Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 20 exercices, avec les corrigés complets à la fin.
Une conductrice roulant à 45 km/h voit un obstacle. Son temps de réaction est de 1,2 s, après quoi la voiture freine avec une décélération constante de 7 m/s². Trouvez la distance d’arrêt totale d à partir du moment où elle voit l’obstacle.
Une balle est lancée verticalement vers le haut à 15 m/s depuis le bord d’un toit situé à 15 m au-dessus du sol. Négligez la résistance de l’air et prenez g = 9,81 m/s². Combien de temps après le lancer touche-t-elle le sol ? Trouvez t.
Un bloc de 9 kg descend en glissant une pente inclinée de 20° par rapport à l’horizontale. Le coefficient de frottement dynamique vaut 0,2. Prenez g = 9,81 m/s². Trouvez l’accélération a du bloc le long de la pente.
Un bloc de 6,5 kg sur une rampe inclinée de 20° est relié par un fil léger passant sur une poulie sans frottement en haut de la rampe à une masse suspendue de 5,5 kg. La masse suspendue descend. Le coefficient de frottement cinétique entre le bloc et la rampe vaut 0,25. Prenez g = 9,81 m/s². Trouvez la tension T du fil.
Une balle est lancée à 35° au-dessus de l’horizontale depuis un sol plat. Négligez la résistance de l’air. Trouvez la durée du vol t jusqu’à ce que la balle touche le sol.
Une balle est lancée à 14 m/s et 40° au-dessus de l’horizontale depuis le haut d’une falaise de 10 m. Négligez la résistance de l’air et prenez g = 9,81 m/s². Sous quel angle α sous l’horizontale touche-t-elle le sol ?
Une voiture prend un virage plat de 140 m de rayon. Le coefficient de frottement statique entre les pneus et la route vaut 0,8. Prenez g = 9,81 m/s². Trouvez la vitesse maximale vmax à laquelle la voiture peut prendre le virage sans déraper.
Un virage de rayon 210 m est relevé de 15°, et le coefficient de frottement statique entre les pneus et la route vaut 0,15. Prenez g = 9,81 m/s². Trouvez la vitesse maximale vmax à laquelle une voiture peut prendre le virage sans glisser vers le haut et l’extérieur.
Un bloc glisse sans vitesse initiale sur une pente inclinée de 30° par rapport à l’horizontale. Le coefficient de frottement dynamique vaut 0,1. Trouvez sa vitesse v après avoir glissé de 12 m le long de la pente.
Un bloc de 10 kg part du repos au bas d’une pente de 20° et est tiré vers le haut de la pente par une force constante de 90 N parallèle à la pente. Le coefficient de frottement cinétique vaut 0,1. Trouvez la vitesse v du bloc après qu’il a parcouru 10 m vers le haut de la pente.
Une balle de 5 g est tirée horizontalement dans un bloc de bois de 3,5 kg suspendu à des fils légers, et y reste logée. Le bloc remonte en se balançant jusqu’à 5 cm au-dessus de sa position de départ. Prenez g = 9,81 m/s². Trouvez la vitesse v de la balle avant l’impact.
Une balle de 20 g est tirée horizontalement dans un bloc de 4 kg suspendu à des fils légers de 1,5 m, et y reste logée. Les fils s’écartent jusqu’à un angle maximal de 40° par rapport à la verticale. Prenez g = 9,81 m/s². Trouvez la vitesse v de la balle avant l’impact.
Un moteur fournit un couple de 1500 N·m à 300 rpm. Trouvez sa puissance de sortie P en kW.
Un corps (sphère pleine) roule sans glisser sur une pente inclinée de 15° par rapport à l’horizontale. Utilisez g = 9,81 m/s². Trouvez le plus petit coefficient de frottement statique μs qui l’empêche de glisser.
Une poulie de 160 mm tournant à 1500 tr/min entraîne une poulie de 500 mm par une courroie avec 2 % de glissement. Trouvez la vitesse n2 de la poulie menée.
