Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 20 exercices, avec les corrigés complets à la fin.
Une conductrice roulant à 120 km/h voit un obstacle. Son temps de réaction est de 1,2 s, après quoi la voiture freine avec une décélération constante de 5 m/s². Trouvez la distance d’arrêt totale d à partir du moment où elle voit l’obstacle.
La balle A est lâchée sans vitesse initiale d’une hauteur de 10 m. Au même instant, la balle B est lancée verticalement vers le haut depuis le sol, juste en dessous, à 19 m/s. Négligez la résistance de l’air et prenez g = 9,81 m/s². Quand les balles se croisent-elles ? Trouvez t.
Une caisse de 35 kg est poussée à vitesse constante sur une rampe inclinée de 25° par rapport à l’horizontale, par une force parallèle à la rampe. Le coefficient de frottement cinétique vaut 0,25. Prenez g = 9,81 m/s². Trouvez la force de poussée F.
Un bloc de 2 kg sur une rampe inclinée de 25° est relié par un fil léger passant sur une poulie sans frottement en haut de la rampe à une masse suspendue de 7 kg. La masse suspendue descend. Le coefficient de frottement cinétique entre le bloc et la rampe vaut 0,2. Prenez g = 9,81 m/s². Trouvez la tension T du fil.
Un ballon est frappé depuis un sol horizontal à 28 m/s et 50° au-dessus de l’horizontale en direction d’un mur situé à 16 m. Négligez la résistance de l’air et prenez g = 9,81 m/s². À quelle hauteur y le ballon passe-t-il au niveau du mur ?
Une balle est lancée à 28 m/s et 40° au-dessus de l’horizontale depuis le haut d’une falaise de 50 m. Négligez la résistance de l’air et prenez g = 9,81 m/s². Trouvez la hauteur maximale H au-dessus du sol au pied de la falaise.
Un virage de rayon 100 m est relevé de 8°. À quelle vitesse v une voiture peut-elle le prendre sans avoir besoin d’aucun frottement ? Prenez g = 9,81 m/s².
Une bille de 0,3 kg au bout d’un fil léger de 0,9 m tourne dans un cercle vertical. Au point le plus bas, sa vitesse vaut 8 m/s. Négligez la résistance de l’air et prenez g = 9,81 m/s². Trouvez la tension Ttop du fil au point le plus haut.
Un bloc glisse sans vitesse initiale sur une pente inclinée de 45° par rapport à l’horizontale. Le coefficient de frottement dynamique vaut 0,3. Trouvez sa vitesse v après avoir glissé de 17 m le long de la pente.
Un bloc de 0,5 kg est lâché sans vitesse à une hauteur de 1,5 m sur une rampe lisse. En bas, il traverse une bande horizontale rugueuse de 3 m (μ = 0,2) puis heurte un ressort (k = 2000 N/m) sur une surface lisse. Trouvez la compression maximale x du ressort.
Un projectile de 7 kg se déplaçant horizontalement à 26 m/s explose en deux fragments qui se déplacent sur la même droite. Le fragment de 3 kg continue vers l’avant à 54 m/s. Trouvez la vitesse v′2 du fragment de 4 kg (positive dans le sens initial).
À un carrefour, une voiture de 2000 kg roulant vers l’est à 14 m/s entre en collision avec une voiture de 1400 kg roulant vers le nord à 16 m/s. Les voitures restent accrochées. Trouvez la direction θ de l’épave juste après la collision, mesurée vers le nord à partir de l’est.
Une barre mince homogène de masse 1,5 kg et de longueur 1,2 m est articulée à une extrémité et lâchée sans vitesse initiale depuis la position horizontale. Négligez les frottements et utilisez g = 9,81 m/s². Trouvez la vitesse angulaire ω de la barre lorsqu’elle passe par la position verticale.
Un corps (cerceau mince) part du repos et roule sans glisser sur une pente inclinée de 25° par rapport à l’horizontale. Utilisez g = 9,81 m/s². Son rayon est de 0,3 m. Trouvez sa vitesse angulaire ω après avoir roulé 2 m le long de la pente.
Un moteur de 1,5 kW à 2900 tr/min entraîne une vis sans fin à 3 filet(s). La roue a 60 dents et la transmission a un rendement de 55 %. Trouvez le couple de sortie Tw sur l’arbre de la roue.
Une courroie ouverte relie une poulie de 80 mm et une poulie de 315 mm dont les centres sont distants de 600 mm. Trouvez l’angle d’enroulement θ sur la plus petite poulie, en degrés.
Un astronaute sur une autre planète constate qu’un pendule simple de 0,6 m de long a une période de 1,63 s pour de petites oscillations. Trouvez l’accélération de la pesanteur g sur cette planète.
