Comptez les variables distinctes : la table de vérité a 2ⁿ lignes, la première avec toutes les variables à 1.
Donnez à chaque sous-formule sa propre colonne et remplissez les colonnes de l’intérieur vers l’extérieur.
Appliquez la règle de chaque connecteur : → n’est 0 que pour 1 → 0, ↔ vaut 1 quand les deux côtés sont égaux.
Pour des équivalences, comparez les colonnes finales ligne par ligne ; pour un raisonnement, regardez seulement les lignes où toutes les prémisses valent 1.
Pour nier un énoncé quantifié, faites passer ¬ vers l’intérieur, échangez ∀ et ∃, et niez la formule intérieure.
Dessinez un diagramme de Venn et décidez région par région ce qui appartient à l’expression ensembliste.
Pour les problèmes de dénombrement, remplissez les régions du centre vers l’extérieur : tous les ensembles, puis les paires, puis les ensembles seuls, puis l’extérieur.
Utilisez le principe d’inclusion-exclusion comme vérification : |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|.
Pour une relation, testez chaque propriété sur chaque paire et donnez un contre-exemple quand elle échoue.
Pour une fonction, comptez les flèches qui arrivent à chaque élément de B : au plus une signifie injective, au moins une surjective.
Théorie des graphes
Lemme des poignées de main
Σ deg(v) = 2|E|
Graphes complets
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Graphe régulier
|E| = n·k/2
Arbre et forêt
|E| = n − 1, |E| = n − c
Feuilles d’un arbre
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuit : tous les degrés pairs ; chemin : exactement 2 degrés impairs
Circuits hamiltoniens dans Kn
(n − 1)!/2
Mise à jour de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Marches de longueur L
(Mᴸ)ij
Méthode
Notez le degré de chaque sommet ; la somme des degrés vaut deux fois le nombre d’arêtes.
Pour les questions d’Euler, vérifiez que le graphe est connexe et comptez les sommets de degré impair.
Pour les arbres, utilisez n − 1 arêtes et le lemme des poignées de main.
Pour Dijkstra, tenez un tableau des distances provisoires et fixez à chaque tour le sommet non fixé de plus petite distance.
Pour un arbre couvrant minimal, triez les arêtes par poids et sautez toute arête qui ferme un cycle (Kruskal), ou faites croître un arbre à partir d’un sommet de départ (Prim).
Théorie des nombres et arithmétique modulaire
Division avec reste
a = q·n + r, 0 ≤ r < n
Euclide
gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
Plus petit commun multiple
lcm(a, b) = a·b/gcd(a, b)
Inverse
a·a⁻¹ ≡ 1 (mod n), gcd(a, n) = 1
Congruence linéaire
a·x ≡ b → x ≡ a⁻¹·b (mod n)
Indicatrice d’Euler
φ(n) = n·∏(1 − 1/p), φ(pᵏ) = pᵏ − pᵏ⁻¹
Fermat
aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)
RSA
n = pq, φ = (p − 1)(q − 1), d = e⁻¹ mod φ, c = mᵉ mod n, m = cᵈ mod n
Méthode
Réduisez d’abord chaque nombre modulo n ; les restes sont compris entre 0 et n − 1.
Pour un pgcd, divisez plusieurs fois avec l’algorithme d’Euclide ; le dernier reste non nul est le pgcd.
Pour un inverse, appliquez l’algorithme étendu et gardez le coefficient de a ; ajoutez n s’il est négatif.
Résolvez a·x ≡ b en multipliant par a⁻¹ ; combinez deux congruences en écrivant x = r₁ + m₁k.
Pour les puissances, écrivez l’exposant en binaire et élevez au carré à répétition ; en RSA, d = e⁻¹ mod φ(n) avec φ(n) = (p − 1)(q − 1).
2Exercices
1.Logique propositionnelle et preuvesMoyen
Quelle formule est logiquement équivalente à b ↔ a ? Cliquez dessus.
b ↔ a
1(b → a) ∨ (a → b)
2b ∧ a
3(b → a) ∧ (a → b)
4(b → a) ∧ (¬a → ¬b)
2.Logique propositionnelle et preuvesDifficile
Combien des 16 lignes de la table de vérité rendent (b ↔ (d ∨ a)) ∧ ((b ∧ c) ↔ (d ↔ a)) vraie ? Appelez ce nombre N.
