Comptez les variables distinctes : la table de vérité a 2ⁿ lignes, la première avec toutes les variables à 1.
Donnez à chaque sous-formule sa propre colonne et remplissez les colonnes de l’intérieur vers l’extérieur.
Appliquez la règle de chaque connecteur : → n’est 0 que pour 1 → 0, ↔ vaut 1 quand les deux côtés sont égaux.
Pour des équivalences, comparez les colonnes finales ligne par ligne ; pour un raisonnement, regardez seulement les lignes où toutes les prémisses valent 1.
Pour nier un énoncé quantifié, faites passer ¬ vers l’intérieur, échangez ∀ et ∃, et niez la formule intérieure.
Dessinez un diagramme de Venn et décidez région par région ce qui appartient à l’expression ensembliste.
Pour les problèmes de dénombrement, remplissez les régions du centre vers l’extérieur : tous les ensembles, puis les paires, puis les ensembles seuls, puis l’extérieur.
Utilisez le principe d’inclusion-exclusion comme vérification : |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|.
Pour une relation, testez chaque propriété sur chaque paire et donnez un contre-exemple quand elle échoue.
Pour une fonction, comptez les flèches qui arrivent à chaque élément de B : au plus une signifie injective, au moins une surjective.
Théorie des graphes
Lemme des poignées de main
Σ deg(v) = 2|E|
Graphes complets
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Graphe régulier
|E| = n·k/2
Arbre et forêt
|E| = n − 1, |E| = n − c
Feuilles d’un arbre
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuit : tous les degrés pairs ; chemin : exactement 2 degrés impairs
Circuits hamiltoniens dans Kn
(n − 1)!/2
Mise à jour de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Marches de longueur L
(Mᴸ)ij
Méthode
Notez le degré de chaque sommet ; la somme des degrés vaut deux fois le nombre d’arêtes.
Pour les questions d’Euler, vérifiez que le graphe est connexe et comptez les sommets de degré impair.
Pour les arbres, utilisez n − 1 arêtes et le lemme des poignées de main.
Pour Dijkstra, tenez un tableau des distances provisoires et fixez à chaque tour le sommet non fixé de plus petite distance.
Pour un arbre couvrant minimal, triez les arêtes par poids et sautez toute arête qui ferme un cycle (Kruskal), ou faites croître un arbre à partir d’un sommet de départ (Prim).
Théorie des nombres et arithmétique modulaire
Division avec reste
a = q·n + r, 0 ≤ r < n
Euclide
gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
Plus petit commun multiple
lcm(a, b) = a·b/gcd(a, b)
Inverse
a·a⁻¹ ≡ 1 (mod n), gcd(a, n) = 1
Congruence linéaire
a·x ≡ b → x ≡ a⁻¹·b (mod n)
Indicatrice d’Euler
φ(n) = n·∏(1 − 1/p), φ(pᵏ) = pᵏ − pᵏ⁻¹
Fermat
aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)
RSA
n = pq, φ = (p − 1)(q − 1), d = e⁻¹ mod φ, c = mᵉ mod n, m = cᵈ mod n
Méthode
Réduisez d’abord chaque nombre modulo n ; les restes sont compris entre 0 et n − 1.
Pour un pgcd, divisez plusieurs fois avec l’algorithme d’Euclide ; le dernier reste non nul est le pgcd.
Pour un inverse, appliquez l’algorithme étendu et gardez le coefficient de a ; ajoutez n s’il est négatif.
Résolvez a·x ≡ b en multipliant par a⁻¹ ; combinez deux congruences en écrivant x = r₁ + m₁k.
Pour les puissances, écrivez l’exposant en binaire et élevez au carré à répétition ; en RSA, d = e⁻¹ mod φ(n) avec φ(n) = (p − 1)(q − 1).
2Exercices
1.Logique propositionnelle et preuvesMoyen
((b → c) ∧ ¬c) → ¬b est-elle une tautologie, une contradiction ou une contingence ? Cliquez sur votre réponse.
((b → c) ∧ ¬c) → ¬b
1tautologie
2contradiction
3contingence
2.Logique propositionnelle et preuvesDifficile
Quel énoncé est équivalent à ¬∃x ∀y R(x, y), la négation étant passée complètement à l’intérieur ? Cliquez dessus.
