Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 20 exercices, avec les corrigés complets à la fin.
Une conductrice roulant à 60 km/h voit un obstacle. Son temps de réaction est de 0,6 s, après quoi la voiture freine avec une décélération constante de 8 m/s². Trouvez la distance d’arrêt totale d à partir du moment où elle voit l’obstacle.
Une balle est lancée verticalement vers le haut à 18 m/s depuis le bord d’un toit situé à 35 m au-dessus du sol. Négligez la résistance de l’air et prenez g = 9,81 m/s². Combien de temps après le lancer touche-t-elle le sol ? Trouvez t.
Un bloc de 18 kg descend en glissant une pente sans frottement inclinée de 35° par rapport à l’horizontale. Prenez g = 9,81 m/s². Trouvez l’accélération a du bloc le long de la pente.
On pousse un bloc de sorte qu’il commence à monter une rampe inclinée de 25° avec une vitesse de 3,5 m/s. Le coefficient de frottement cinétique vaut 0,25. Prenez g = 9,81 m/s². Quelle distance d parcourt-il le long de la rampe avant de s’arrêter ?
Un ballon est frappé depuis un sol horizontal à 20 m/s et 65° au-dessus de l’horizontale en direction d’un mur situé à 12 m. Négligez la résistance de l’air et prenez g = 9,81 m/s². À quelle hauteur y le ballon passe-t-il au niveau du mur ?
Une balle est lancée depuis le sol à 40 m/s et 60° au-dessus de l’horizontale. Elle retombe sur le toit plat d’un bâtiment de 22 m de haut, pendant sa descente. Négligez la résistance de l’air et prenez g = 9,81 m/s². Trouvez la distance horizontale x entre le point de lancement et le point d’arrivée.
Une voiture prend un virage plat de 50 m de rayon. Le coefficient de frottement statique entre les pneus et la route vaut 0,5. Prenez g = 9,81 m/s². Trouvez la vitesse maximale vmax à laquelle la voiture peut prendre le virage sans déraper.
Un virage de rayon 300 m est relevé de 15°, et le coefficient de frottement statique entre les pneus et la route vaut 0,15. Prenez g = 9,81 m/s². Trouvez la vitesse maximale vmax à laquelle une voiture peut prendre le virage sans glisser vers le haut et l’extérieur.
Un bloc glisse sans vitesse initiale sur une pente inclinée de 25° par rapport à l’horizontale. Le coefficient de frottement dynamique vaut 0,15. Trouvez sa vitesse v après avoir glissé de 19 m le long de la pente.
Un bloc de 2,5 kg est lâché sans vitesse à une hauteur de 3,5 m sur une rampe lisse. En bas, il traverse une bande horizontale rugueuse de 1 m (μ = 0,1) puis heurte un ressort (k = 4000 N/m) sur une surface lisse. Trouvez la vitesse v du bloc quand il atteint le ressort.
Un projectile de 4 kg se déplaçant horizontalement à 23 m/s explose en deux fragments qui se déplacent sur la même droite. Le fragment de 1 kg continue vers l’avant à 30 m/s. Trouvez la vitesse v′2 du fragment de 3 kg (positive dans le sens initial).
À un carrefour, une voiture de 1800 kg roulant vers l’est à 22 m/s entre en collision avec une voiture de 1100 kg roulant vers le nord à 20 m/s. Les voitures restent accrochées. Trouvez la vitesse v′ de l’épave juste après la collision.
Un volant d’inertie de moment d’inertie 10,5 kg·m² tourne à 400 rpm. Un frein applique un couple de frottement constant de 185 N·m. Combien de temps t met-il à s’arrêter ?
Une barre mince homogène de masse 7,5 kg et de longueur 0,9 m est suspendue au repos à un pivot sans frottement à son extrémité supérieure. Une balle de 35 g se déplaçant horizontalement à 300 m/s frappe la barre à 0,66 m sous le pivot et reste logée dedans. Trouvez la vitesse angulaire ω de la barre juste après le choc.
Un moteur de 5,5 kW tournant à 2900 tr/min entraîne un pignon de 20 dents et de module 2,5 mm. Trouvez l’effort tangentiel Ft sur les dents du pignon.
Dans un train d’engrenages composé, la roue A (45 dents), sur l’arbre d’entrée qui tourne à 1450 rpm, entraîne la roue B (48 dents). La roue C (15 dents) est solidaire du même arbre que B et entraîne la roue D (40 dents) sur l’arbre de sortie. Trouvez la vitesse de sortie nout.