(b ↔ (d ∨ a)) ∧ ((b ∧ c) ↔ (d ↔ a))
N =
3.Ensembles, relations et fonctionsMoyen
Dans un groupe de 53 étudiants, 28 parlent français (F), 21 parlent allemand (G) et 21 parlent espagnol (S). 12 parlent français et allemand, 6 français et espagnol, 5 allemand et espagnol, et 3 parlent les trois. Combien sont dans F seulement ?
|U| = 53
|F − (G ∪ S)| =
4.Ensembles, relations et fonctionsDifficile
Les fonctions f et g sur {1, 2, 3, 4, 5} sont données par leurs tableaux. Trouvez (g ∘ f)(2).
Le graphe connexe a-t-il un circuit eulérien, un chemin eulérien qui n’est pas un circuit, ou ni l’un ni l’autre ? Cliquez sur votre réponse.
|V| = 6|E| = 6
1Circuit eulérien
2Chemin eulérien, pas de circuit
3ni l’une ni l’autre
6.Théorie des graphesDifficile
Utilisez l’algorithme de Dijkstra pour trouver la longueur d(F) du plus court chemin de A à F dans le graphe pondéré.
départ : Aarrivée : F
d(F) =
7.Théorie des nombres et arithmétique modulaireMoyen
Trouvez le plus petit entier positif x tel que x ≡ 4 (mod 6) et x ≡ 11 (mod 13).
x ≡ 4 (mod 6)x ≡ 11 (mod 13)
x =
8.Théorie des nombres et arithmétique modulaireDifficile
Résolvez 46x ≡ 58 (mod 86). Donnez la plus petite solution positive x.
46x ≡ 58 (mod 86)
x =
3Solutions
1.Logique propositionnelle et preuves
Réponse: (b → a) ∧ (a → b)
Équivalence logique : deux formules sont équivalentes (≡) quand elles ont la même valeur dans chaque ligne de la table de vérité. Une tautologie vaut 1 dans toutes les lignes, une contradiction 0 dans toutes les lignes, et une contingence n’est ni l’une ni l’autre. Lois utiles : De Morgan, ¬(a ∧ b) ≡ ¬a ∨ ¬b et ¬(a ∨ b) ≡ ¬a ∧ ¬b ; a → b ≡ ¬a ∨ b ≡ ¬b → ¬a (contraposée) ; ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b ; et les lois de distributivité, a ∨ (b ∧ c) ≡ (a ∨ b) ∧ (a ∨ c).
La loi
a ↔ b signifie que l’implication tient dans les deux sens : (a → b) ∧ (b → a).
b ↔ a ≡ (b → a) ∧ (a → b)
Vérifier avec la table de vérité
a = 1, b = 1: 1 | 1 1 1 1
a = 1, b = 0: 0 | 1 0 0 1
a = 0, b = 1: 0 | 1 0 0 0
a = 0, b = 0: 1 | 1 0 1 1
Réponse
(b → a) ∧ (a → b)
Les colonnes après la barre sont les options dans l’ordre affiché.
2.Logique propositionnelle et preuves
Réponse: N = 3
Tables de vérité : une formule à n variables distinctes a 2ⁿ lignes, une pour chaque combinaison de valeurs de vérité (1 = vrai, 0 = faux). Travaillez de l’intérieur vers l’extérieur et donnez à chaque sous-formule sa propre colonne. ¬a inverse la valeur ; a ∧ b vaut 1 seulement quand les deux valent 1 ; a ∨ b vaut 0 seulement quand les deux valent 0 ; a → b vaut 0 seulement quand a = 1 et b = 0 ; a ↔ b vaut 1 quand les deux côtés sont égaux.
Colonnes
d ∨ a; b ↔ (d ∨ a); b ∧ c; d ↔ a; (b ∧ c) ↔ (d ↔ a); (b ↔ (d ∨ a)) ∧ ((b ∧ c) ↔ (d ↔ a))
Scinder selon a
a = 1: 2
a = 0: 1
N = 2 + 1 = 3
Réponse
N = 3
3.Ensembles, relations et fonctions
Réponse: |F − (G ∪ S)| = 13
Ensembles et diagrammes de Venn : A ∪ B contient les éléments de A ou de B (ou des deux), A ∩ B les éléments des deux, A − B les éléments de A qui ne sont pas dans B, et le complémentaire A′ tout ce qui est dans U sans être dans A. Dans un diagramme de Venn, toute expression ensembliste est une réunion de régions, donc dénombre-la région par région. Inclusion-exclusion : |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|, et |A ∪ B ∪ C| = |A| + |B| + |C| − |A ∩ B| − |A ∩ C| − |B ∩ C| + |A ∩ B ∩ C|.
