Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 20 exercices, avec les corrigés complets à la fin.
Une voiture roulant à vitesse constante de 24 m/s dépasse une voiture de police à l’arrêt. À cet instant, la voiture de police démarre et accélère uniformément à 5,5 m/s². Combien de temps faut-il à la voiture de police pour la rattraper ? Trouvez t.
La balle A est lâchée sans vitesse initiale d’une hauteur de 25 m. Au même instant, la balle B est lancée verticalement vers le haut depuis le sol, juste en dessous, à 19 m/s. Négligez la résistance de l’air et prenez g = 9,81 m/s². À quelle hauteur y au-dessus du sol se croisent-elles ?
Une caisse de 45 kg est poussée à vitesse constante sur une rampe inclinée de 40° par rapport à l’horizontale, par une force parallèle à la rampe. Le coefficient de frottement cinétique vaut 0,25. Prenez g = 9,81 m/s². Trouvez la force de poussée F.
Un bloc de 1 kg sur une rampe inclinée de 35° est relié par un fil léger passant sur une poulie sans frottement en haut de la rampe à une masse suspendue de 7 kg. La masse suspendue descend. La rampe est sans frottement. Prenez g = 9,81 m/s². Trouvez la tension T du fil.
Une balle est lancée à 20° au-dessus de l’horizontale depuis un sol plat. Négligez la résistance de l’air. Trouvez la durée du vol t jusqu’à ce que la balle touche le sol.
Une balle est lancée à 45° au-dessus de l’horizontale du haut d’une falaise de 50 m. Négligez la résistance de l’air. Trouvez la distance horizontale x parcourue avant que la balle touche le sol.
Dans un rotor de fête foraine, les passagers se tiennent contre la paroi d’un cylindre vertical de rayon 3,2 m. Quand il tourne assez vite, le plancher s’abaisse et le frottement les retient. Le coefficient de frottement statique vaut 0,5. Prenez g = 9,81 m/s². Trouvez la vitesse angulaire minimale ω en rad/s.
Un petit chariot est lâché sans vitesse initiale sur une piste sans frottement et entre dans une boucle verticale de rayon 3 m. De quelle hauteur minimale hmin au-dessus du bas de la boucle doit-il partir pour rester sur la piste au sommet de la boucle ?
Un bloc de 5 kg glisse de 15 m sur une pente inclinée de 35° par rapport à l’horizontale, avec un coefficient de frottement dynamique de 0,15. Trouvez le travail Wf effectué contre le frottement.
Un bloc de 10 kg est lâché sans vitesse à une hauteur de 1,5 m sur une rampe lisse. En bas, il traverse une bande horizontale rugueuse de 2,5 m (μ = 0,15) puis heurte un ressort (k = 5000 N/m) sur une surface lisse. Trouvez la compression maximale x du ressort.
Un mobile de 2 kg se déplaçant à 6 m/s subit un choc frontal parfaitement élastique avec un mobile de 4 kg au repos sur un rail sans frottement. Trouvez la vitesse v′2 du second mobile après le choc.
Une balle de 0,35 kg frappe un mur à 10 m/s et rebondit droit en arrière à 12 m/s. Le contact dure 10 ms. Trouvez l’intensité de l’impulsion J que le mur communique à la balle.
Un moteur amène un volant d’inertie de moment d’inertie 1 kg·m² du repos à 1200 rpm en 10 s. En négligeant les pertes, trouvez la puissance moyenne Pavg qu’il fournit, en kW.
Un corps (sphère creuse) roule sans glisser sur une pente inclinée de 40° par rapport à l’horizontale. Utilisez g = 9,81 m/s². Trouvez le plus petit coefficient de frottement statique μs qui l’empêche de glisser.
Une poulie de 200 mm tournant à 1440 tr/min entraîne une poulie de 300 mm par une courroie avec 2 % de glissement. Trouvez la vitesse n2 de la poulie menée.
Un moteur de 5,5 kW à 2900 tr/min entraîne la roue A (15 dents), qui engrène avec la roue B (80 dents). La roue C (72 dents), sur le même arbre que B, entraîne la roue D (80 dents) sur l’arbre de sortie. Chaque engrènement a un rendement de 96 %. Trouvez le couple de sortie Tout.
Une masse de 3,2 kg accrochée à un ressort de raideur k = 110 N/m est écartée de 13 cm dans le sens positif et lâchée sans vitesse initiale à t = 0. Trouvez sa vitesse v à t = 0,45 s (avec son signe).
Une masse accrochée à un ressort de raideur k = 480 N/m oscille sur une surface sans frottement avec une amplitude de 13 cm. Trouvez son énergie cinétique K quand elle est à 7 cm de la position d’équilibre.
