Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 20 exercices, avec les corrigés complets à la fin.
Un avion a besoin d’une vitesse de 240 km/h pour décoller et la piste utilisable mesure 1800 m. En partant du repos, quelle accélération constante a lui faut-il ?
Une fusée miniature est lancée verticalement vers le haut sans vitesse initiale. Son moteur lui donne une accélération constante vers le haut de 36 m/s² pendant 1,5 s, après quoi le moteur s’arrête et la fusée se déplace librement. Négligez la résistance de l’air et prenez g = 9,81 m/s². Trouvez la hauteur maximale hmax atteinte par la fusée.
Une caisse glisse sur un sol horizontal avec une vitesse initiale de 6 m/s et s’arrête après 7,3 m. Prenez g = 9,81 m/s². Trouvez le coefficient de frottement cinétique μ.
Un bloc de 1,5 kg sur une rampe inclinée de 35° est relié par un fil léger passant sur une poulie sans frottement en haut de la rampe à une masse suspendue de 10 kg. La masse suspendue descend. Le coefficient de frottement cinétique entre le bloc et la rampe vaut 0,25. Prenez g = 9,81 m/s². Trouvez la tension T du fil.
Un ballon est frappé depuis un sol horizontal à 20 m/s et 40° au-dessus de l’horizontale en direction d’un mur situé à 32 m. Négligez la résistance de l’air et prenez g = 9,81 m/s². À quelle hauteur y le ballon passe-t-il au niveau du mur ?
Une balle est lancée à 31 m/s et 55° au-dessus de l’horizontale depuis le haut d’une falaise de 35 m. Négligez la résistance de l’air et prenez g = 9,81 m/s². Sous quel angle α sous l’horizontale touche-t-elle le sol ?
Dans un rotor de fête foraine, les passagers se tiennent contre la paroi d’un cylindre vertical de rayon 2,9 m. Quand il tourne assez vite, le plancher s’abaisse et le frottement les retient. Le coefficient de frottement statique vaut 0,3. Prenez g = 9,81 m/s². Trouvez la vitesse angulaire minimale ω en rad/s.
Un virage de rayon 260 m est relevé de 20°, et le coefficient de frottement statique entre les pneus et la route vaut 0,25. Prenez g = 9,81 m/s². Trouvez la vitesse minimale vmin à laquelle une voiture peut prendre le virage sans glisser vers le bas du dévers.
Une voiture roulant à 60 km/h sur une route horizontale freine brusquement et dérape jusqu’à l’arrêt, roues bloquées. Le coefficient de frottement cinétique entre les pneus et la route vaut 0,6. Trouvez la distance de freinage d.
Un ressort de raideur 800 N/m placé au bas d’une pente de 25° est comprimé de 10 cm contre un bloc de 1 kg, puis relâché. Le coefficient de frottement cinétique entre le bloc et la pente vaut 0,2. Quelle distance d le bloc parcourt-il vers le haut de la pente depuis le point de lâcher avant de s’arrêter ? (Négligez la courte distance sur laquelle le ressort pousse, c’est-à-dire comptez le frottement et la pesanteur sur toute la distance d.)
Un projectile de 9 kg se déplaçant horizontalement à 39 m/s explose en deux fragments qui se déplacent sur la même droite. Le fragment de 3 kg continue vers l’avant à 72 m/s. Trouvez la vitesse v′2 du fragment de 6 kg (positive dans le sens initial).
À un carrefour, une voiture de 1500 kg roulant vers l’est à 23 m/s entre en collision avec une voiture de 1100 kg roulant vers le nord à 15 m/s. Les voitures restent accrochées. Trouvez la direction θ de l’épave juste après la collision, mesurée vers le nord à partir de l’est.
Un moteur amène un volant d’inertie de moment d’inertie 18 kg·m² du repos à 1600 rpm en 31 s. En négligeant les pertes, trouvez la puissance moyenne Pavg qu’il fournit, en kW.
Un corps (cerceau mince) de masse 20 kg roule sans glisser à 8,5 m/s. Trouvez son énergie cinétique totale Ek.
Un moteur de 3 kW à 1450 tr/min entraîne une vis sans fin à 1 filet(s). La roue a 72 dents et la transmission a un rendement de 75 %. Trouvez le couple de sortie Tw sur l’arbre de la roue.
Dans un train d’engrenages composé, la roue A (48 dents) sur l’arbre d’entrée tourne à 2880 tr/min et entraîne la roue B (50 dents). La roue C (12 dents) est solidaire du même arbre que B et entraîne la roue D sur l’arbre de sortie. La sortie doit tourner à 2074 tr/min. Combien de dents ND la roue D doit-elle avoir ?
