Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 20 exercices, avec les corrigés complets à la fin.
Un avion a besoin d’une vitesse de 180 km/h pour décoller et la piste utilisable mesure 1700 m. En partant du repos, quelle accélération constante a lui faut-il ?
Une balle est lancée verticalement vers le haut à 18 m/s depuis le bord d’un toit situé à 5 m au-dessus du sol. Négligez la résistance de l’air et prenez g = 9,81 m/s². Trouvez la hauteur maximale hmax au-dessus du sol.
Un bloc de 2 kg descend en glissant une pente inclinée de 40° par rapport à l’horizontale. Le coefficient de frottement dynamique vaut 0,2. Prenez g = 9,81 m/s². Trouvez l’accélération a du bloc le long de la pente.
Un bloc de 5 kg posé sur une table horizontale est relié par un fil léger, passant sur une poulie sans frottement, à une masse suspendue de 5,5 kg. La table est sans frottement. Prenez g = 9,81 m/s². Trouvez l’accélération a du système.
Une balle est lancée depuis un sol horizontal à 34 m/s et doit retomber à 110 m. Négligez la résistance de l’air et prenez g = 9,81 m/s². Trouvez le plus petit des deux angles de tir possibles θ.
Une balle est lancée à 15° au-dessus de l’horizontale du haut d’une falaise de 55 m. Négligez la résistance de l’air. Trouvez la durée du vol t jusqu’à ce que la balle touche le sol.
Une voiture passe sur le sommet d’une bosse de la route, qui est un arc de cercle de rayon 20 m. Prenez g = 9,81 m/s². Au-delà de quelle vitesse vmax les roues quittent-elles la route au sommet ?
Une balle attachée à un fil de 1,5 m tourne dans un cercle vertical. Prenez g = 9,81 m/s². Quelle est la vitesse minimale vmin au sommet pour que le fil reste tout juste tendu ?
Un bloc de 1 kg glisse de 15 m sur une pente inclinée de 45° par rapport à l’horizontale, avec un coefficient de frottement dynamique de 0,15. Trouvez le travail Wf effectué contre le frottement.
Un bloc de 1 kg est lâché sans vitesse à une hauteur de 2 m sur une rampe lisse. En bas, il traverse une bande horizontale rugueuse de 4 m (μ = 0,15) puis heurte un ressort (k = 2500 N/m) sur une surface lisse. Trouvez la compression maximale x du ressort.
Un projectile de 20 kg se déplaçant horizontalement à 36 m/s explose en deux fragments qui se déplacent sur la même droite. Le fragment de 2 kg continue vers l’avant à 65 m/s. Trouvez la vitesse v′2 du fragment de 18 kg (positive dans le sens initial).
Une balle de 0,15 kg frappe un mur à 19 m/s et rebondit droit en arrière à 20 m/s. Le contact dure 50 ms. Trouvez l’intensité de l’impulsion J que le mur communique à la balle.
Une barre mince homogène de masse 11 kg et de longueur 0,8 m est articulée à une extrémité et maintenue horizontale. Elle est lâchée sans vitesse initiale. Utilisez g = 9,81 m/s². Trouvez l’accélération atip de l’extrémité libre juste après le lâcher.
Une barre mince homogène de masse 8 kg et de longueur 1,2 m est suspendue au repos à un pivot sans frottement à son extrémité supérieure. Une balle de 50 g se déplaçant horizontalement à 100 m/s frappe la barre à 0,93 m sous le pivot et reste logée dedans. Utilisez g = 9,81 m/s². Trouvez l’angle maximal φ par rapport à la verticale que la barre atteint dans son oscillation.
Deux arbres parallèles sont distants de 125 mm. Ils doivent être reliés par un engrenage à denture droite de module 2 mm avec un rapport de réduction de 4 : 1. Combien de dents N2 la roue doit-elle avoir ?
