Comptez les variables distinctes : la table de vérité a 2ⁿ lignes, la première avec toutes les variables à 1.
Donnez à chaque sous-formule sa propre colonne et remplissez les colonnes de l’intérieur vers l’extérieur.
Appliquez la règle de chaque connecteur : → n’est 0 que pour 1 → 0, ↔ vaut 1 quand les deux côtés sont égaux.
Pour des équivalences, comparez les colonnes finales ligne par ligne ; pour un raisonnement, regardez seulement les lignes où toutes les prémisses valent 1.
Pour nier un énoncé quantifié, faites passer ¬ vers l’intérieur, échangez ∀ et ∃, et niez la formule intérieure.
Dessinez un diagramme de Venn et décidez région par région ce qui appartient à l’expression ensembliste.
Pour les problèmes de dénombrement, remplissez les régions du centre vers l’extérieur : tous les ensembles, puis les paires, puis les ensembles seuls, puis l’extérieur.
Utilisez le principe d’inclusion-exclusion comme vérification : |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|.
Pour une relation, testez chaque propriété sur chaque paire et donnez un contre-exemple quand elle échoue.
Pour une fonction, comptez les flèches qui arrivent à chaque élément de B : au plus une signifie injective, au moins une surjective.
Théorie des graphes
Lemme des poignées de main
Σ deg(v) = 2|E|
Graphes complets
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Graphe régulier
|E| = n·k/2
Arbre et forêt
|E| = n − 1, |E| = n − c
Feuilles d’un arbre
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuit : tous les degrés pairs ; chemin : exactement 2 degrés impairs
Circuits hamiltoniens dans Kn
(n − 1)!/2
Mise à jour de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Marches de longueur L
(Mᴸ)ij
Méthode
Notez le degré de chaque sommet ; la somme des degrés vaut deux fois le nombre d’arêtes.
Pour les questions d’Euler, vérifiez que le graphe est connexe et comptez les sommets de degré impair.
Pour les arbres, utilisez n − 1 arêtes et le lemme des poignées de main.
Pour Dijkstra, tenez un tableau des distances provisoires et fixez à chaque tour le sommet non fixé de plus petite distance.
Pour un arbre couvrant minimal, triez les arêtes par poids et sautez toute arête qui ferme un cycle (Kruskal), ou faites croître un arbre à partir d’un sommet de départ (Prim).
Théorie des nombres et arithmétique modulaire
Division avec reste
a = q·n + r, 0 ≤ r < n
Euclide
gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
Plus petit commun multiple
lcm(a, b) = a·b/gcd(a, b)
Inverse
a·a⁻¹ ≡ 1 (mod n), gcd(a, n) = 1
Congruence linéaire
a·x ≡ b → x ≡ a⁻¹·b (mod n)
Indicatrice d’Euler
φ(n) = n·∏(1 − 1/p), φ(pᵏ) = pᵏ − pᵏ⁻¹
Fermat
aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)
RSA
n = pq, φ = (p − 1)(q − 1), d = e⁻¹ mod φ, c = mᵉ mod n, m = cᵈ mod n
Méthode
Réduisez d’abord chaque nombre modulo n ; les restes sont compris entre 0 et n − 1.
Pour un pgcd, divisez plusieurs fois avec l’algorithme d’Euclide ; le dernier reste non nul est le pgcd.
Pour un inverse, appliquez l’algorithme étendu et gardez le coefficient de a ; ajoutez n s’il est négatif.
Résolvez a·x ≡ b en multipliant par a⁻¹ ; combinez deux congruences en écrivant x = r₁ + m₁k.
Pour les puissances, écrivez l’exposant en binaire et élevez au carré à répétition ; en RSA, d = e⁻¹ mod φ(n) avec φ(n) = (p − 1)(q − 1).
2Exercices
1.Logique propositionnelle et preuvesMoyen
¬((p ∧ q) → p) est-elle une tautologie, une contradiction ou une contingence ? Cliquez sur votre réponse.
¬((p ∧ q) → p)
1tautologie
2contradiction
3contingence
2.Logique propositionnelle et preuvesDifficile
Quel énoncé est équivalent à ¬∃x ∀y R(x, y), la négation étant passée complètement à l’intérieur ? Cliquez dessus.