Une masse de 1 kg accrochée à un ressort de raideur k = 210 N/m est écartée de 9 cm dans le sens positif et lâchée sans vitesse initiale à t = 0. Trouvez son élongation x par rapport à l’équilibre à t = 1,3 s (avec son signe).
Une masse de 3,9 kg fixée à un ressort de raideur k = 200 N/m est écartée de 8 cm de sa position d’équilibre puis lâchée. Trouvez sa vitesse maximale vmax.
Une masse de 25 kg sur un ressort de raideur 20 kN/m est munie d’un amortisseur visqueux qui donne un taux d’amortissement de 0,4. Trouvez la fréquence propre amortie fd de ses vibrations libres, en Hz.
Une masse de 25 kg est suspendue à deux ressorts reliés bout à bout (en série) : le ressort du haut a k₁ = 5 kN/m et celui du bas k₂ = 50 kN/m. Négligez l’amortissement et les masses des ressorts. Trouvez la fréquence propre fn des vibrations verticales, en Hz.
Réponse: d = 27,36 m
Mouvement à accélération constante : v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² et v² = v₀² + 2·a·s. Choisissez l’équation qui contient les trois grandeurs connues et celle que vous cherchez, et gardez des signes cohérents avec un seul sens positif.
Réponse: t = 5,076 s
Mouvement à accélération constante : v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² et v² = v₀² + 2·a·s. Choisissez l’équation qui contient les trois grandeurs connues et celle que vous cherchez, et gardez des signes cohérents avec un seul sens positif.
Le haut est positif et le sol se trouve h₀ sous le point de départ.
Seule la racine positive a un sens physique.
Réponse: a = 5,627 m/s²
Deuxième loi de Newton : la force résultante sur un corps est égale à sa masse multipliée par son accélération, ΣF = m·a. Tracez un schéma du corps libre, choisissez un sens positif selon le mouvement et additionnez toutes les forces dans cette direction : forces appliquées, frottement μ·N opposé au mouvement et composantes du poids.
Le sens de la descente est positif.
Réponse: d = 0,9617 m
Deuxième loi de Newton : la force résultante sur un corps est égale à sa masse multipliée par son accélération, ΣF = m·a. Tracez un schéma du corps libre, choisissez un sens positif selon le mouvement et additionnez toutes les forces dans cette direction : forces appliquées, frottement μ·N opposé au mouvement et composantes du poids.
Les deux forces sont dirigées vers le bas de la pente ; la masse se simplifie.
Réponse: y = 15,85 m
Mouvement d’un projectile : sans résistance de l’air, x = vxt et y = h + vyt − ½gt². Les deux directions sont indépendantes, sauf qu’elles partagent le même temps.
Le ballon est encore en train de monter au niveau du mur.
Réponse: x = 127,1 m
Mouvement d’un projectile : sans résistance de l’air, x = vxt et y = h + vyt − ½gt². Les deux directions sont indépendantes, sauf qu’elles partagent le même temps.
Plus grande racine : la balle descend.
Réponse: vmax = 15,66 m/s
Mouvement circulaire uniforme : un objet qui se déplace à la vitesse v sur un cercle de rayon r a une accélération dirigée vers le centre a = v²/r ; il lui faut donc une force résultante dirigée vers le centre F = m·v²/r. Cette force est fournie par quelque chose de réel : frottement, tension, pesanteur ou réaction normale.
Réponse: vmax = 35,8 m/s
Mouvement circulaire uniforme : un objet qui se déplace à la vitesse v sur un cercle de rayon r a une accélération dirigée vers le centre a = v²/r ; il lui faut donc une force résultante dirigée vers le centre F = m·v²/r. Cette force est fournie par quelque chose de réel : frottement, tension, pesanteur ou réaction normale.
Le frottement est dirigé vers le bas de la pente.
Réponse: v = 10,34 m/s
Théorème de l’énergie cinétique : la variation d’énergie cinétique égale le travail de toutes les forces. En écrivant la pesanteur et les ressorts sous forme d’énergie potentielle (mgh et ½kx²), on obtient un bilan : énergie initiale = énergie finale + énergie perdue par frottement (μN·d).
Le bloc descend de d·sin θ pendant que le frottement retire μmg·cos θ·d. La masse se simplifie.
Réponse: v = 8,167 m/s
Théorème de l’énergie cinétique : la variation d’énergie cinétique égale le travail de toutes les forces. En écrivant la pesanteur et les ressorts sous forme d’énergie potentielle (mgh et ½kx²), on obtient un bilan : énergie initiale = énergie finale + énergie perdue par frottement (μN·d).
La rampe est lisse, donc seule la bande retire de l’énergie.