Dans un train d’engrenages composé, la roue A (25 dents), sur l’arbre d’entrée qui tourne à 2900 rpm, entraîne la roue B (60 dents). La roue C (16 dents) est solidaire du même arbre que B et entraîne la roue D (48 dents) sur l’arbre de sortie. Trouvez la vitesse de sortie nout.
Un pendule simple a une longueur de 2,3 m. Prenez g = 9,81 m/s². Trouvez sa période T pour de petites oscillations.
Une masse de 3,4 kg fixée à un ressort de raideur k = 390 N/m est écartée de 12 cm de sa position d’équilibre puis lâchée. Trouvez sa vitesse maximale vmax.
Lors d’un essai de vibrations libres d’un système masse–ressort amorti, un pic de déplacement de 25 mm est suivi, 2 cycles plus tard, d’un pic de 11,7 mm. Trouvez le taux d’amortissement ζ.
Une masse de 20 kg est suspendue à deux ressorts côte à côte (en parallèle), de raideurs k₁ = 15 kN/m et k₂ = 10 kN/m. La masse reste horizontale. Négligez l’amortissement et les masses des ressorts. Trouvez la fréquence propre fn des vibrations verticales, en Hz.
Réponse: d = 26,16 m
Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.
Réponse: t = 3,852 s
Mouvement à accélération constante : v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² et v² = v₀² + 2·a·s. Choisissez l’équation qui contient les trois grandeurs connues et celle que vous cherchez, et gardez des signes cohérents avec un seul sens positif.
Le haut est positif et le sol se trouve h₀ sous le point de départ.
Seule la racine positive a un sens physique.
Réponse: a = 1,512 m/s²
Deuxième loi de Newton : la force résultante sur un corps est égale à sa masse multipliée par son accélération, ΣF = m·a. Tracez un schéma du corps libre, choisissez un sens positif selon le mouvement et additionnez toutes les forces dans cette direction : forces appliquées, frottement μ·N opposé au mouvement et composantes du poids.
Le sens de la descente est positif.
Réponse: T = 46,09 N
Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.
Réponse: t = 2,573 s
Mouvement d’un projectile : sans résistance de l’air, x = vxt et y = h + vyt − ½gt². Les deux directions sont indépendantes, sauf qu’elles partagent le même temps.
La vitesse horizontale reste constante ; le mouvement vertical a une accélération constante g = 9,81 m/s² vers le bas.
Départ et arrivée à la même hauteur : t = 2vy/g.
Réponse: α = 57,21 °
Projectile motion: with no air resistance, x = vxt and y = h + vyt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.
Énergie ou v² = v₀² + 2as dans la direction verticale.
Réponse: vmax = 33,15 m/s
Mouvement circulaire uniforme : un objet qui se déplace à la vitesse v sur un cercle de rayon r a une accélération dirigée vers le centre a = v²/r ; il lui faut donc une force résultante dirigée vers le centre F = m·v²/r. Cette force est fournie par quelque chose de réel : frottement, tension, pesanteur ou réaction normale.
Réponse: vmax = 29,95 m/s
Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.
Le frottement est dirigé vers le bas de la pente.
Réponse: v = 9,866 m/s
Théorème de l’énergie cinétique : la variation d’énergie cinétique égale le travail de toutes les forces. En écrivant la pesanteur et les ressorts sous forme d’énergie potentielle (mgh et ½kx²), on obtient un bilan : énergie initiale = énergie finale + énergie perdue par frottement (μN·d).
Le bloc descend de d·sin θ pendant que le frottement retire μmg·cos θ·d. La masse se simplifie.
Réponse: v = 9,719 m/s
Théorème de l’énergie cinétique : la variation d’énergie cinétique égale le travail de toutes les forces. En écrivant la pesanteur et les ressorts sous forme d’énergie potentielle (mgh et ½kx²), on obtient un bilan : énergie initiale = énergie finale + énergie perdue par frottement (μN·d).