Dans un train d’engrenages composé, la roue A (45 dents) sur l’arbre d’entrée tourne à 1500 tr/min et entraîne la roue B (50 dents). La roue C (16 dents) est solidaire du même arbre que B et entraîne la roue D sur l’arbre de sortie. La sortie doit tourner à 600 tr/min. Combien de dents ND la roue D doit-elle avoir ?
Un astronaute sur une autre planète constate qu’un pendule simple de 1,9 m de long a une période de 4,5 s pour de petites oscillations. Trouvez l’accélération de la pesanteur g sur cette planète.
Une masse de 1,2 kg fixée à un ressort de raideur k = 50 N/m est écartée de 12 cm de sa position d’équilibre puis lâchée. Trouvez l’énergie totale E de l’oscillation.
Lors d’un essai de vibrations libres d’un système masse–ressort amorti, un pic de déplacement de 12 mm est suivi, 2 cycles plus tard, d’un pic de 9,3 mm. Trouvez le taux d’amortissement ζ.
Une masse de 100 kg est suspendue à deux ressorts côte à côte (en parallèle), de raideurs k₁ = 40 kN/m et k₂ = 50 kN/m. La masse reste horizontale. Trouvez la raideur équivalente keq du système de ressorts, en kN/m.
Réponse: a = 0,7353 m/s²
Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.
Réponse: hmax = 21,51 m
Mouvement à accélération constante : v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² et v² = v₀² + 2·a·s. Choisissez l’équation qui contient les trois grandeurs connues et celle que vous cherchez, et gardez des signes cohérents avec un seul sens positif.
Réponse: a = 4,803 m/s²
Deuxième loi de Newton : la force résultante sur un corps est égale à sa masse multipliée par son accélération, ΣF = m·a. Tracez un schéma du corps libre, choisissez un sens positif selon le mouvement et additionnez toutes les forces dans cette direction : forces appliquées, frottement μ·N opposé au mouvement et composantes du poids.
Le sens de la descente est positif.
Réponse: a = 5,139 m/s²
Deuxième loi de Newton : la force résultante sur un corps est égale à sa masse multipliée par son accélération, ΣF = m·a. Tracez un schéma du corps libre, choisissez un sens positif selon le mouvement et additionnez toutes les forces dans cette direction : forces appliquées, frottement μ·N opposé au mouvement et composantes du poids.
Réponse: θ = 34,49 °
Projectile motion: with no air resistance, x = vxt and y = h + vyt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.
L’autre solution est 90° − θ = 55,51°.
Réponse: t = 4,2 s
Mouvement d’un projectile : sans résistance de l’air, x = vxt et y = h + vyt − ½gt². Les deux directions sont indépendantes, sauf qu’elles partagent le même temps.
La vitesse horizontale reste constante ; le mouvement vertical a une accélération constante g = 9,81 m/s² vers le bas.
Résolvez y(t) = h + vy·t − ½gt² = 0 et prenez la racine positive.
Réponse: vmax = 14,01 m/s
Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.
Réponse: vmin = 3,836 m/s
Mouvement circulaire uniforme : un objet qui se déplace à la vitesse v sur un cercle de rayon r a une accélération dirigée vers le centre a = v²/r ; il lui faut donc une force résultante dirigée vers le centre F = m·v²/r. Cette force est fournie par quelque chose de réel : frottement, tension, pesanteur ou réaction normale.
Réponse: Wf = 15,61 J
Théorème de l’énergie cinétique : la variation d’énergie cinétique égale le travail de toutes les forces. En écrivant la pesanteur et les ressorts sous forme d’énergie potentielle (mgh et ½kx²), on obtient un bilan : énergie initiale = énergie finale + énergie perdue par frottement (μN·d).
Réponse: x = 10,48 cm
Théorème de l’énergie cinétique : la variation d’énergie cinétique égale le travail de toutes les forces. En écrivant la pesanteur et les ressorts sous forme d’énergie potentielle (mgh et ½kx²), on obtient un bilan : énergie initiale = énergie finale + énergie perdue par frottement (μN·d).