Une masse de 0,4 kg accrochée à un ressort de raideur k = 170 N/m est écartée de 9 cm dans le sens positif et lâchée sans vitesse initiale à t = 0. Trouvez son élongation x par rapport à l’équilibre à t = 0,7 s (avec son signe).
Un corps effectue un mouvement harmonique simple de période 1,3 s et d’amplitude 18 cm. Quel est le temps minimal t nécessaire pour passer de la position d’équilibre à une élongation de 13,5 cm ?
Une masse de 15 kg sur un ressort de raideur 12 kN/m est munie d’un amortisseur visqueux qui donne un taux d’amortissement de 0,4. Trouvez la fréquence propre amortie fd de ses vibrations libres, en Hz.
Une masse de 50 kg est suspendue à deux ressorts côte à côte (en parallèle), de raideurs k₁ = 15 kN/m et k₂ = 60 kN/m. La masse reste horizontale. Trouvez la raideur équivalente keq du système de ressorts, en kN/m.
Réponse: a = 1,235 m/s²
Mouvement à accélération constante : v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² et v² = v₀² + 2·a·s. Choisissez l’équation qui contient les trois grandeurs connues et celle que vous cherchez, et gardez des signes cohérents avec un seul sens positif.
Réponse: hmax = 189,1 m
Mouvement à accélération constante : v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² et v² = v₀² + 2·a·s. Choisissez l’équation qui contient les trois grandeurs connues et celle que vous cherchez, et gardez des signes cohérents avec un seul sens positif.
Au sommet, la vitesse est nulle.
Réponse: μ = 0,2514
Deuxième loi de Newton : la force résultante sur un corps est égale à sa masse multipliée par son accélération, ΣF = m·a. Tracez un schéma du corps libre, choisissez un sens positif selon le mouvement et additionnez toutes les forces dans cette direction : forces appliquées, frottement μ·N opposé au mouvement et composantes du poids.
Réponse: T = 22,76 N
Deuxième loi de Newton : la force résultante sur un corps est égale à sa masse multipliée par son accélération, ΣF = m·a. Tracez un schéma du corps libre, choisissez un sens positif selon le mouvement et additionnez toutes les forces dans cette direction : forces appliquées, frottement μ·N opposé au mouvement et composantes du poids.
Réponse: y = 5,453 m
Mouvement d’un projectile : sans résistance de l’air, x = vxt et y = h + vyt − ½gt². Les deux directions sont indépendantes, sauf qu’elles partagent le même temps.
Le ballon est déjà en train de redescendre au niveau du mur.
Réponse: α = 64,02 °
Mouvement d’un projectile : sans résistance de l’air, x = vxt et y = h + vyt − ½gt². Les deux directions sont indépendantes, sauf qu’elles partagent le même temps.
Énergie ou v² = v₀² + 2as dans la direction verticale.
Réponse: ω = 3,358 rad/s
Mouvement circulaire uniforme : un objet qui se déplace à la vitesse v sur un cercle de rayon r a une accélération dirigée vers le centre a = v²/r ; il lui faut donc une force résultante dirigée vers le centre F = m·v²/r. Cette force est fournie par quelque chose de réel : frottement, tension, pesanteur ou réaction normale.
Réponse: vmin = 16,32 m/s
Mouvement circulaire uniforme : un objet qui se déplace à la vitesse v sur un cercle de rayon r a une accélération dirigée vers le centre a = v²/r ; il lui faut donc une force résultante dirigée vers le centre F = m·v²/r. Cette force est fournie par quelque chose de réel : frottement, tension, pesanteur ou réaction normale.
Le frottement est dirigé vers le haut de la pente.
Réponse: d = 23,6 m
Théorème de l’énergie cinétique : la variation d’énergie cinétique égale le travail de toutes les forces. En écrivant la pesanteur et les ressorts sous forme d’énergie potentielle (mgh et ½kx²), on obtient un bilan : énergie initiale = énergie finale + énergie perdue par frottement (μN·d).
Doubler la vitesse rend la distance de freinage quatre fois plus longue.
Réponse: d = 0,6752 m
Théorème de l’énergie cinétique : la variation d’énergie cinétique égale le travail de toutes les forces. En écrivant la pesanteur et les ressorts sous forme d’énergie potentielle (mgh et ½kx²), on obtient un bilan : énergie initiale = énergie finale + énergie perdue par frottement (μN·d).
