Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 20 exercices, avec les corrigés complets à la fin.
Une voiture roulant à 60 km/h freine avec une décélération constante de 6 m/s² jusqu’à l’arrêt. Trouvez la distance de freinage s.
Une balle est lancée verticalement vers le haut à 18 m/s depuis le bord d’un toit situé à 5 m au-dessus du sol. Négligez la résistance de l’air et prenez g = 9,81 m/s². Trouvez la hauteur maximale hmax au-dessus du sol.
Un bloc de 10 kg descend en glissant une pente sans frottement inclinée de 20° par rapport à l’horizontale. Prenez g = 9,81 m/s². Trouvez l’accélération a du bloc le long de la pente.
Deux blocs posés sur un sol horizontal sont reliés par un fil horizontal léger. Une force horizontale de 100 N tire le bloc avant de 5 kg ; le bloc de 6 kg est remorqué derrière. Le coefficient de frottement cinétique vaut 0,15 pour les deux blocs. Prenez g = 9,81 m/s². Trouvez la tension T dans le fil de liaison.
Une balle est lancée à 55° au-dessus de l’horizontale depuis un sol plat. Négligez la résistance de l’air. Trouvez la distance horizontale x parcourue avant que la balle touche le sol.
Une balle est lancée à 15° au-dessus de l’horizontale du haut d’une falaise de 40 m. Négligez la résistance de l’air. Trouvez la durée du vol t jusqu’à ce que la balle touche le sol.
Un ingénieur routier veut que les voitures prennent un virage de rayon 300 m à 70 km/h sans compter sur le frottement. Prenez g = 9,81 m/s². Trouvez l’angle de relèvement θ.
Une bille de 1,1 kg au bout d’un fil léger de 0,8 m tourne dans un cercle vertical. Au point le plus bas, sa vitesse vaut 10,5 m/s. Négligez la résistance de l’air et prenez g = 9,81 m/s². Trouvez la tension Ttop du fil au point le plus haut.
Une voiture roulant à 60 km/h sur une route horizontale freine brusquement et dérape jusqu’à l’arrêt, roues bloquées. Le coefficient de frottement cinétique entre les pneus et la route vaut 0,8. Trouvez la distance de freinage d.
Un bloc de 2 kg est lâché sans vitesse à une hauteur de 3,5 m sur une rampe lisse. En bas, il traverse une bande horizontale rugueuse de 4,5 m (μ = 0,2) puis heurte un ressort (k = 2500 N/m) sur une surface lisse. Trouvez la compression maximale x du ressort.
Un mobile de 1 kg se déplaçant à 9 m/s subit un choc frontal parfaitement élastique avec un mobile de 2,5 kg au repos sur un rail sans frottement. Trouvez la vitesse v′1 du premier mobile après le choc (positive dans son sens initial).
Une balle de 15 g est tirée horizontalement dans un bloc de 2 kg suspendu à des fils légers de 1,2 m, et y reste logée. Les fils s’écartent jusqu’à un angle maximal de 30° par rapport à la verticale. Prenez g = 9,81 m/s². Trouvez la vitesse v de la balle avant l’impact.
Un volant d’inertie de moment d’inertie 2 kg·m² tourne à 1300 rpm. Un frein applique un couple de frottement constant de 150 N·m. Combien de tours N le volant fait-il avant de s’arrêter ?
Un corps (cerceau mince) de masse 14 kg roule sans glisser à 8,5 m/s. Trouvez son énergie cinétique totale Ek.
Un moteur de 1,1 kW tournant à 1440 rpm entraîne un pignon de 24 dents, qui engrène avec une roue de 72 dents. Négligez les pertes. Trouvez le couple de sortie T2 sur l’arbre de la roue.
Un moteur de 11 kW à 1450 tr/min entraîne la roue A (18 dents), qui engrène avec la roue B (40 dents). La roue C (12 dents), sur le même arbre que B, entraîne la roue D (20 dents) sur l’arbre de sortie. Chaque engrènement a un rendement de 95 %. Trouvez le couple de sortie Tout.
Une masse de 2 kg accrochée à un ressort de raideur k = 190 N/m est écartée de 11 cm dans le sens positif et lâchée sans vitesse initiale à t = 0. Trouvez son élongation x par rapport à l’équilibre à t = 1 s (avec son signe).
Une masse accrochée à un ressort de raideur k = 30 N/m oscille sur une surface sans frottement avec une amplitude de 8 cm. Trouvez l’énergie U stockée dans le ressort quand la masse est à 4 cm de la position d’équilibre.