¬∃x ∀y R(x, y)
1∀x ∃y ¬R(x, y)
2∃x ∀y ¬R(x, y)
3∃x ∃y ¬R(x, y)
4∀x ∀y ¬R(x, y)
3.Ensembles, relations et fonctionsMoyen
R = {(1, 1), (3, 2), (3, 3)} est une relation sur {1, 2, 3}. Quel est le plus petit nombre k de couples ordonnés à ajouter à R pour la rendre réflexive ?
R = {(1, 1), (3, 2), (3, 3)}
k =
4.Ensembles, relations et fonctionsDifficile
Combien y a-t-il de bijections f: A → B si |A| = |B| = 3 ? Appelez ce nombre N.
|A| = 3|B| = 3
N =
5.Théorie des graphesMoyen
Un arbre a 4 sommets de degré 3, 4 sommets de degré 5, 4 sommets de degré 2, et tous ses autres sommets sont des feuilles (degré 1). Combien de feuilles L a-t-il ?
4 × deg 34 × deg 54 × deg 2
L =
6.Théorie des graphesDifficile
L’algorithme de Prim construit un arbre couvrant minimal en partant du sommet C. Cliquez sur l’arête qu’il ajoute en numéro 4.
départ : Ck = 4
1arête AB
2arête BC
3arête BD
4arête CE
5arête DE
6arête DF
7arête EF
8arête BE
7.Théorie des nombres et arithmétique modulaireMoyen
Trouvez l’indicatrice d’Euler φ(221), le nombre d’entiers de 1 à 221 premiers avec 221.
n = 221 = 13·17
φ(221) =
8.Théorie des nombres et arithmétique modulaireDifficile
Résolvez 26x ≡ 4 (mod 32). Donnez la plus petite solution positive x.
26x ≡ 4 (mod 32)
x =
3Solutions
1.Logique propositionnelle et preuves
Réponse: contradiction
Équivalence logique : deux formules sont équivalentes (≡) quand elles ont la même valeur dans chaque ligne de la table de vérité. Une tautologie vaut 1 dans toutes les lignes, une contradiction 0 dans toutes les lignes, et une contingence n’est ni l’une ni l’autre. Lois utiles : De Morgan, ¬(a ∧ b) ≡ ¬a ∨ ¬b et ¬(a ∨ b) ≡ ¬a ∧ ¬b ; a → b ≡ ¬a ∨ b ≡ ¬b → ¬a (contraposée) ; ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b ; et les lois de distributivité, a ∨ (b ∧ c) ≡ (a ∨ b) ∧ (a ∨ c).
Table de vérité ligne par ligne
p = 1, q = 1: p ∧ q = 1, (p ∧ q) → p = 1, ¬((p ∧ q) → p) = 0
p = 1, q = 0: p ∧ q = 0, (p ∧ q) → p = 1, ¬((p ∧ q) → p) = 0
p = 0, q = 1: p ∧ q = 0, (p ∧ q) → p = 1, ¬((p ∧ q) → p) = 0
p = 0, q = 0: p ∧ q = 0, (p ∧ q) → p = 1, ¬((p ∧ q) → p) = 0
Classer
¬((p ∧ q) → p): 0, 0, 0, 0
0 dans toutes les lignes : une contradiction.
Réponse
contradiction
2.Logique propositionnelle et preuves
Réponse: ∀x ∃y ¬R(x, y)
Quantificateurs et raisonnements : ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x) et ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x). Faites passer une négation vers l’intérieur, échangez chaque quantificateur qu’elle traverse, et niez la formule intérieure avec les lois propositionnelles, comme ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b. Un raisonnement est valide quand la conclusion vaut 1 dans toutes les lignes où toutes les prémisses valent 1. Une seule ligne avec des prémisses vraies et une conclusion fausse est un contre-exemple et montre que le raisonnement est invalide.
Faire passer la négation vers l’intérieur
¬∃x ∀y R(x, y) ≡ ∀x ∃y ¬R(x, y)
Réponse
∀x ∃y ¬R(x, y)
Les autres options laissent un quantificateur inchangé, changent l’ordre des quantificateurs, ou nient mal la formule intérieure.
3.Ensembles, relations et fonctions
Réponse: k = 1
Relations : une relation R sur un ensemble X est un ensemble de couples ordonnés (x, y). R est réflexive quand (x, x) ∈ R pour tout x de X ; symétrique quand (x, y) ∈ R vient toujours avec (y, x) ∈ R ; antisymétrique quand (x, y) et (y, x) sont tous deux dans R seulement si x = y ; et transitive quand (x, y) et (y, z) dans R imposent (x, z) ∈ R. Une relation d’équivalence est réflexive, symétrique et transitive, et découpe X en classes disjointes.
