Comptez les variables distinctes : la table de vérité a 2ⁿ lignes, la première avec toutes les variables à 1.
Donnez à chaque sous-formule sa propre colonne et remplissez les colonnes de l’intérieur vers l’extérieur.
Appliquez la règle de chaque connecteur : → n’est 0 que pour 1 → 0, ↔ vaut 1 quand les deux côtés sont égaux.
Pour des équivalences, comparez les colonnes finales ligne par ligne ; pour un raisonnement, regardez seulement les lignes où toutes les prémisses valent 1.
Pour nier un énoncé quantifié, faites passer ¬ vers l’intérieur, échangez ∀ et ∃, et niez la formule intérieure.
Dessinez un diagramme de Venn et décidez région par région ce qui appartient à l’expression ensembliste.
Pour les problèmes de dénombrement, remplissez les régions du centre vers l’extérieur : tous les ensembles, puis les paires, puis les ensembles seuls, puis l’extérieur.
Utilisez le principe d’inclusion-exclusion comme vérification : |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|.
Pour une relation, testez chaque propriété sur chaque paire et donnez un contre-exemple quand elle échoue.
Pour une fonction, comptez les flèches qui arrivent à chaque élément de B : au plus une signifie injective, au moins une surjective.
Théorie des graphes
Lemme des poignées de main
Σ deg(v) = 2|E|
Graphes complets
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Graphe régulier
|E| = n·k/2
Arbre et forêt
|E| = n − 1, |E| = n − c
Feuilles d’un arbre
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuit : tous les degrés pairs ; chemin : exactement 2 degrés impairs
Circuits hamiltoniens dans Kn
(n − 1)!/2
Mise à jour de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Marches de longueur L
(Mᴸ)ij
Méthode
Notez le degré de chaque sommet ; la somme des degrés vaut deux fois le nombre d’arêtes.
Pour les questions d’Euler, vérifiez que le graphe est connexe et comptez les sommets de degré impair.
Pour les arbres, utilisez n − 1 arêtes et le lemme des poignées de main.
Pour Dijkstra, tenez un tableau des distances provisoires et fixez à chaque tour le sommet non fixé de plus petite distance.
Pour un arbre couvrant minimal, triez les arêtes par poids et sautez toute arête qui ferme un cycle (Kruskal), ou faites croître un arbre à partir d’un sommet de départ (Prim).
Théorie des nombres et arithmétique modulaire
Division avec reste
a = q·n + r, 0 ≤ r < n
Euclide
gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
Plus petit commun multiple
lcm(a, b) = a·b/gcd(a, b)
Inverse
a·a⁻¹ ≡ 1 (mod n), gcd(a, n) = 1
Congruence linéaire
a·x ≡ b → x ≡ a⁻¹·b (mod n)
Indicatrice d’Euler
φ(n) = n·∏(1 − 1/p), φ(pᵏ) = pᵏ − pᵏ⁻¹
Fermat
aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)
RSA
n = pq, φ = (p − 1)(q − 1), d = e⁻¹ mod φ, c = mᵉ mod n, m = cᵈ mod n
Méthode
Réduisez d’abord chaque nombre modulo n ; les restes sont compris entre 0 et n − 1.
Pour un pgcd, divisez plusieurs fois avec l’algorithme d’Euclide ; le dernier reste non nul est le pgcd.
Pour un inverse, appliquez l’algorithme étendu et gardez le coefficient de a ; ajoutez n s’il est négatif.
Résolvez a·x ≡ b en multipliant par a⁻¹ ; combinez deux congruences en écrivant x = r₁ + m₁k.
Pour les puissances, écrivez l’exposant en binaire et élevez au carré à répétition ; en RSA, d = e⁻¹ mod φ(n) avec φ(n) = (p − 1)(q − 1).
2Exercices
1.Logique propositionnelle et preuvesMoyen
Quelle formule est logiquement équivalente à c → b ? Cliquez dessus.
c → b
1¬b ∧ ¬c
2b → c
3¬c → ¬b
4¬b → ¬c
2.Logique propositionnelle et preuvesDifficile
Quel énoncé est équivalent à ¬∀x (A(x) → ∃y R(x, y)), la négation étant passée complètement à l’intérieur ? Cliquez dessus.
¬∀x (A(x) → ∃y R(x, y))
1∀x (A(x) ∧ ∀y ¬R(x, y))
2∃x (A(x) ∧ ∀y ¬R(x, y))
3∃x (¬A(x) ∧ ∃y R(x, y))
4∃x (A(x) → ∀y ¬R(x, y))
3.Ensembles, relations et fonctionsMoyen
Une seule région du diagramme de Venn est l’ensemble (B − A′) ∩ (A − C). Cliquez sur son numéro.