Réponse: v′2 = 20,67 m/s
Conservation de la quantité de mouvement : si aucune force extérieure n’agit pendant un choc, la quantité de mouvement totale Σm·v avant est égale à celle après. Les vitesses ont un sens : choisissez un sens positif et affectez d’un signe moins les vitesses dans l’autre sens. Dans un choc élastique, l’énergie cinétique est aussi conservée ; dans un choc parfaitement inélastique, les corps restent solidaires.
Réponse: v′ = 15,62 m/s
Conservation de la quantité de mouvement : si aucune force extérieure n’agit pendant un choc, la quantité de mouvement totale Σm·v avant est égale à celle après. Les vitesses ont un sens : choisissez un sens positif et affectez d’un signe moins les vitesses dans l’autre sens. Dans un choc élastique, l’énergie cinétique est aussi conservée ; dans un choc parfaitement inélastique, les corps restent solidaires.
Réponse: t = 2,377 s
Rotation autour d’un axe fixe : la somme des moments par rapport à l’axe est égale à I·α (ΣM = I·α), comme ΣF = m·a pour la translation. Sous forme énergétique, un couple T qui tourne d’un angle θ (en radians) fournit un travail T·θ, qui modifie l’énergie cinétique ½·I·ω² ; la pesanteur ajoute ou retire m·g·Δh pour le centre de masse. La puissance est P = T·ω.
Réponse: ω = 3,397 rad/s
Roulement et moment cinétique : un corps qui roule sans glisser a v = ω·r, donc son énergie cinétique est ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²)). Sur une pente, cela donne a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²)). Quand aucun moment extérieur n’agit autour d’un axe, le moment cinétique autour de cet axe reste constant, I₁·ω₁ = I₂·ω₂, même si de l’énergie cinétique est perdue.
La force du pivot passe par le pivot, donc elle n’y a pas de moment pendant le choc.
Réponse: Ft = 724,4 N
Géométrie des engrenages : le module m fixe la taille des dents. Une roue à N dents a un diamètre primitif d = m·N, deux roues qui engrènent ont le même module, et leur entraxe vaut a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2. La vitesse sur le cercle primitif vaut v = π·d·n/60, et l’effort tangentiel sur la denture découle du couple : Ft = 2T/d.
Réponse: nout = 509,8 rpm
Trains d’engrenages : des roues en prise ont la même vitesse au niveau des dents, donc n₁·N₁ = n₂·N₂ : la roue qui a le moins de dents tourne le plus vite. Des roues montées sur un même arbre tournent à la même vitesse. La puissance est transmise (aux pertes près), donc le couple augmente quand la vitesse diminue : T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, et P = T·ω avec ω = 2π·n/60.
rapport total = 2,844 : 1
Réponse: x = 8,999 cm
Mouvement harmonique simple : une masse m sur un ressort de raideur k oscille avec la pulsation ω = √(k/m) et la période T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Un pendule simple de longueur L a pour période T = 2π·√(L/g). Avec une amplitude A, la vitesse maximale vaut A·ω, l’accélération maximale A·ω² et l’énergie ½·k·A².
Réponse: vmax = 0,5729 m/s
Mouvement harmonique simple : une masse m sur un ressort de raideur k oscille avec la pulsation ω = √(k/m) et la période T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Un pendule simple de longueur L a pour période T = 2π·√(L/g). Avec une amplitude A, la vitesse maximale vaut A·ω, l’accélération maximale A·ω² et l’énergie ½·k·A².
Réponse: fd = 4,126 Hz
Vibrations libres d’un système masse–ressort : la pulsation propre non amortie vaut ωn = √(k/m) en rad/s, et fn = ωn/(2π) en Hz. Un amortisseur visqueux c donne le taux d’amortissement ζ = c/cc, avec l’amortissement critique cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Un système sous-amorti (ζ < 1) oscille à ωd = ωn·√(1 − ζ²). Des ressorts en parallèle s’additionnent, k = k₁ + k₂ ; des ressorts en série s’additionnent par leurs inverses, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Réponse: fn = 2,146 Hz
Vibrations libres d’un système masse–ressort : la pulsation propre non amortie vaut ωn = √(k/m) en rad/s, et fn = ωn/(2π) en Hz. Un amortisseur visqueux c donne le taux d’amortissement ζ = c/cc, avec l’amortissement critique cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Un système sous-amorti (ζ < 1) oscille à ωd = ωn·√(1 − ζ²). Des ressorts en parallèle s’additionnent, k = k₁ + k₂ ; des ressorts en série s’additionnent par leurs inverses, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Des ressorts en série subissent la même force et leurs allongements s’additionnent ; ils se combinent donc par leurs inverses : 1/k = 1/k1 + 1/k2.
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