Centre et paires
F ∩ G ∩ S: 3
F ∩ G uniquement: 12 − 3 = 9
F ∩ S uniquement: 6 − 3 = 3
G ∩ S uniquement: 5 − 3 = 2
Ensembles seuls
F uniquement: 28 − 9 − 3 − 3 = 13
G uniquement: 21 − 9 − 2 − 3 = 7
S uniquement: 21 − 3 − 2 − 3 = 13
Réponse
|F − (G ∪ S)| = 13
Réponse
|F − (G ∪ S)| = 13
4.Ensembles, relations et fonctions
Réponse: (g ∘ f)(2) = 4
Fonctions et dénombrement : une fonction f: A → B donne à chaque élément de A exactement une image dans B. f est injective quand des éléments différents ont des images différentes, surjective quand tout élément de B est une image, et bijective quand les deux sont vraies. Avec |A| = m et |B| = n il y a nᵐ fonctions, n!/(n − m)! fonctions injectives (m ≤ n), et par inclusion-exclusion Σ (−1)ᵏ·C(n, k)·(n − k)ᵐ fonctions surjectives. |𝒫(A)| = 2ᵐ et |A × B| = m·n.
Fonction intérieure
f(2) = 3
Fonction extérieure
g(3) = 4
(g ∘ f)(2) = 4
Réponse
(g ∘ f)(2) = 4
5.Théorie des graphes
Réponse: Chemin eulérien, pas de circuit
Euler, Hamilton et arbres : un graphe connexe a un circuit eulérien (chaque arête une fois, retour au départ) quand tous les sommets ont un degré pair, et un chemin eulérien qui n’est pas un circuit quand exactement deux sommets ont un degré impair ; le chemin va alors d’un sommet impair à l’autre. Un circuit hamiltonien visite chaque sommet une fois ; Kn en a (n − 1)!/2. Un arbre à n sommets a n − 1 arêtes, et un graphe connexe à m arêtes conserve un arbre couvrant après suppression de m − n + 1 arêtes.
Le chemin eulérien commence à un sommet impair et finit à l’autre.
6.Théorie des graphes
Réponse: d(F) = 25
Plus courts chemins et arbres couvrants : l’algorithme de Dijkstra fixe un sommet par tour : le sommet non fixé de plus petite distance provisoire. Sa distance est alors définitive, et chaque voisin v reçoit d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). L’algorithme de Kruskal construit un arbre couvrant minimal en prenant les arêtes de la plus légère à la plus lourde et en sautant toute arête qui fermerait un cycle ; l’algorithme de Prim fait croître un arbre à partir d’un sommet de départ en ajoutant toujours l’arête la plus légère qui en sort. Un arbre couvrant à n sommets a n − 1 arêtes.
Dijkstra tour par tour
Chaque ligne : le sommet fixé, sa distance définitive, et les voisins dont la distance s’améliore.
A (0): B: 11, C: 13
B (11): D: 16, E: 26
C (13): E: 20
D (16): F: 25
E (20)
F (25)
Plus court chemin
A → B → D → F
d(F) = 25
Réponse
d(F) = 25
7.Théorie des nombres et arithmétique modulaire
Réponse: x = 76
Inverses et congruences : a a un inverse modulo n exactement quand pgcd(a, n) = 1. L’algorithme d’Euclide étendu écrit 1 = s·n + t·a, et alors a⁻¹ ≡ t (mod n). Une congruence a·x ≡ b (mod n) avec pgcd(a, n) = 1 a pour solution x ≡ a⁻¹·b. Deux congruences x ≡ r₁ (mod m₁) et x ≡ r₂ (mod m₂) à modules premiers entre eux ont une solution modulo m₁·m₂ (théorème des restes chinois). L’indicatrice d’Euler φ(n) compte les nombres de 1 à n premiers avec n : φ(n) = n·∏(1 − 1/p).
Première congruence
x = 4 + 6k
Deuxième congruence
4 + 6k ≡ 11 (mod 13) → 6k ≡ 7 (mod 13)
k ≡ 11·7 ≡ 12 (mod 13)
Résultat
x = 4 + 6·12 = 76
x = 76
vérification: 76 mod 6 = 4, 76 mod 13 = 11
Réponse
x = 76
8.Théorie des nombres et arithmétique modulaire
Réponse: x = 5
Inverses et congruences : a a un inverse modulo n exactement quand pgcd(a, n) = 1. L’algorithme d’Euclide étendu écrit 1 = s·n + t·a, et alors a⁻¹ ≡ t (mod n). Une congruence a·x ≡ b (mod n) avec pgcd(a, n) = 1 a pour solution x ≡ a⁻¹·b. Deux congruences x ≡ r₁ (mod m₁) et x ≡ r₂ (mod m₂) à modules premiers entre eux ont une solution modulo m₁·m₂ (théorème des restes chinois). L’indicatrice d’Euler φ(n) compte les nombres de 1 à n premiers avec n : φ(n) = n·∏(1 − 1/p).