Une masse de 2 kg sur un ressort de raideur 8 kN/m est munie d’un amortisseur visqueux qui donne un taux d’amortissement de 0,45. Trouvez la fréquence propre amortie fd de ses vibrations libres, en Hz.
Une masse de 5 kg est suspendue à deux ressorts côte à côte (en parallèle), de raideurs k₁ = 10 kN/m et k₂ = 20 kN/m. La masse reste horizontale. Trouvez la raideur équivalente keq du système de ressorts, en kN/m.
Réponse: t = 8,727 s
Mouvement à accélération constante : v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² et v² = v₀² + 2·a·s. Choisissez l’équation qui contient les trois grandeurs connues et celle que vous cherchez, et gardez des signes cohérents avec un seul sens positif.
À cet instant, la voiture de police roule à 2v = 48 m/s.
Réponse: y = 16,51 m
Mouvement à accélération constante : v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² et v² = v₀² + 2·a·s. Choisissez l’équation qui contient les trois grandeurs connues et celle que vous cherchez, et gardez des signes cohérents avec un seul sens positif.
Le haut est positif, le sol est en y = 0.
Réponse: F = 368,3 N
Deuxième loi de Newton : la force résultante sur un corps est égale à sa masse multipliée par son accélération, ΣF = m·a. Tracez un schéma du corps libre, choisissez un sens positif selon le mouvement et additionnez toutes les forces dans cette direction : forces appliquées, frottement μ·N opposé au mouvement et composantes du poids.
Vitesse constante : les forces s’équilibrent.
Réponse: T = 13,51 N
Deuxième loi de Newton : la force résultante sur un corps est égale à sa masse multipliée par son accélération, ΣF = m·a. Tracez un schéma du corps libre, choisissez un sens positif selon le mouvement et additionnez toutes les forces dans cette direction : forces appliquées, frottement μ·N opposé au mouvement et composantes du poids.
Réponse: t = 1,813 s
Mouvement d’un projectile : sans résistance de l’air, x = vxt et y = h + vyt − ½gt². Les deux directions sont indépendantes, sauf qu’elles partagent le même temps.
La vitesse horizontale reste constante ; le mouvement vertical a une accélération constante g = 9,81 m/s² vers le bas.
Départ et arrivée à la même hauteur : t = 2vy/g.
Réponse: x = 69,93 m
Mouvement d’un projectile : sans résistance de l’air, x = vxt et y = h + vyt − ½gt². Les deux directions sont indépendantes, sauf qu’elles partagent le même temps.
La vitesse horizontale reste constante ; le mouvement vertical a une accélération constante g = 9,81 m/s² vers le bas.
Résolvez y(t) = h + vy·t − ½gt² = 0 et prenez la racine positive.
Réponse: ω = 2,476 rad/s
Mouvement circulaire uniforme : un objet qui se déplace à la vitesse v sur un cercle de rayon r a une accélération dirigée vers le centre a = v²/r ; il lui faut donc une force résultante dirigée vers le centre F = m·v²/r. Cette force est fournie par quelque chose de réel : frottement, tension, pesanteur ou réaction normale.
Réponse: hmin = 7,5 m
Mouvement circulaire uniforme : un objet qui se déplace à la vitesse v sur un cercle de rayon r a une accélération dirigée vers le centre a = v²/r ; il lui faut donc une force résultante dirigée vers le centre F = m·v²/r. Cette force est fournie par quelque chose de réel : frottement, tension, pesanteur ou réaction normale.
Réponse: Wf = 90,4 J
Théorème de l’énergie cinétique : la variation d’énergie cinétique égale le travail de toutes les forces. En écrivant la pesanteur et les ressorts sous forme d’énergie potentielle (mgh et ½kx²), on obtient un bilan : énergie initiale = énergie finale + énergie perdue par frottement (μN·d).
Réponse: x = 21,01 cm
Théorème de l’énergie cinétique : la variation d’énergie cinétique égale le travail de toutes les forces. En écrivant la pesanteur et les ressorts sous forme d’énergie potentielle (mgh et ½kx²), on obtient un bilan : énergie initiale = énergie finale + énergie perdue par frottement (μN·d).
La rampe est lisse, donc seule la bande retire de l’énergie.
Réponse: v′2 = 4 m/s
Conservation de la quantité de mouvement : si aucune force extérieure n’agit pendant un choc, la quantité de mouvement totale Σm·v avant est égale à celle après. Les vitesses ont un sens : choisissez un sens positif et affectez d’un signe moins les vitesses dans l’autre sens. Dans un choc élastique, l’énergie cinétique est aussi conservée ; dans un choc parfaitement inélastique, les corps restent solidaires.
