Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 20 exercices, avec les corrigés complets à la fin.
Un avion part du repos et accélère uniformément à 3 m/s² sur une piste. Trouvez sa vitesse v après 1700 m.
La balle A est lâchée sans vitesse initiale d’une hauteur de 50 m. Au même instant, la balle B est lancée verticalement vers le haut depuis le sol, juste en dessous, à 25 m/s. Négligez la résistance de l’air et prenez g = 9,81 m/s². À quelle hauteur y au-dessus du sol se croisent-elles ?
Une luge de 30 kg est tirée sur une neige horizontale par une corde inclinée de 20° au-dessus de l’horizontale avec une force de 90 N. Le coefficient de frottement cinétique vaut 0,2. Prenez g = 9,81 m/s². Trouvez l’accélération a de la luge.
On pousse un bloc de sorte qu’il commence à monter une rampe inclinée de 35° avec une vitesse de 12 m/s. Le coefficient de frottement cinétique vaut 0,15. Prenez g = 9,81 m/s². Quelle distance d parcourt-il le long de la rampe avant de s’arrêter ?
Une balle est lancée depuis un sol horizontal à 28 m/s et doit retomber à 55 m. Négligez la résistance de l’air et prenez g = 9,81 m/s². Trouvez le plus petit des deux angles de tir possibles θ.
Une balle est lancée à 18 m/s et 60° au-dessus de l’horizontale depuis le haut d’une falaise de 20 m. Négligez la résistance de l’air et prenez g = 9,81 m/s². Trouvez la hauteur maximale H au-dessus du sol au pied de la falaise.
Un virage de rayon 350 m est relevé de 20°. À quelle vitesse v une voiture peut-elle le prendre sans avoir besoin d’aucun frottement ? Prenez g = 9,81 m/s².
Une balle de 1,5 kg attachée à un fil de 0,7 m tourne dans un cercle vertical. Au point le plus bas, elle se déplace à 3 m/s. Prenez g = 9,81 m/s². Trouvez la tension T du fil au point le plus bas.
Un bloc de 5 kg glisse de 4 m sur une pente inclinée de 40° par rapport à l’horizontale, avec un coefficient de frottement dynamique de 0,2. Trouvez le travail Wf effectué contre le frottement.
Un bloc de 1 kg est lâché sans vitesse à une hauteur de 2 m sur une rampe lisse. En bas, il traverse une bande horizontale rugueuse de 2 m (μ = 0,25) puis heurte un ressort (k = 2000 N/m) sur une surface lisse. Trouvez la compression maximale x du ressort.
Un mobile de 2 kg se déplaçant à 12 m/s subit un choc frontal parfaitement élastique avec un mobile de 3 kg au repos sur un rail sans frottement. Trouvez la vitesse v′2 du second mobile après le choc.
Une balle de 0,45 kg frappe un mur à 22 m/s et rebondit droit en arrière à 20 m/s. Le contact dure 10 ms. Trouvez la force moyenne Favg exercée par le mur sur la balle.
Une barre mince homogène de masse 1 kg et de longueur 1,8 m est articulée à une extrémité et lâchée sans vitesse initiale depuis la position horizontale. Une petite bille de masse 3,5 kg est fixée à son extrémité libre. Négligez les frottements et utilisez g = 9,81 m/s². Trouvez la vitesse v de l’extrémité libre lorsque la barre passe par la position verticale.
Un disque plein homogène (masse 37 kg, rayon 0,1 m) tourne librement à 100 rpm autour d’un arbre vertical sans frottement. Un anneau mince de masse 10 kg et de même rayon est lâché dessus sans vitesse initiale, centré sur l’arbre, et les deux se mettent rapidement à tourner ensemble. Quelle énergie cinétique ΔE est perdue au cours du processus ?
Un moteur de 11 kW tournant à 1450 tr/min entraîne un pignon de 30 dents et de module 3 mm. Trouvez l’effort tangentiel Ft sur les dents du pignon.
Une courroie ouverte relie une poulie de 160 mm et une poulie de 500 mm dont les centres sont distants de 1000 mm. Trouvez l’angle d’enroulement θ sur la plus petite poulie, en degrés.
Un astronaute sur une autre planète constate qu’un pendule simple de 1,5 m de long a une période de 2,3 s pour de petites oscillations. Trouvez l’accélération de la pesanteur g sur cette planète.