(B − A′) ∩ (A − C)
1région 1
2région 2
3région 3
4région 4
5région 5
6région 6
7région 7
8région 8
4.Ensembles, relations et fonctionsDifficile
La bijection f sur {1, 2, 3, 4, 5} est donnée par son tableau. Trouvez f−1(2).
f: 1 ↦ 5, 2 ↦ 4, 3 ↦ 2, 4 ↦ 1, 5 ↦ 3
f−1(2) =
5.Théorie des graphesMoyen
Un graphe connexe a 16 sommets et 25 arêtes. Combien d’arêtes k faut-il retirer pour obtenir un arbre couvrant ?
|V| = 16|E| = 25
k =
6.Théorie des graphesDifficile
Combien de marches fermées de longueur 2 partent de B et y reviennent ? Une marche peut répéter des sommets et des arêtes. Appelez ce nombre N.
M = matrice d’adjacenceL = 2
N =
7.Théorie des nombres et arithmétique modulaireMoyen
Trouvez l’inverse de 7 modulo 61 : le nombre x avec 0 < x < 61 et 7·x ≡ 1 (mod 61).
a = 7n = 61
7−1 mod 61 =
8.Théorie des nombres et arithmétique modulaireDifficile
Une clé RSA utilise p = 5, q = 43 et e = 19. Déchiffrez le chiffré c = 154 : trouvez le message m.
p = 5q = 43e = 19c = 154
m =
3Solutions
1.Logique propositionnelle et preuves
Réponse: ¬b → ¬c
Équivalence logique : deux formules sont équivalentes (≡) quand elles ont la même valeur dans chaque ligne de la table de vérité. Une tautologie vaut 1 dans toutes les lignes, une contradiction 0 dans toutes les lignes, et une contingence n’est ni l’une ni l’autre. Lois utiles : De Morgan, ¬(a ∧ b) ≡ ¬a ∨ ¬b et ¬(a ∨ b) ≡ ¬a ∧ ¬b ; a → b ≡ ¬a ∨ b ≡ ¬b → ¬a (contraposée) ; ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b ; et les lois de distributivité, a ∨ (b ∧ c) ≡ (a ∨ b) ∧ (a ∨ c).
La loi
Une implication est équivalente à sa contraposée ¬b → ¬a, pas à sa réciproque b → a ni à son inverse ¬a → ¬b.
c → b ≡ ¬b → ¬c
Vérifier avec la table de vérité
b = 1, c = 1: 1 | 0 1 1 1
b = 1, c = 0: 1 | 0 0 0 1
b = 0, c = 1: 0 | 0 1 1 0
b = 0, c = 0: 1 | 1 1 1 1
Réponse
¬b → ¬c
Les colonnes après la barre sont les options dans l’ordre affiché.
2.Logique propositionnelle et preuves
Réponse: ∃x (A(x) ∧ ∀y ¬R(x, y))
Quantificateurs et raisonnements : ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x) et ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x). Faites passer une négation vers l’intérieur, échangez chaque quantificateur qu’elle traverse, et niez la formule intérieure avec les lois propositionnelles, comme ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b. Un raisonnement est valide quand la conclusion vaut 1 dans toutes les lignes où toutes les prémisses valent 1. Une seule ligne avec des prémisses vraies et une conclusion fausse est un contre-exemple et montre que le raisonnement est invalide.
Faire passer la négation vers l’intérieur
¬∀x (A(x) → ∃y R(x, y)) ≡ ∃x (A(x) ∧ ∀y ¬R(x, y))
Réponse
∃x (A(x) ∧ ∀y ¬R(x, y))
Les autres options laissent un quantificateur inchangé, changent l’ordre des quantificateurs, ou nient mal la formule intérieure.
3.Ensembles, relations et fonctions
Réponse: région 8
Ensembles et diagrammes de Venn : A ∪ B contient les éléments de A ou de B (ou des deux), A ∩ B les éléments des deux, A − B les éléments de A qui ne sont pas dans B, et le complémentaire A′ tout ce qui est dans U sans être dans A. Dans un diagramme de Venn, toute expression ensembliste est une réunion de régions, donc dénombre-la région par région. Inclusion-exclusion : |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|, et |A ∪ B ∪ C| = |A| + |B| + |C| − |A ∩ B| − |A ∩ C| − |B ∩ C| + |A ∩ B ∩ C|.
