Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 20 exercices, avec les corrigés complets à la fin.
Une voiture roulant à 72 km/h freine avec une décélération constante de 7 m/s² jusqu’à l’arrêt. Trouvez la distance de freinage s.
Un tramway part du repos et accélère à 2 m/s² pendant 8 s, roule ensuite à vitesse constante pendant 23 s, puis freine à 2 m/s² jusqu’à l’arrêt. Trouvez la distance totale s entre les deux arrêts.
Un bloc de 2 kg descend en glissant une pente inclinée de 25° par rapport à l’horizontale. Le coefficient de frottement dynamique vaut 0,25. Prenez g = 9,81 m/s². Trouvez l’accélération a du bloc le long de la pente.
Deux blocs posés sur un sol horizontal sont reliés par un fil horizontal léger. Une force horizontale de 120 N tire le bloc avant de 1 kg ; le bloc de 5 kg est remorqué derrière. Le coefficient de frottement cinétique vaut 0,3 pour les deux blocs. Prenez g = 9,81 m/s². Trouvez l’accélération a des blocs.
Un ballon est frappé depuis un sol horizontal à 22 m/s et 65° au-dessus de l’horizontale en direction d’un mur situé à 11 m. Négligez la résistance de l’air et prenez g = 9,81 m/s². À quelle hauteur y le ballon passe-t-il au niveau du mur ?
Une balle est lancée à 40° au-dessus de l’horizontale du haut d’une falaise de 15 m. Négligez la résistance de l’air. Trouvez la distance horizontale x parcourue avant que la balle touche le sol.
Dans un rotor de fête foraine, les passagers se tiennent contre la paroi d’un cylindre vertical de rayon 3,9 m. Quand il tourne assez vite, le plancher s’abaisse et le frottement les retient. Le coefficient de frottement statique vaut 0,3. Prenez g = 9,81 m/s². Trouvez la vitesse angulaire minimale ω en rad/s.
Un chariot de 2 kg est lâché sans vitesse initiale à une hauteur de 38,95 m sur une piste sans frottement et parcourt une boucle verticale de rayon 9,5 m. Prenez g = 9,81 m/s². Trouvez la réaction normale Ntop de la piste sur le chariot au sommet de la boucle.
Un bloc glisse sans vitesse initiale sur une pente inclinée de 45° par rapport à l’horizontale. Le coefficient de frottement dynamique vaut 0,35. Trouvez sa vitesse v après avoir glissé de 19 m le long de la pente.
Un bloc de 5 kg part du repos au bas d’une pente de 35° et est tiré vers le haut de la pente par une force constante de 45 N parallèle à la pente. Le coefficient de frottement cinétique vaut 0,15. Trouvez la vitesse v du bloc après qu’il a parcouru 3 m vers le haut de la pente.
Un mobile de 3,5 kg se déplaçant à 8 m/s subit un choc frontal parfaitement élastique avec un mobile de 2 kg au repos sur un rail sans frottement. Trouvez la vitesse v′2 du second mobile après le choc.
Une balle de 0,1 kg frappe un mur à 26 m/s et rebondit droit en arrière à 5 m/s. Le contact dure 20 ms. Trouvez l’intensité de l’impulsion J que le mur communique à la balle.
Une barre mince homogène de masse 1 kg et de longueur 1,8 m est articulée à une extrémité et maintenue horizontale. Elle est lâchée sans vitesse initiale. Utilisez g = 9,81 m/s². Trouvez la force verticale R que l’articulation exerce sur la barre juste après le lâcher.
Un corps (cylindre plein) de masse 13,5 kg roule sans glisser à 9 m/s. Trouvez son énergie cinétique totale Ek.
Une poulie de 200 mm tournant à 1440 tr/min entraîne une poulie de 315 mm par une courroie avec 2,5 % de glissement. Trouvez la vitesse n2 de la poulie menée.