Une masse accrochée à un ressort de raideur k = 340 N/m oscille sur une surface sans frottement avec une amplitude de 19 cm. Trouvez l’énergie U stockée dans le ressort quand la masse est à 15 cm de la position d’équilibre.
Une masse de 20 kg sur un ressort de raideur 15 kN/m est munie d’un amortisseur visqueux qui donne un taux d’amortissement de 0,4. Trouvez la fréquence propre amortie fd de ses vibrations libres, en Hz.
Une masse de 40 kg est suspendue à deux ressorts reliés bout à bout (en série) : le ressort du haut a k₁ = 10 kN/m et celui du bas k₂ = 50 kN/m. Trouvez la raideur équivalente keq du système de ressorts, en kN/m.
Réponse: v = 101 m/s
Mouvement à accélération constante : v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² et v² = v₀² + 2·a·s. Choisissez l’équation qui contient les trois grandeurs connues et celle que vous cherchez, et gardez des signes cohérents avec un seul sens positif.
Réponse: y = 30,38 m
Mouvement à accélération constante : v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² et v² = v₀² + 2·a·s. Choisissez l’équation qui contient les trois grandeurs connues et celle que vous cherchez, et gardez des signes cohérents avec un seul sens positif.
Le haut est positif, le sol est en y = 0.
Réponse: a = 1,062 m/s²
Deuxième loi de Newton : la force résultante sur un corps est égale à sa masse multipliée par son accélération, ΣF = m·a. Tracez un schéma du corps libre, choisissez un sens positif selon le mouvement et additionnez toutes les forces dans cette direction : forces appliquées, frottement μ·N opposé au mouvement et composantes du poids.
Réponse: d = 10,54 m
Deuxième loi de Newton : la force résultante sur un corps est égale à sa masse multipliée par son accélération, ΣF = m·a. Tracez un schéma du corps libre, choisissez un sens positif selon le mouvement et additionnez toutes les forces dans cette direction : forces appliquées, frottement μ·N opposé au mouvement et composantes du poids.
Les deux forces sont dirigées vers le bas de la pente ; la masse se simplifie.
Réponse: θ = 21,74 °
Mouvement d’un projectile : sans résistance de l’air, x = vxt et y = h + vyt − ½gt². Les deux directions sont indépendantes, sauf qu’elles partagent le même temps.
L’autre solution est 90° − θ = 68,26°.
Réponse: H = 32,39 m
Mouvement d’un projectile : sans résistance de l’air, x = vxt et y = h + vyt − ½gt². Les deux directions sont indépendantes, sauf qu’elles partagent le même temps.
Réponse: v = 35,35 m/s
Mouvement circulaire uniforme : un objet qui se déplace à la vitesse v sur un cercle de rayon r a une accélération dirigée vers le centre a = v²/r ; il lui faut donc une force résultante dirigée vers le centre F = m·v²/r. Cette force est fournie par quelque chose de réel : frottement, tension, pesanteur ou réaction normale.
Réponse: T = 34 N
Mouvement circulaire uniforme : un objet qui se déplace à la vitesse v sur un cercle de rayon r a une accélération dirigée vers le centre a = v²/r ; il lui faut donc une force résultante dirigée vers le centre F = m·v²/r. Cette force est fournie par quelque chose de réel : frottement, tension, pesanteur ou réaction normale.
Vers le centre (vers le haut) est positif.
Réponse: Wf = 30,06 J
Théorème de l’énergie cinétique : la variation d’énergie cinétique égale le travail de toutes les forces. En écrivant la pesanteur et les ressorts sous forme d’énergie potentielle (mgh et ½kx²), on obtient un bilan : énergie initiale = énergie finale + énergie perdue par frottement (μN·d).
Réponse: x = 12,13 cm
Théorème de l’énergie cinétique : la variation d’énergie cinétique égale le travail de toutes les forces. En écrivant la pesanteur et les ressorts sous forme d’énergie potentielle (mgh et ½kx²), on obtient un bilan : énergie initiale = énergie finale + énergie perdue par frottement (μN·d).
La rampe est lisse, donc seule la bande retire de l’énergie.
Réponse: v′2 = 9,6 m/s
Conservation de la quantité de mouvement : si aucune force extérieure n’agit pendant un choc, la quantité de mouvement totale Σm·v avant est égale à celle après. Les vitesses ont un sens : choisissez un sens positif et affectez d’un signe moins les vitesses dans l’autre sens. Dans un choc élastique, l’énergie cinétique est aussi conservée ; dans un choc parfaitement inélastique, les corps restent solidaires.