Une masse de 3,9 kg fixée à un ressort de raideur k = 430 N/m est écartée de 17 cm de sa position d’équilibre puis lâchée. Trouvez son accélération maximale amax.
Une masse de 15 kg sur un ressort de raideur 2 kN/m est munie d’un amortisseur visqueux qui donne un taux d’amortissement de 0,5. Trouvez la fréquence propre amortie fd de ses vibrations libres, en Hz.
Une masse de 40 kg est suspendue à deux ressorts côte à côte (en parallèle), de raideurs k₁ = 12 kN/m et k₂ = 12 kN/m. La masse reste horizontale. Trouvez la raideur équivalente keq du système de ressorts, en kN/m.
Réponse: d = 151,1 m
Mouvement à accélération constante : v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² et v² = v₀² + 2·a·s. Choisissez l’équation qui contient les trois grandeurs connues et celle que vous cherchez, et gardez des signes cohérents avec un seul sens positif.
Réponse: t = 0,5263 s
Mouvement à accélération constante : v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² et v² = v₀² + 2·a·s. Choisissez l’équation qui contient les trois grandeurs connues et celle que vous cherchez, et gardez des signes cohérents avec un seul sens positif.
Le haut est positif, le sol est en y = 0.
Réponse: F = 222,9 N
Deuxième loi de Newton : la force résultante sur un corps est égale à sa masse multipliée par son accélération, ΣF = m·a. Tracez un schéma du corps libre, choisissez un sens positif selon le mouvement et additionnez toutes les forces dans cette direction : forces appliquées, frottement μ·N opposé au mouvement et composantes du poids.
Vitesse constante : les forces s’équilibrent.
Réponse: T = 24,48 N
Deuxième loi de Newton : la force résultante sur un corps est égale à sa masse multipliée par son accélération, ΣF = m·a. Tracez un schéma du corps libre, choisissez un sens positif selon le mouvement et additionnez toutes les forces dans cette direction : forces appliquées, frottement μ·N opposé au mouvement et composantes du poids.
Réponse: y = 15,19 m
Mouvement d’un projectile : sans résistance de l’air, x = vxt et y = h + vyt − ½gt². Les deux directions sont indépendantes, sauf qu’elles partagent le même temps.
Le ballon est encore en train de monter au niveau du mur.
Réponse: H = 66,51 m
Mouvement d’un projectile : sans résistance de l’air, x = vxt et y = h + vyt − ½gt². Les deux directions sont indépendantes, sauf qu’elles partagent le même temps.
Réponse: v = 11,74 m/s
Mouvement circulaire uniforme : un objet qui se déplace à la vitesse v sur un cercle de rayon r a une accélération dirigée vers le centre a = v²/r ; il lui faut donc une force résultante dirigée vers le centre F = m·v²/r. Cette force est fournie par quelque chose de réel : frottement, tension, pesanteur ou réaction normale.
Réponse: Ttop = 6,618 N
Mouvement circulaire uniforme : un objet qui se déplace à la vitesse v sur un cercle de rayon r a une accélération dirigée vers le centre a = v²/r ; il lui faut donc une force résultante dirigée vers le centre F = m·v²/r. Cette force est fournie par quelque chose de réel : frottement, tension, pesanteur ou réaction normale.
L’énergie cinétique se transforme en énergie potentielle sur une hauteur de 2r.
La tension et la pesanteur sont toutes deux dirigées vers le bas, vers le centre.
Réponse: v = 12,85 m/s
Théorème de l’énergie cinétique : la variation d’énergie cinétique égale le travail de toutes les forces. En écrivant la pesanteur et les ressorts sous forme d’énergie potentielle (mgh et ½kx²), on obtient un bilan : énergie initiale = énergie finale + énergie perdue par frottement (μN·d).
Le bloc descend de d·sin θ pendant que le frottement retire μmg·cos θ·d. La masse se simplifie.
Réponse: x = 6,644 cm
Théorème de l’énergie cinétique : la variation d’énergie cinétique égale le travail de toutes les forces. En écrivant la pesanteur et les ressorts sous forme d’énergie potentielle (mgh et ½kx²), on obtient un bilan : énergie initiale = énergie finale + énergie perdue par frottement (μN·d).
La rampe est lisse, donc seule la bande retire de l’énergie.
Réponse: v′2 = 5 m/s
Conservation de la quantité de mouvement : si aucune force extérieure n’agit pendant un choc, la quantité de mouvement totale Σm·v avant est égale à celle après. Les vitesses ont un sens : choisissez un sens positif et affectez d’un signe moins les vitesses dans l’autre sens. Dans un choc élastique, l’énergie cinétique est aussi conservée ; dans un choc parfaitement inélastique, les corps restent solidaires.