¬∃x ∀y R(x, y)
1∃x ∀y ¬R(x, y)
2∀x ∀y ¬R(x, y)
3∃x ∃y ¬R(x, y)
4∀x ∃y ¬R(x, y)
3.Ensembles, relations et fonctionsMoyen
Dans un groupe de 41 étudiants, 18 parlent français (F), 12 parlent allemand (G) et 3 parlent les deux. Combien sont dans exactement un des deux ensembles ?
|U| = 41|F| = 18|G| = 12|F ∩ G| = 3
|(F − G) ∪ (G − F)| =
4.Ensembles, relations et fonctionsDifficile
Le diagramme sagittal montre une fonction f: A → B avec A = {1, 2, 3} et B = {a, b, c}. Cliquez sur la description qui convient à f.
f = {(1, c), (2, b), (3, a)}
1injective, non surjective
2surjective, non injective
3bijective
4ni l’une ni l’autre
5.Théorie des graphesMoyen
Un graphe connexe a 8 sommets et 13 arêtes. Combien d’arêtes k faut-il retirer pour obtenir un arbre couvrant ?
|V| = 8|E| = 13
k =
6.Théorie des graphesDifficile
Trouvez le poids total W d’un arbre couvrant minimal du graphe pondéré.
|V| = 7|E| = 9
W =
7.Théorie des nombres et arithmétique modulaireMoyen
Trouvez l’inverse de 21 modulo 41 : le nombre x avec 0 < x < 41 et 21·x ≡ 1 (mod 41).
a = 21n = 41
21−1 mod 41 =
8.Théorie des nombres et arithmétique modulaireDifficile
Une clé RSA utilise les nombres premiers p = 5 et q = 41 et l’exposant public e = 3. Trouvez l’exposant privé d (0 < d < φ(n)).
p = 5q = 41e = 3
d =
3Solutions
1.Logique propositionnelle et preuves
Réponse: tautologie
Équivalence logique : deux formules sont équivalentes (≡) quand elles ont la même valeur dans chaque ligne de la table de vérité. Une tautologie vaut 1 dans toutes les lignes, une contradiction 0 dans toutes les lignes, et une contingence n’est ni l’une ni l’autre. Lois utiles : De Morgan, ¬(a ∧ b) ≡ ¬a ∨ ¬b et ¬(a ∨ b) ≡ ¬a ∧ ¬b ; a → b ≡ ¬a ∨ b ≡ ¬b → ¬a (contraposée) ; ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b ; et les lois de distributivité, a ∨ (b ∧ c) ≡ (a ∨ b) ∧ (a ∨ c).
Table de vérité ligne par ligne
b = 1, c = 1: b → c = 1, ¬c = 0, (b → c) ∧ ¬c = 0, ¬b = 0, ((b → c) ∧ ¬c) → ¬b = 1
b = 1, c = 0: b → c = 0, ¬c = 1, (b → c) ∧ ¬c = 0, ¬b = 0, ((b → c) ∧ ¬c) → ¬b = 1
b = 0, c = 1: b → c = 1, ¬c = 0, (b → c) ∧ ¬c = 0, ¬b = 1, ((b → c) ∧ ¬c) → ¬b = 1
b = 0, c = 0: b → c = 1, ¬c = 1, (b → c) ∧ ¬c = 1, ¬b = 1, ((b → c) ∧ ¬c) → ¬b = 1
Classer
((b → c) ∧ ¬c) → ¬b: 1, 1, 1, 1
1 dans toutes les lignes : une tautologie.
Réponse
tautologie
2.Logique propositionnelle et preuves
Réponse: ∀x ∃y ¬R(x, y)
Quantificateurs et raisonnements : ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x) et ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x). Faites passer une négation vers l’intérieur, échangez chaque quantificateur qu’elle traverse, et niez la formule intérieure avec les lois propositionnelles, comme ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b. Un raisonnement est valide quand la conclusion vaut 1 dans toutes les lignes où toutes les prémisses valent 1. Une seule ligne avec des prémisses vraies et une conclusion fausse est un contre-exemple et montre que le raisonnement est invalide.
Faire passer la négation vers l’intérieur
¬∃x ∀y R(x, y) ≡ ∀x ∃y ¬R(x, y)
Réponse
∀x ∃y ¬R(x, y)
Les autres options laissent un quantificateur inchangé, changent l’ordre des quantificateurs, ou nient mal la formule intérieure.
3.Ensembles, relations et fonctions
Réponse: |(F − G) ∪ (G − F)| = 24
Ensembles et diagrammes de Venn : A ∪ B contient les éléments de A ou de B (ou des deux), A ∩ B les éléments des deux, A − B les éléments de A qui ne sont pas dans B, et le complémentaire A′ tout ce qui est dans U sans être dans A. Dans un diagramme de Venn, toute expression ensembliste est une réunion de régions, donc dénombre-la région par région. Inclusion-exclusion : |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|, et |A ∪ B ∪ C| = |A| + |B| + |C| − |A ∩ B| − |A ∩ C| − |B ∩ C| + |A ∩ B ∩ C|.