Résoudre ensemble la conservation de la quantité de mouvement et celle de l’énergie donne ces deux résultats.
Réponse: Favg = 1890 N
Conservation de la quantité de mouvement : si aucune force extérieure n’agit pendant un choc, la quantité de mouvement totale Σm·v avant est égale à celle après. Les vitesses ont un sens : choisissez un sens positif et affectez d’un signe moins les vitesses dans l’autre sens. Dans un choc élastique, l’énergie cinétique est aussi conservée ; dans un choc parfaitement inélastique, les corps restent solidaires.
Réponse: v = 6,071 m/s
Rotation autour d’un axe fixe : la somme des moments par rapport à l’axe est égale à I·α (ΣM = I·α), comme ΣF = m·a pour la translation. Sous forme énergétique, un couple T qui tourne d’un angle θ (en radians) fournit un travail T·θ, qui modifie l’énergie cinétique ½·I·ω² ; la pesanteur ajoute ou retire m·g·Δh pour le centre de masse. La puissance est P = T·ω.
Réponse: ΔE = 3,559 J
Roulement et moment cinétique : un corps qui roule sans glisser a v = ω·r, donc son énergie cinétique est ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²)). Sur une pente, cela donne a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²)). Quand aucun moment extérieur n’agit autour d’un axe, le moment cinétique autour de cet axe reste constant, I₁·ω₁ = I₂·ω₂, même si de l’énergie cinétique est perdue.
Réponse: Ft = 1610 N
Géométrie des engrenages : le module m fixe la taille des dents. Une roue à N dents a un diamètre primitif d = m·N, deux roues qui engrènent ont le même module, et leur entraxe vaut a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2. La vitesse sur le cercle primitif vaut v = π·d·n/60, et l’effort tangentiel sur la denture découle du couple : Ft = 2T/d.
Réponse: θ = 160,4 °
Transmissions par courroie : sans glissement, les deux poulies ont la même vitesse périphérique v = π·d·n/60, donc n₁·d₁ = n₂·d₂ et le rapport de vitesses vaut d₂/d₁. Le glissement s ralentit un peu la poulie menée : n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). La puissance transmise est P = (T₁ − T₂)·v, avec T₁ la tension du brin tendu et T₂ celle du brin mou. Le frottement limite le rapport des tensions : T₁/T₂ = eμθ, où θ est l’angle d’enroulement en radians sur la plus petite poulie ; pour une courroie ouverte, θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) avec l’entraxe C.
Réponse: g = 11,19 m/s²
Mouvement harmonique simple : une masse m sur un ressort de raideur k oscille avec la pulsation ω = √(k/m) et la période T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Un pendule simple de longueur L a pour période T = 2π·√(L/g). Avec une amplitude A, la vitesse maximale vaut A·ω, l’accélération maximale A·ω² et l’énergie ½·k·A².
Réponse: U = 3,825 J
Mouvement harmonique simple : une masse m sur un ressort de raideur k oscille avec la pulsation ω = √(k/m) et la période T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Un pendule simple de longueur L a pour période T = 2π·√(L/g). Avec une amplitude A, la vitesse maximale vaut A·ω, l’accélération maximale A·ω² et l’énergie ½·k·A².
Réponse: fd = 3,995 Hz
Vibrations libres d’un système masse–ressort : la pulsation propre non amortie vaut ωn = √(k/m) en rad/s, et fn = ωn/(2π) en Hz. Un amortisseur visqueux c donne le taux d’amortissement ζ = c/cc, avec l’amortissement critique cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Un système sous-amorti (ζ < 1) oscille à ωd = ωn·√(1 − ζ²). Des ressorts en parallèle s’additionnent, k = k₁ + k₂ ; des ressorts en série s’additionnent par leurs inverses, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Réponse: keq = 8,333 kN/m
Vibrations libres d’un système masse–ressort : la pulsation propre non amortie vaut ωn = √(k/m) en rad/s, et fn = ωn/(2π) en Hz. Un amortisseur visqueux c donne le taux d’amortissement ζ = c/cc, avec l’amortissement critique cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Un système sous-amorti (ζ < 1) oscille à ωd = ωn·√(1 − ζ²). Des ressorts en parallèle s’additionnent, k = k₁ + k₂ ; des ressorts en série s’additionnent par leurs inverses, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Des ressorts en série subissent la même force et leurs allongements s’additionnent ; ils se combinent donc par leurs inverses : 1/k = 1/k1 + 1/k2.
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