Couples à ajouter
{(2, 2)}
Compter
k = 1
Réponse
k = 1
4.Ensembles, relations et fonctions
Réponse: N = 6
Fonctions et dénombrement : une fonction f: A → B donne à chaque élément de A exactement une image dans B. f est injective quand des éléments différents ont des images différentes, surjective quand tout élément de B est une image, et bijective quand les deux sont vraies. Avec |A| = m et |B| = n il y a nᵐ fonctions, n!/(n − m)! fonctions injectives (m ≤ n), et par inclusion-exclusion Σ (−1)ᵏ·C(n, k)·(n − k)ᵐ fonctions surjectives. |𝒫(A)| = 2ᵐ et |A × B| = m·n.
Compter
N = 3!/(3 − 3)! = 6
Réponse
N = 6
5.Théorie des graphes
Réponse: L = 18
Euler, Hamilton et arbres : un graphe connexe a un circuit eulérien (chaque arête une fois, retour au départ) quand tous les sommets ont un degré pair, et un chemin eulérien qui n’est pas un circuit quand exactement deux sommets ont un degré impair ; le chemin va alors d’un sommet impair à l’autre. Un circuit hamiltonien visite chaque sommet une fois ; Kn en a (n − 1)!/2. Un arbre à n sommets a n − 1 arêtes, et un graphe connexe à m arêtes conserve un arbre couvrant après suppression de m − n + 1 arêtes.
Lemme des poignées de main pour un arbre
L + 40 = 2(L + 12) − 2
L = 18
Réponse
L = 18
Raccourci : L = 2 + Σ (d − 2) sur les sommets de degré d ≥ 3.
6.Théorie des graphes
Réponse: arête BD
Plus courts chemins et arbres couvrants : l’algorithme de Dijkstra fixe un sommet par tour : le sommet non fixé de plus petite distance provisoire. Sa distance est alors définitive, et chaque voisin v reçoit d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). L’algorithme de Kruskal construit un arbre couvrant minimal en prenant les arêtes de la plus légère à la plus lourde et en sautant toute arête qui fermerait un cycle ; l’algorithme de Prim fait croître un arbre à partir d’un sommet de départ en ajoutant toujours l’arête la plus légère qui en sort. Un arbre couvrant à n sommets a n − 1 arêtes.
Algorithme de Prim
1. CE (6)
2. EF (2)
3. DE (4)
4. BD (1)
5. AB (10)
numéro de l’arête 4
BD
Réponse
arête BD
7.Théorie des nombres et arithmétique modulaire
Réponse: φ(221) = 192
Inverses et congruences : a a un inverse modulo n exactement quand pgcd(a, n) = 1. L’algorithme d’Euclide étendu écrit 1 = s·n + t·a, et alors a⁻¹ ≡ t (mod n). Une congruence a·x ≡ b (mod n) avec pgcd(a, n) = 1 a pour solution x ≡ a⁻¹·b. Deux congruences x ≡ r₁ (mod m₁) et x ≡ r₂ (mod m₂) à modules premiers entre eux ont une solution modulo m₁·m₂ (théorème des restes chinois). L’indicatrice d’Euler φ(n) compte les nombres de 1 à n premiers avec n : φ(n) = n·∏(1 − 1/p).
Facteurs premiers
221 = 13·17
Indicatrice
φ(221) = φ(13)·φ(17) = 12·16 = 192
Réponse
φ(221) = 192
8.Théorie des nombres et arithmétique modulaire
Réponse: x = 10
Inverses et congruences : a a un inverse modulo n exactement quand pgcd(a, n) = 1. L’algorithme d’Euclide étendu écrit 1 = s·n + t·a, et alors a⁻¹ ≡ t (mod n). Une congruence a·x ≡ b (mod n) avec pgcd(a, n) = 1 a pour solution x ≡ a⁻¹·b. Deux congruences x ≡ r₁ (mod m₁) et x ≡ r₂ (mod m₂) à modules premiers entre eux ont une solution modulo m₁·m₂ (théorème des restes chinois). L’indicatrice d’Euler φ(n) compte les nombres de 1 à n premiers avec n : φ(n) = n·∏(1 − 1/p).