Réponse: v = 694,3 m/s
Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.
Réponse: v = 527,4 m/s
Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.
Réponse: P = 47,12 kW
Rotation about a fixed axis: the sum of the moments about the axis equals I·α (ΣM = I·α), just as ΣF = m·a for translation. In energy form, a torque T turning through an angle θ (in radians) does work T·θ, which changes the kinetic energy ½·I·ω²; gravity adds or removes m·g·Δh of the centre of mass. Power is P = T·ω.
Réponse: μs = 0,07656
Rolling and angular momentum: a body rolling without slipping has v = ω·r, so its kinetic energy is ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²)). Down a slope that gives a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²)). When no external moment acts about an axis, the angular momentum about that axis stays constant, I₁·ω₁ = I₂·ω₂, even if kinetic energy is lost.
Réponse: n2 = 470,4 rpm
Transmissions par courroie : sans glissement, les deux poulies ont la même vitesse périphérique v = π·d·n/60, donc n₁·d₁ = n₂·d₂ et le rapport de vitesses vaut d₂/d₁. Le glissement s ralentit un peu la poulie menée : n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). La puissance transmise est P = (T₁ − T₂)·v, avec T₁ la tension du brin tendu et T₂ celle du brin mou. Le frottement limite le rapport des tensions : T₁/T₂ = eμθ, où θ est l’angle d’enroulement en radians sur la plus petite poulie ; pour une courroie ouverte, θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) avec l’entraxe C.
Réponse: nout = 402,8 rpm
Trains d’engrenages : des roues en prise ont la même vitesse au niveau des dents, donc n₁·N₁ = n₂·N₂ : la roue qui a le moins de dents tourne le plus vite. Des roues montées sur un même arbre tournent à la même vitesse. La puissance est transmise (aux pertes près), donc le couple augmente quand la vitesse diminue : T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, et P = T·ω avec ω = 2π·n/60.
rapport total = 7,2 : 1
Réponse: T = 3,042 s
Mouvement harmonique simple : une masse m sur un ressort de raideur k oscille avec la pulsation ω = √(k/m) et la période T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Un pendule simple de longueur L a pour période T = 2π·√(L/g). Avec une amplitude A, la vitesse maximale vaut A·ω, l’accélération maximale A·ω² et l’énergie ½·k·A².
Réponse: vmax = 1,285 m/s
Mouvement harmonique simple : une masse m sur un ressort de raideur k oscille avec la pulsation ω = √(k/m) et la période T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Un pendule simple de longueur L a pour période T = 2π·√(L/g). Avec une amplitude A, la vitesse maximale vaut A·ω, l’accélération maximale A·ω² et l’énergie ½·k·A².
Réponse: ζ = 0,06031
Vibrations libres d’un système masse–ressort : la pulsation propre non amortie vaut ωn = √(k/m) en rad/s, et fn = ωn/(2π) en Hz. Un amortisseur visqueux c donne le taux d’amortissement ζ = c/cc, avec l’amortissement critique cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Un système sous-amorti (ζ < 1) oscille à ωd = ωn·√(1 − ζ²). Des ressorts en parallèle s’additionnent, k = k₁ + k₂ ; des ressorts en série s’additionnent par leurs inverses, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Réponse: fn = 5,627 Hz
Vibrations libres d’un système masse–ressort : la pulsation propre non amortie vaut ωn = √(k/m) en rad/s, et fn = ωn/(2π) en Hz. Un amortisseur visqueux c donne le taux d’amortissement ζ = c/cc, avec l’amortissement critique cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Un système sous-amorti (ζ < 1) oscille à ωd = ωn·√(1 − ζ²). Des ressorts en parallèle s’additionnent, k = k₁ + k₂ ; des ressorts en série s’additionnent par leurs inverses, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Des ressorts côte à côte ont le même allongement et leurs forces s’additionnent ; leurs raideurs s’additionnent donc simplement : k = k1 + k2.
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