Lors d’un essai de vibrations libres d’un système masse–ressort amorti, un pic de déplacement de 30 mm est suivi, 5 cycles plus tard, d’un pic de 16 mm. Trouvez le taux d’amortissement ζ.
Une masse de 20 kg est suspendue au ressort k₃ = 30 kN/m. Le haut de k₃ est fixé à une barre rigide suspendue à deux ressorts côte à côte, k₁ = 10 kN/m et k₂ = 15 kN/m ; la barre reste horizontale. Négligez l’amortissement et les masses des ressorts et de la barre. Trouvez la fréquence propre fn des vibrations verticales, en Hz.
Réponse: s = 23,15 m
Mouvement à accélération constante : v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² et v² = v₀² + 2·a·s. Choisissez l’équation qui contient les trois grandeurs connues et celle que vous cherchez, et gardez des signes cohérents avec un seul sens positif.
Réponse: hmax = 21,51 m
Mouvement à accélération constante : v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² et v² = v₀² + 2·a·s. Choisissez l’équation qui contient les trois grandeurs connues et celle que vous cherchez, et gardez des signes cohérents avec un seul sens positif.
Réponse: a = 3,355 m/s²
Deuxième loi de Newton : la force résultante sur un corps est égale à sa masse multipliée par son accélération, ΣF = m·a. Tracez un schéma du corps libre, choisissez un sens positif selon le mouvement et additionnez toutes les forces dans cette direction : forces appliquées, frottement μ·N opposé au mouvement et composantes du poids.
Le sens de la descente est positif.
Réponse: T = 54,55 N
Deuxième loi de Newton : la force résultante sur un corps est égale à sa masse multipliée par son accélération, ΣF = m·a. Tracez un schéma du corps libre, choisissez un sens positif selon le mouvement et additionnez toutes les forces dans cette direction : forces appliquées, frottement μ·N opposé au mouvement et composantes du poids.
Avec le même μ pour les deux blocs, le frottement disparaît : T = F·m₁/(m₁ + m₂).
Réponse: x = 86,21 m
Mouvement d’un projectile : sans résistance de l’air, x = vxt et y = h + vyt − ½gt². Les deux directions sont indépendantes, sauf qu’elles partagent le même temps.
La vitesse horizontale reste constante ; le mouvement vertical a une accélération constante g = 9,81 m/s² vers le bas.
Départ et arrivée à la même hauteur : t = 2vy/g.
Réponse: t = 3,656 s
Mouvement d’un projectile : sans résistance de l’air, x = vxt et y = h + vyt − ½gt². Les deux directions sont indépendantes, sauf qu’elles partagent le même temps.
La vitesse horizontale reste constante ; le mouvement vertical a une accélération constante g = 9,81 m/s² vers le bas.
Résolvez y(t) = h + vy·t − ½gt² = 0 et prenez la racine positive.
Réponse: θ = 7,321 °
Mouvement circulaire uniforme : un objet qui se déplace à la vitesse v sur un cercle de rayon r a une accélération dirigée vers le centre a = v²/r ; il lui faut donc une force résultante dirigée vers le centre F = m·v²/r. Cette force est fournie par quelque chose de réel : frottement, tension, pesanteur ou réaction normale.
Réponse: Ttop = 97,64 N
Mouvement circulaire uniforme : un objet qui se déplace à la vitesse v sur un cercle de rayon r a une accélération dirigée vers le centre a = v²/r ; il lui faut donc une force résultante dirigée vers le centre F = m·v²/r. Cette force est fournie par quelque chose de réel : frottement, tension, pesanteur ou réaction normale.
L’énergie cinétique se transforme en énergie potentielle sur une hauteur de 2r.
La tension et la pesanteur sont toutes deux dirigées vers le bas, vers le centre.
Réponse: d = 17,7 m
Théorème de l’énergie cinétique : la variation d’énergie cinétique égale le travail de toutes les forces. En écrivant la pesanteur et les ressorts sous forme d’énergie potentielle (mgh et ½kx²), on obtient un bilan : énergie initiale = énergie finale + énergie perdue par frottement (μN·d).
Doubler la vitesse rend la distance de freinage quatre fois plus longue.
Réponse: x = 20,2 cm
Théorème de l’énergie cinétique : la variation d’énergie cinétique égale le travail de toutes les forces. En écrivant la pesanteur et les ressorts sous forme d’énergie potentielle (mgh et ½kx²), on obtient un bilan : énergie initiale = énergie finale + énergie perdue par frottement (μN·d).
La rampe est lisse, donc seule la bande retire de l’énergie.