Dans un train d’engrenages composé, la roue A (45 dents), sur l’arbre d’entrée qui tourne à 1440 rpm, entraîne la roue B (50 dents). La roue C (12 dents) est solidaire du même arbre que B et entraîne la roue D (60 dents) sur l’arbre de sortie. Trouvez la vitesse de sortie nout.
Une masse de 3,4 kg accrochée à un ressort de raideur k = 250 N/m est écartée de 9 cm dans le sens positif et lâchée sans vitesse initiale à t = 0. Trouvez sa vitesse v à t = 0,4 s (avec son signe).
Une masse accrochée à un ressort de raideur k = 330 N/m oscille sur une surface sans frottement avec une amplitude de 20 cm. Trouvez son énergie cinétique K quand elle est à 9 cm de la position d’équilibre.
Une masse de 40 kg sur un ressort de raideur 80 kN/m est munie d’un amortisseur visqueux qui donne un taux d’amortissement de 0,6. Trouvez la fréquence propre amortie fd de ses vibrations libres, en Hz.
Une masse de 100 kg est suspendue au ressort k₃ = 25 kN/m. Le haut de k₃ est fixé à une barre rigide suspendue à deux ressorts côte à côte, k₁ = 80 kN/m et k₂ = 60 kN/m ; la barre reste horizontale. Négligez l’amortissement et les masses des ressorts et de la barre. Trouvez la fréquence propre fn des vibrations verticales, en Hz.
Réponse: s = 28,57 m
Mouvement à accélération constante : v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² et v² = v₀² + 2·a·s. Choisissez l’équation qui contient les trois grandeurs connues et celle que vous cherchez, et gardez des signes cohérents avec un seul sens positif.
Réponse: s = 496 m
Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.
Réponse: a = 1,923 m/s²
Deuxième loi de Newton : la force résultante sur un corps est égale à sa masse multipliée par son accélération, ΣF = m·a. Tracez un schéma du corps libre, choisissez un sens positif selon le mouvement et additionnez toutes les forces dans cette direction : forces appliquées, frottement μ·N opposé au mouvement et composantes du poids.
Le sens de la descente est positif.
Réponse: a = 17,06 m/s²
Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.
Réponse: y = 16,72 m
Projectile motion: with no air resistance, x = vxt and y = h + vyt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.
Le ballon est encore en train de monter au niveau du mur.
Réponse: x = 27,85 m
Mouvement d’un projectile : sans résistance de l’air, x = vxt et y = h + vyt − ½gt². Les deux directions sont indépendantes, sauf qu’elles partagent le même temps.
La vitesse horizontale reste constante ; le mouvement vertical a une accélération constante g = 9,81 m/s² vers le bas.
Résolvez y(t) = h + vy·t − ½gt² = 0 et prenez la racine positive.
Réponse: ω = 2,896 rad/s
Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.
Réponse: Ntop = 62,78 N
Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.
Le sens vers le centre est positif.
Réponse: v = 13,09 m/s
Théorème de l’énergie cinétique : la variation d’énergie cinétique égale le travail de toutes les forces. En écrivant la pesanteur et les ressorts sous forme d’énergie potentielle (mgh et ½kx²), on obtient un bilan : énergie initiale = énergie finale + énergie perdue par frottement (μN·d).
Le bloc descend de d·sin θ pendant que le frottement retire μmg·cos θ·d. La masse se simplifie.
Réponse: v = 3,607 m/s
Théorème de l’énergie cinétique : la variation d’énergie cinétique égale le travail de toutes les forces. En écrivant la pesanteur et les ressorts sous forme d’énergie potentielle (mgh et ½kx²), on obtient un bilan : énergie initiale = énergie finale + énergie perdue par frottement (μN·d).
Réponse: v′2 = 10,18 m/s
Conservation de la quantité de mouvement : si aucune force extérieure n’agit pendant un choc, la quantité de mouvement totale Σm·v avant est égale à celle après. Les vitesses ont un sens : choisissez un sens positif et affectez d’un signe moins les vitesses dans l’autre sens. Dans un choc élastique, l’énergie cinétique est aussi conservée ; dans un choc parfaitement inélastique, les corps restent solidaires.