Réponse: θ = 38,66 °
Conservation de la quantité de mouvement : si aucune force extérieure n’agit pendant un choc, la quantité de mouvement totale Σm·v avant est égale à celle après. Les vitesses ont un sens : choisissez un sens positif et affectez d’un signe moins les vitesses dans l’autre sens. Dans un choc élastique, l’énergie cinétique est aussi conservée ; dans un choc parfaitement inélastique, les corps restent solidaires.
Réponse: ω = 4,952 rad/s
Rotation autour d’un axe fixe : la somme des moments par rapport à l’axe est égale à I·α (ΣM = I·α), comme ΣF = m·a pour la translation. Sous forme énergétique, un couple T qui tourne d’un angle θ (en radians) fournit un travail T·θ, qui modifie l’énergie cinétique ½·I·ω² ; la pesanteur ajoute ou retire m·g·Δh pour le centre de masse. La puissance est P = T·ω.
Réponse: ω = 9,598 rad/s
Roulement et moment cinétique : un corps qui roule sans glisser a v = ω·r, donc son énergie cinétique est ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²)). Sur une pente, cela donne a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²)). Quand aucun moment extérieur n’agit autour d’un axe, le moment cinétique autour de cet axe reste constant, I₁·ω₁ = I₂·ω₂, même si de l’énergie cinétique est perdue.
Roulement sans glissement : ω = v/r, et le frottement ne travaille pas au point de contact.
Réponse: Tw = 54,33 N·m
Trains d’engrenages : des roues en prise ont la même vitesse au niveau des dents, donc n₁·N₁ = n₂·N₂ : la roue qui a le moins de dents tourne le plus vite. Des roues montées sur un même arbre tournent à la même vitesse. La puissance est transmise (aux pertes près), donc le couple augmente quand la vitesse diminue : T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, et P = T·ω avec ω = 2π·n/60.
Réponse: θ = 157,4 °
Transmissions par courroie : sans glissement, les deux poulies ont la même vitesse périphérique v = π·d·n/60, donc n₁·d₁ = n₂·d₂ et le rapport de vitesses vaut d₂/d₁. Le glissement s ralentit un peu la poulie menée : n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). La puissance transmise est P = (T₁ − T₂)·v, avec T₁ la tension du brin tendu et T₂ celle du brin mou. Le frottement limite le rapport des tensions : T₁/T₂ = eμθ, où θ est l’angle d’enroulement en radians sur la plus petite poulie ; pour une courroie ouverte, θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) avec l’entraxe C.
Réponse: g = 8,915 m/s²
Mouvement harmonique simple : une masse m sur un ressort de raideur k oscille avec la pulsation ω = √(k/m) et la période T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Un pendule simple de longueur L a pour période T = 2π·√(L/g). Avec une amplitude A, la vitesse maximale vaut A·ω, l’accélération maximale A·ω² et l’énergie ½·k·A².
Réponse: amax = 18,74 m/s²
Mouvement harmonique simple : une masse m sur un ressort de raideur k oscille avec la pulsation ω = √(k/m) et la période T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Un pendule simple de longueur L a pour période T = 2π·√(L/g). Avec une amplitude A, la vitesse maximale vaut A·ω, l’accélération maximale A·ω² et l’énergie ½·k·A².
Réponse: fd = 1,592 Hz
Vibrations libres d’un système masse–ressort : la pulsation propre non amortie vaut ωn = √(k/m) en rad/s, et fn = ωn/(2π) en Hz. Un amortisseur visqueux c donne le taux d’amortissement ζ = c/cc, avec l’amortissement critique cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Un système sous-amorti (ζ < 1) oscille à ωd = ωn·√(1 − ζ²). Des ressorts en parallèle s’additionnent, k = k₁ + k₂ ; des ressorts en série s’additionnent par leurs inverses, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Réponse: keq = 24 kN/m
Vibrations libres d’un système masse–ressort : la pulsation propre non amortie vaut ωn = √(k/m) en rad/s, et fn = ωn/(2π) en Hz. Un amortisseur visqueux c donne le taux d’amortissement ζ = c/cc, avec l’amortissement critique cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Un système sous-amorti (ζ < 1) oscille à ωd = ωn·√(1 − ζ²). Des ressorts en parallèle s’additionnent, k = k₁ + k₂ ; des ressorts en série s’additionnent par leurs inverses, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Des ressorts côte à côte ont le même allongement et leurs forces s’additionnent ; leurs raideurs s’additionnent donc simplement : k = k1 + k2.
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