Réponse: v′1 = −3,857 m/s
Conservation de la quantité de mouvement : si aucune force extérieure n’agit pendant un choc, la quantité de mouvement totale Σm·v avant est égale à celle après. Les vitesses ont un sens : choisissez un sens positif et affectez d’un signe moins les vitesses dans l’autre sens. Dans un choc élastique, l’énergie cinétique est aussi conservée ; dans un choc parfaitement inélastique, les corps restent solidaires.
Résoudre ensemble la conservation de la quantité de mouvement et celle de l’énergie donne ces deux résultats.
Le signe moins signifie que le premier mobile rebondit en arrière.
Réponse: v = 238,6 m/s
Conservation de la quantité de mouvement : si aucune force extérieure n’agit pendant un choc, la quantité de mouvement totale Σm·v avant est égale à celle après. Les vitesses ont un sens : choisissez un sens positif et affectez d’un signe moins les vitesses dans l’autre sens. Dans un choc élastique, l’énergie cinétique est aussi conservée ; dans un choc parfaitement inélastique, les corps restent solidaires.
Réponse: N = 19,66 rev
Rotation autour d’un axe fixe : la somme des moments par rapport à l’axe est égale à I·α (ΣM = I·α), comme ΣF = m·a pour la translation. Sous forme énergétique, un couple T qui tourne d’un angle θ (en radians) fournit un travail T·θ, qui modifie l’énergie cinétique ½·I·ω² ; la pesanteur ajoute ou retire m·g·Δh pour le centre de masse. La puissance est P = T·ω.
Réponse: Ek = 1012 J
Roulement et moment cinétique : un corps qui roule sans glisser a v = ω·r, donc son énergie cinétique est ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²)). Sur une pente, cela donne a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²)). Quand aucun moment extérieur n’agit autour d’un axe, le moment cinétique autour de cet axe reste constant, I₁·ω₁ = I₂·ω₂, même si de l’énergie cinétique est perdue.
Réponse: T2 = 21,88 N·m
Trains d’engrenages : des roues en prise ont la même vitesse au niveau des dents, donc n₁·N₁ = n₂·N₂ : la roue qui a le moins de dents tourne le plus vite. Des roues montées sur un même arbre tournent à la même vitesse. La puissance est transmise (aux pertes près), donc le couple augmente quand la vitesse diminue : T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, et P = T·ω avec ω = 2π·n/60.
Réponse: Tout = 242,1 N·m
Trains d’engrenages : des roues en prise ont la même vitesse au niveau des dents, donc n₁·N₁ = n₂·N₂ : la roue qui a le moins de dents tourne le plus vite. Des roues montées sur un même arbre tournent à la même vitesse. La puissance est transmise (aux pertes près), donc le couple augmente quand la vitesse diminue : T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, et P = T·ω avec ω = 2π·n/60.
Réponse: x = −10,43 cm
Mouvement harmonique simple : une masse m sur un ressort de raideur k oscille avec la pulsation ω = √(k/m) et la période T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Un pendule simple de longueur L a pour période T = 2π·√(L/g). Avec une amplitude A, la vitesse maximale vaut A·ω, l’accélération maximale A·ω² et l’énergie ½·k·A².
Réponse: U = 0,024 J
Mouvement harmonique simple : une masse m sur un ressort de raideur k oscille avec la pulsation ω = √(k/m) et la période T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Un pendule simple de longueur L a pour période T = 2π·√(L/g). Avec une amplitude A, la vitesse maximale vaut A·ω, l’accélération maximale A·ω² et l’énergie ½·k·A².
Réponse: ζ = 0,02001
Vibrations libres d’un système masse–ressort : la pulsation propre non amortie vaut ωn = √(k/m) en rad/s, et fn = ωn/(2π) en Hz. Un amortisseur visqueux c donne le taux d’amortissement ζ = c/cc, avec l’amortissement critique cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Un système sous-amorti (ζ < 1) oscille à ωd = ωn·√(1 − ζ²). Des ressorts en parallèle s’additionnent, k = k₁ + k₂ ; des ressorts en série s’additionnent par leurs inverses, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Réponse: fn = 4,156 Hz
Vibrations libres d’un système masse–ressort : la pulsation propre non amortie vaut ωn = √(k/m) en rad/s, et fn = ωn/(2π) en Hz. Un amortisseur visqueux c donne le taux d’amortissement ζ = c/cc, avec l’amortissement critique cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Un système sous-amorti (ζ < 1) oscille à ωd = ωn·√(1 − ζ²). Des ressorts en parallèle s’additionnent, k = k₁ + k₂ ; des ressorts en série s’additionnent par leurs inverses, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Seuls k1 et k2 sont en parallèle. Cette paire est en série avec k3 ; combinez-les donc par leurs inverses.
ExamProblems · examproblems.com/courses/dynamics