Résoudre ensemble la conservation de la quantité de mouvement et celle de l’énergie donne ces deux résultats.
Réponse: J = 3,1 N·s
Conservation de la quantité de mouvement : si aucune force extérieure n’agit pendant un choc, la quantité de mouvement totale Σm·v avant est égale à celle après. Les vitesses ont un sens : choisissez un sens positif et affectez d’un signe moins les vitesses dans l’autre sens. Dans un choc élastique, l’énergie cinétique est aussi conservée ; dans un choc parfaitement inélastique, les corps restent solidaires.
Réponse: R = 2,453 N
Rotation about a fixed axis: the sum of the moments about the axis equals I·α (ΣM = I·α), just as ΣF = m·a for translation. In energy form, a torque T turning through an angle θ (in radians) does work T·θ, which changes the kinetic energy ½·I·ω²; gravity adds or removes m·g·Δh of the centre of mass. Power is P = T·ω.
Au moment du lâcher, ω = 0, il n’y a donc pas d’accélération centripète et le centre accélère verticalement vers le bas.
R = m·g/4, indépendant de la longueur.
Réponse: Ek = 820,1 J
Rolling and angular momentum: a body rolling without slipping has v = ω·r, so its kinetic energy is ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²)). Down a slope that gives a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²)). When no external moment acts about an axis, the angular momentum about that axis stays constant, I₁·ω₁ = I₂·ω₂, even if kinetic energy is lost.
Réponse: n2 = 891,4 rpm
Transmissions par courroie : sans glissement, les deux poulies ont la même vitesse périphérique v = π·d·n/60, donc n₁·d₁ = n₂·d₂ et le rapport de vitesses vaut d₂/d₁. Le glissement s ralentit un peu la poulie menée : n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). La puissance transmise est P = (T₁ − T₂)·v, avec T₁ la tension du brin tendu et T₂ celle du brin mou. Le frottement limite le rapport des tensions : T₁/T₂ = eμθ, où θ est l’angle d’enroulement en radians sur la plus petite poulie ; pour une courroie ouverte, θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) avec l’entraxe C.
Réponse: nout = 259,2 rpm
Trains d’engrenages : des roues en prise ont la même vitesse au niveau des dents, donc n₁·N₁ = n₂·N₂ : la roue qui a le moins de dents tourne le plus vite. Des roues montées sur un même arbre tournent à la même vitesse. La puissance est transmise (aux pertes près), donc le couple augmente quand la vitesse diminue : T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, et P = T·ω avec ω = 2π·n/60.
rapport total = 5,556 : 1
Réponse: v = 0,2195 m/s
Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².
Réponse: K = 5,264 J
Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².
Réponse: fd = 5,694 Hz
Vibrations libres d’un système masse–ressort : la pulsation propre non amortie vaut ωn = √(k/m) en rad/s, et fn = ωn/(2π) en Hz. Un amortisseur visqueux c donne le taux d’amortissement ζ = c/cc, avec l’amortissement critique cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Un système sous-amorti (ζ < 1) oscille à ωd = ωn·√(1 − ζ²). Des ressorts en parallèle s’additionnent, k = k₁ + k₂ ; des ressorts en série s’additionnent par leurs inverses, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Réponse: fn = 2,318 Hz
Vibrations libres d’un système masse–ressort : la pulsation propre non amortie vaut ωn = √(k/m) en rad/s, et fn = ωn/(2π) en Hz. Un amortisseur visqueux c donne le taux d’amortissement ζ = c/cc, avec l’amortissement critique cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Un système sous-amorti (ζ < 1) oscille à ωd = ωn·√(1 − ζ²). Des ressorts en parallèle s’additionnent, k = k₁ + k₂ ; des ressorts en série s’additionnent par leurs inverses, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Seuls k1 et k2 sont en parallèle. Cette paire est en série avec k3 ; combinez-les donc par leurs inverses.
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