, et un chemin eulérien qui n’est pas un circuit quand exactement deux sommets ont un degré impair ; le chemin va alors d’un sommet impair à l’autre. Un circuit hamiltonien visite chaque sommet une fois ; K_n en a (n − 1)!/2. Un arbre à n sommets a n − 1 arêtes, et un graphe connexe à m arêtes conserve un arbre couvrant après suppression de m − n + 1 arêtes.

Compter

H = (4 − 1)!/2 = 6/2 = 3

Réponse

H = 3

6.Théorie des graphes

Réponse: d(F) = 19

Plus courts chemins et arbres couvrants : l’algorithme de Dijkstra fixe un sommet par tour : le sommet non fixé de plus petite distance provisoire. Sa distance est alors définitive, et chaque voisin v reçoit d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). L’algorithme de Kruskal construit un arbre couvrant minimal en prenant les arêtes de la plus légère à la plus lourde et en sautant toute arête qui fermerait un cycle ; l’algorithme de Prim fait croître un arbre à partir d’un sommet de départ en ajoutant toujours l’arête la plus légère qui en sort. Un arbre couvrant à n sommets a n − 1 arêtes.

Dijkstra tour par tour

Chaque ligne : le sommet fixé, sa distance définitive, et les voisins dont la distance s’améliore.

A (0): B: 8, C: 2

C (2): E: 15

B (8): D: 9

D (9): F: 19

E (15)

F (19)

Plus court chemin

A → B → D → F

d(F) = 19

Réponse

d(F) = 19

7.Théorie des nombres et arithmétique modulaire

Réponse: φ(275) = 200

Inverses et congruences : a a un inverse modulo n exactement quand pgcd(a, n) = 1. L’algorithme d’Euclide étendu écrit 1 = s·n + t·a, et alors a⁻¹ ≡ t (mod n). Une congruence a·x ≡ b (mod n) avec pgcd(a, n) = 1 a pour solution x ≡ a⁻¹·b. Deux congruences x ≡ r₁ (mod m₁) et x ≡ r₂ (mod m₂) à modules premiers entre eux ont une solution modulo m₁·m₂ (théorème des restes chinois). L’indicatrice d’Euler φ(n) compte les nombres de 1 à n premiers avec n : φ(n) = n·∏(1 − 1/p).

Facteurs premiers

275 = 5²·11

Indicatrice

φ(275) = φ(11)·φ(25) = 10·20 = 200

Réponse

φ(275) = 200

8.Théorie des nombres et arithmétique modulaire

Réponse: m = 158

Puissances modulaires et RSA : calculez aᵏ mod n par carrés répétés : écrivez k en binaire, élevez au carré, réduisez après chaque étape et multipliez les puissances dont le bit vaut 1. Fermat : aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p) pour un nombre premier p ne divisant pas a, donc l’exposant peut être réduit modulo p − 1. RSA : choisissez des nombres premiers p et q, n = p·q et φ(n) = (p − 1)(q − 1) ; l’exposant public e est premier avec φ(n), et l’exposant privé est d = e⁻¹ mod φ(n). Chiffre avec c = mᵉ mod n et déchiffrez avec m = cᵈ mod n.

Exposant privé

n = 161, φ(n) = 132

d = 7⁻¹ mod 132 = 19

Déchiffrer par carré répété

19 = 16 + 2 + 1

67¹ ≡ 67 (mod 161)

67² ≡ 142 (mod 161)

67⁴ ≡ 39 (mod 161)

67⁸ ≡ 72 (mod 161)

67¹⁶ ≡ 32 (mod 161)

67¹⁹ ≡ 67·142·32 ≡ 158 (mod 161)

Message

m = 158

vérification: 158⁷ mod 161 = 67

Réponse

m = 158

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