La rampe est lisse, donc seule la bande retire de l’énergie.
Réponse: v′2 = 32,78 m/s
Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.
Réponse: J = 5,85 N·s
Conservation de la quantité de mouvement : si aucune force extérieure n’agit pendant un choc, la quantité de mouvement totale Σm·v avant est égale à celle après. Les vitesses ont un sens : choisissez un sens positif et affectez d’un signe moins les vitesses dans l’autre sens. Dans un choc élastique, l’énergie cinétique est aussi conservée ; dans un choc parfaitement inélastique, les corps restent solidaires.
Réponse: atip = 14,71 m/s²
Rotation about a fixed axis: the sum of the moments about the axis equals I·α (ΣM = I·α), just as ΣF = m·a for translation. In energy form, a torque T turning through an angle θ (in radians) does work T·θ, which changes the kinetic energy ½·I·ω²; gravity adds or removes m·g·Δh of the centre of mass. Power is P = T·ω.
Au moment du lâcher, ω = 0, il n’y a donc pas d’accélération centripète et le centre accélère verticalement vers le bas.
atip = 1,5·g quelle que soit la longueur : l’extrémité libre tombe plus vite qu’une pierre lâchée.
Réponse: φ = 19,7 °
Rolling and angular momentum: a body rolling without slipping has v = ω·r, so its kinetic energy is ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²)). Down a slope that gives a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²)). When no external moment acts about an axis, the angular momentum about that axis stays constant, I₁·ω₁ = I₂·ω₂, even if kinetic energy is lost.
La force du pivot passe par le pivot, donc elle n’y a pas de moment pendant le choc.
Réponse: N2 = 100
Gear geometry: the module m sets the tooth size. A gear with N teeth has a pitch diameter d = m·N, two meshing gears have the same module, and their centre distance is a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2. The pitch-line speed is v = π·d·n/60, and the tangential tooth force follows from the torque: Ft = 2T/d.
Réponse: ND = 36
Gear trains: meshing gears have the same speed at the teeth, so n₁·N₁ = n₂·N₂: the gear with fewer teeth turns faster. Gears on one shaft turn at the same speed. Power is passed on (minus losses), so torque goes up when speed goes down: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, and P = T·ω with ω = 2π·n/60.
Réponse: g = 3,704 m/s²
Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².
Réponse: E = 0,36 J
Mouvement harmonique simple : une masse m sur un ressort de raideur k oscille avec la pulsation ω = √(k/m) et la période T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Un pendule simple de longueur L a pour période T = 2π·√(L/g). Avec une amplitude A, la vitesse maximale vaut A·ω, l’accélération maximale A·ω² et l’énergie ½·k·A².
Réponse: ζ = 0,02028
Vibrations libres d’un système masse–ressort : la pulsation propre non amortie vaut ωn = √(k/m) en rad/s, et fn = ωn/(2π) en Hz. Un amortisseur visqueux c donne le taux d’amortissement ζ = c/cc, avec l’amortissement critique cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Un système sous-amorti (ζ < 1) oscille à ωd = ωn·√(1 − ζ²). Des ressorts en parallèle s’additionnent, k = k₁ + k₂ ; des ressorts en série s’additionnent par leurs inverses, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Réponse: keq = 90 kN/m
Vibrations libres d’un système masse–ressort : la pulsation propre non amortie vaut ωn = √(k/m) en rad/s, et fn = ωn/(2π) en Hz. Un amortisseur visqueux c donne le taux d’amortissement ζ = c/cc, avec l’amortissement critique cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Un système sous-amorti (ζ < 1) oscille à ωd = ωn·√(1 − ζ²). Des ressorts en parallèle s’additionnent, k = k₁ + k₂ ; des ressorts en série s’additionnent par leurs inverses, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Des ressorts côte à côte ont le même allongement et leurs forces s’additionnent ; leurs raideurs s’additionnent donc simplement : k = k1 + k2.
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