Régions
F ∩ G: 3
F − G: 18 − 3 = 15
G − F: 12 − 3 = 9
(F ∪ G)′: 41 − (15 + 9 + 3) = 14
Réponse
|(F − G) ∪ (G − F)| = 24
Réponse
|(F − G) ∪ (G − F)| = 24
4.Ensembles, relations et fonctions
Réponse: bijective
Fonctions et dénombrement : une fonction f: A → B donne à chaque élément de A exactement une image dans B. f est injective quand des éléments différents ont des images différentes, surjective quand tout élément de B est une image, et bijective quand les deux sont vraies. Avec |A| = m et |B| = n il y a nᵐ fonctions, n!/(n − m)! fonctions injectives (m ≤ n), et par inclusion-exclusion Σ (−1)ᵏ·C(n, k)·(n − k)ᵐ fonctions surjectives. |𝒫(A)| = 2ᵐ et |A × B| = m·n.
Injective ?
chaque élément de B est atteint au plus une fois → injective
Surjective ?
chaque élément de B est atteint → surjective
Réponse
bijective
Réponse
bijective
5.Théorie des graphes
Réponse: k = 6
Euler, Hamilton et arbres : un graphe connexe a un circuit eulérien (chaque arête une fois, retour au départ) quand tous les sommets ont un degré pair, et un chemin eulérien qui n’est pas un circuit quand exactement deux sommets ont un degré impair ; le chemin va alors d’un sommet impair à l’autre. Un circuit hamiltonien visite chaque sommet une fois ; Kn en a (n − 1)!/2. Un arbre à n sommets a n − 1 arêtes, et un graphe connexe à m arêtes conserve un arbre couvrant après suppression de m − n + 1 arêtes.
Arêtes d’un arbre couvrant
8 − 1 = 7
Arêtes à retirer
k = 13 − 7 = 6
Réponse
k = 6
6.Théorie des graphes
Réponse: W = 39
Plus courts chemins et arbres couvrants : l’algorithme de Dijkstra fixe un sommet par tour : le sommet non fixé de plus petite distance provisoire. Sa distance est alors définitive, et chaque voisin v reçoit d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). L’algorithme de Kruskal construit un arbre couvrant minimal en prenant les arêtes de la plus légère à la plus lourde et en sautant toute arête qui fermerait un cycle ; l’algorithme de Prim fait croître un arbre à partir d’un sommet de départ en ajoutant toujours l’arête la plus légère qui en sort. Un arbre couvrant à n sommets a n − 1 arêtes.
Algorithme de Kruskal
CE (1): prise
BC (3): prise
DF (5): prise
GB (8): prise
GE (9): sautée, ferme un cycle
DE (10): prise
BD (11): sautée, ferme un cycle
AC (12): prise
Poids total
W = 1 + 3 + 5 + 8 + 10 + 12 = 39
Réponse
W = 39
7.Théorie des nombres et arithmétique modulaire
Réponse: 21−1 mod 41 = 2
Inverses et congruences : a a un inverse modulo n exactement quand pgcd(a, n) = 1. L’algorithme d’Euclide étendu écrit 1 = s·n + t·a, et alors a⁻¹ ≡ t (mod n). Une congruence a·x ≡ b (mod n) avec pgcd(a, n) = 1 a pour solution x ≡ a⁻¹·b. Deux congruences x ≡ r₁ (mod m₁) et x ≡ r₂ (mod m₂) à modules premiers entre eux ont une solution modulo m₁·m₂ (théorème des restes chinois). L’indicatrice d’Euler φ(n) compte les nombres de 1 à n premiers avec n : φ(n) = n·∏(1 − 1/p).
Algorithme d’Euclide étendu
Chaque reste r s’écrit r ≡ t·21 (mod 41).
r = 41, t = 0
r = 21, q = 1, t = 1
r = 20, q = 1, t = −1
r = 1, q = 20, t = 2
Inverse
1 ≡ 2·21 (mod 41)
x = 2
vérification: 21·2 = 42 = 1·41 + 1
Réponse
21−1 mod 41 = 2
8.Théorie des nombres et arithmétique modulaire
Réponse: d = 107
Puissances modulaires et RSA : calculez aᵏ mod n par carrés répétés : écrivez k en binaire, élevez au carré, réduisez après chaque étape et multipliez les puissances dont le bit vaut 1. Fermat : aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p) pour un nombre premier p ne divisant pas a, donc l’exposant peut être réduit modulo p − 1. RSA : choisissez des nombres premiers p et q, n = p·q et φ(n) = (p − 1)(q − 1) ; l’exposant public e est premier avec φ(n), et l’exposant privé est d = e⁻¹ mod φ(n). Chiffre avec c = mᵉ mod n et déchiffrez avec m = cᵈ mod n.