À l’intérieur ou à l’extérieur de chaque ensemble
A ∩ B ∩ C′
La région
région 8
Réponse
région 8
4.Ensembles, relations et fonctions
Réponse: f−1(2) = 3
Fonctions et dénombrement : une fonction f: A → B donne à chaque élément de A exactement une image dans B. f est injective quand des éléments différents ont des images différentes, surjective quand tout élément de B est une image, et bijective quand les deux sont vraies. Avec |A| = m et |B| = n il y a nᵐ fonctions, n!/(n − m)! fonctions injectives (m ≤ n), et par inclusion-exclusion Σ (−1)ᵏ·C(n, k)·(n − k)ᵐ fonctions surjectives. |𝒫(A)| = 2ᵐ et |A × B| = m·n.
Lire le tableau à l’envers
f(3) = 2 → f−1(2) = 3
Réponse
f−1(2) = 3
5.Théorie des graphes
Réponse: k = 10
Euler, Hamilton et arbres : un graphe connexe a un circuit eulérien (chaque arête une fois, retour au départ) quand tous les sommets ont un degré pair, et un chemin eulérien qui n’est pas un circuit quand exactement deux sommets ont un degré impair ; le chemin va alors d’un sommet impair à l’autre. Un circuit hamiltonien visite chaque sommet une fois ; Kn en a (n − 1)!/2. Un arbre à n sommets a n − 1 arêtes, et un graphe connexe à m arêtes conserve un arbre couvrant après suppression de m − n + 1 arêtes.
Arêtes d’un arbre couvrant
16 − 1 = 15
Arêtes à retirer
k = 25 − 15 = 10
Réponse
k = 10
6.Théorie des graphes
Réponse: N = 3
Degrés : le degré d’un sommet est le nombre d’arêtes qui y aboutissent. Chaque arête a deux extrémités, donc les degrés totalisent deux fois le nombre d’arêtes : Σ deg(v) = 2|E| (le lemme des poignées de main). Le nombre de sommets de degré impair est donc pair. Kn a n(n − 1)/2 arêtes, un graphe k-régulier à n sommets en a nk/2, et un arbre à n sommets a n − 1 arêtes.
Matrice d’adjacence
A: 0 0 1 0 0
B: 0 0 1 1 1
C: 1 1 0 0 1
D: 0 1 0 0 1
E: 0 1 1 1 0
Voisins communs
(M²)BB = 0·0 + 0·0 + 1·1 + 1·1 + 1·1 = 3
Réponse
N = 3
7.Théorie des nombres et arithmétique modulaire
Réponse: 7−1 mod 61 = 35
Inverses et congruences : a a un inverse modulo n exactement quand pgcd(a, n) = 1. L’algorithme d’Euclide étendu écrit 1 = s·n + t·a, et alors a⁻¹ ≡ t (mod n). Une congruence a·x ≡ b (mod n) avec pgcd(a, n) = 1 a pour solution x ≡ a⁻¹·b. Deux congruences x ≡ r₁ (mod m₁) et x ≡ r₂ (mod m₂) à modules premiers entre eux ont une solution modulo m₁·m₂ (théorème des restes chinois). L’indicatrice d’Euler φ(n) compte les nombres de 1 à n premiers avec n : φ(n) = n·∏(1 − 1/p).
Algorithme d’Euclide étendu
Chaque reste r s’écrit r ≡ t·7 (mod 61).
r = 61, t = 0
r = 7, q = 8, t = 1
r = 5, q = 1, t = −8
r = 2, q = 2, t = 9
r = 1, q = 2, t = −26
Inverse
1 ≡ −26·7 (mod 61)
x = 35
vérification: 7·35 = 245 = 4·61 + 1
Réponse
7−1 mod 61 = 35
8.Théorie des nombres et arithmétique modulaire
Réponse: m = 189
Puissances modulaires et RSA : calculez aᵏ mod n par carrés répétés : écrivez k en binaire, élevez au carré, réduisez après chaque étape et multipliez les puissances dont le bit vaut 1. Fermat : aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p) pour un nombre premier p ne divisant pas a, donc l’exposant peut être réduit modulo p − 1. RSA : choisissez des nombres premiers p et q, n = p·q et φ(n) = (p − 1)(q − 1) ; l’exposant public e est premier avec φ(n), et l’exposant privé est d = e⁻¹ mod φ(n). Chiffre avec c = mᵉ mod n et déchiffrez avec m = cᵈ mod n.