Réponse: v′2 = 22,5 m/s
Conservation de la quantité de mouvement : si aucune force extérieure n’agit pendant un choc, la quantité de mouvement totale Σm·v avant est égale à celle après. Les vitesses ont un sens : choisissez un sens positif et affectez d’un signe moins les vitesses dans l’autre sens. Dans un choc élastique, l’énergie cinétique est aussi conservée ; dans un choc parfaitement inélastique, les corps restent solidaires.
Réponse: θ = 25,56 °
Conservation de la quantité de mouvement : si aucune force extérieure n’agit pendant un choc, la quantité de mouvement totale Σm·v avant est égale à celle après. Les vitesses ont un sens : choisissez un sens positif et affectez d’un signe moins les vitesses dans l’autre sens. Dans un choc élastique, l’énergie cinétique est aussi conservée ; dans un choc parfaitement inélastique, les corps restent solidaires.
Réponse: Pavg = 8,15 kW
Rotation autour d’un axe fixe : la somme des moments par rapport à l’axe est égale à I·α (ΣM = I·α), comme ΣF = m·a pour la translation. Sous forme énergétique, un couple T qui tourne d’un angle θ (en radians) fournit un travail T·θ, qui modifie l’énergie cinétique ½·I·ω² ; la pesanteur ajoute ou retire m·g·Δh pour le centre de masse. La puissance est P = T·ω.
Réponse: Ek = 1445 J
Roulement et moment cinétique : un corps qui roule sans glisser a v = ω·r, donc son énergie cinétique est ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²)). Sur une pente, cela donne a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²)). Quand aucun moment extérieur n’agit autour d’un axe, le moment cinétique autour de cet axe reste constant, I₁·ω₁ = I₂·ω₂, même si de l’énergie cinétique est perdue.
Réponse: Tw = 1067 N·m
Trains d’engrenages : des roues en prise ont la même vitesse au niveau des dents, donc n₁·N₁ = n₂·N₂ : la roue qui a le moins de dents tourne le plus vite. Des roues montées sur un même arbre tournent à la même vitesse. La puissance est transmise (aux pertes près), donc le couple augmente quand la vitesse diminue : T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, et P = T·ω avec ω = 2π·n/60.
Réponse: ND = 16
Trains d’engrenages : des roues en prise ont la même vitesse au niveau des dents, donc n₁·N₁ = n₂·N₂ : la roue qui a le moins de dents tourne le plus vite. Des roues montées sur un même arbre tournent à la même vitesse. La puissance est transmise (aux pertes près), donc le couple augmente quand la vitesse diminue : T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, et P = T·ω avec ω = 2π·n/60.
Réponse: x = −2,605 cm
Mouvement harmonique simple : une masse m sur un ressort de raideur k oscille avec la pulsation ω = √(k/m) et la période T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Un pendule simple de longueur L a pour période T = 2π·√(L/g). Avec une amplitude A, la vitesse maximale vaut A·ω, l’accélération maximale A·ω² et l’énergie ½·k·A².
Réponse: t = 0,1755 s
Mouvement harmonique simple : une masse m sur un ressort de raideur k oscille avec la pulsation ω = √(k/m) et la période T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Un pendule simple de longueur L a pour période T = 2π·√(L/g). Avec une amplitude A, la vitesse maximale vaut A·ω, l’accélération maximale A·ω² et l’énergie ½·k·A².
Réponse: fd = 4,126 Hz
Vibrations libres d’un système masse–ressort : la pulsation propre non amortie vaut ωn = √(k/m) en rad/s, et fn = ωn/(2π) en Hz. Un amortisseur visqueux c donne le taux d’amortissement ζ = c/cc, avec l’amortissement critique cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Un système sous-amorti (ζ < 1) oscille à ωd = ωn·√(1 − ζ²). Des ressorts en parallèle s’additionnent, k = k₁ + k₂ ; des ressorts en série s’additionnent par leurs inverses, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Réponse: keq = 75 kN/m
Vibrations libres d’un système masse–ressort : la pulsation propre non amortie vaut ωn = √(k/m) en rad/s, et fn = ωn/(2π) en Hz. Un amortisseur visqueux c donne le taux d’amortissement ζ = c/cc, avec l’amortissement critique cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Un système sous-amorti (ζ < 1) oscille à ωd = ωn·√(1 − ζ²). Des ressorts en parallèle s’additionnent, k = k₁ + k₂ ; des ressorts en série s’additionnent par leurs inverses, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Des ressorts côte à côte ont le même allongement et leurs forces s’additionnent ; leurs raideurs s’additionnent donc simplement : k = k1 + k2.
ExamProblems · examproblems.com/courses/dynamics