Résoudre ensemble la conservation de la quantité de mouvement et celle de l’énergie donne ces deux résultats.
Réponse: J = 7,7 N·s
Conservation de la quantité de mouvement : si aucune force extérieure n’agit pendant un choc, la quantité de mouvement totale Σm·v avant est égale à celle après. Les vitesses ont un sens : choisissez un sens positif et affectez d’un signe moins les vitesses dans l’autre sens. Dans un choc élastique, l’énergie cinétique est aussi conservée ; dans un choc parfaitement inélastique, les corps restent solidaires.
Réponse: Pavg = 0,7896 kW
Rotation autour d’un axe fixe : la somme des moments par rapport à l’axe est égale à I·α (ΣM = I·α), comme ΣF = m·a pour la translation. Sous forme énergétique, un couple T qui tourne d’un angle θ (en radians) fournit un travail T·θ, qui modifie l’énergie cinétique ½·I·ω² ; la pesanteur ajoute ou retire m·g·Δh pour le centre de masse. La puissance est P = T·ω.
Réponse: μs = 0,3356
Roulement et moment cinétique : un corps qui roule sans glisser a v = ω·r, donc son énergie cinétique est ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²)). Sur une pente, cela donne a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²)). Quand aucun moment extérieur n’agit autour d’un axe, le moment cinétique autour de cet axe reste constant, I₁·ω₁ = I₂·ω₂, même si de l’énergie cinétique est perdue.
Réponse: n2 = 940,8 rpm
Transmissions par courroie : sans glissement, les deux poulies ont la même vitesse périphérique v = π·d·n/60, donc n₁·d₁ = n₂·d₂ et le rapport de vitesses vaut d₂/d₁. Le glissement s ralentit un peu la poulie menée : n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). La puissance transmise est P = (T₁ − T₂)·v, avec T₁ la tension du brin tendu et T₂ celle du brin mou. Le frottement limite le rapport des tensions : T₁/T₂ = eμθ, où θ est l’angle d’enroulement en radians sur la plus petite poulie ; pour une courroie ouverte, θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) avec l’entraxe C.
Réponse: Tout = 98,91 N·m
Trains d’engrenages : des roues en prise ont la même vitesse au niveau des dents, donc n₁·N₁ = n₂·N₂ : la roue qui a le moins de dents tourne le plus vite. Des roues montées sur un même arbre tournent à la même vitesse. La puissance est transmise (aux pertes près), donc le couple augmente quand la vitesse diminue : T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, et P = T·ω avec ω = 2π·n/60.
Réponse: v = −0,3676 m/s
Mouvement harmonique simple : une masse m sur un ressort de raideur k oscille avec la pulsation ω = √(k/m) et la période T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Un pendule simple de longueur L a pour période T = 2π·√(L/g). Avec une amplitude A, la vitesse maximale vaut A·ω, l’accélération maximale A·ω² et l’énergie ½·k·A².
Réponse: K = 2,88 J
Mouvement harmonique simple : une masse m sur un ressort de raideur k oscille avec la pulsation ω = √(k/m) et la période T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Un pendule simple de longueur L a pour période T = 2π·√(L/g). Avec une amplitude A, la vitesse maximale vaut A·ω, l’accélération maximale A·ω² et l’énergie ½·k·A².
Réponse: fd = 8,989 Hz
Vibrations libres d’un système masse–ressort : la pulsation propre non amortie vaut ωn = √(k/m) en rad/s, et fn = ωn/(2π) en Hz. Un amortisseur visqueux c donne le taux d’amortissement ζ = c/cc, avec l’amortissement critique cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Un système sous-amorti (ζ < 1) oscille à ωd = ωn·√(1 − ζ²). Des ressorts en parallèle s’additionnent, k = k₁ + k₂ ; des ressorts en série s’additionnent par leurs inverses, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Réponse: keq = 30 kN/m
Vibrations libres d’un système masse–ressort : la pulsation propre non amortie vaut ωn = √(k/m) en rad/s, et fn = ωn/(2π) en Hz. Un amortisseur visqueux c donne le taux d’amortissement ζ = c/cc, avec l’amortissement critique cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Un système sous-amorti (ζ < 1) oscille à ωd = ωn·√(1 − ζ²). Des ressorts en parallèle s’additionnent, k = k₁ + k₂ ; des ressorts en série s’additionnent par leurs inverses, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Des ressorts côte à côte ont le même allongement et leurs forces s’additionnent ; leurs raideurs s’additionnent donc simplement : k = k1 + k2.
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