La source de courant est réglée jusqu’à ce que le potentiel du nœud A vaille VA = 13 V. Utilisez la méthode des nœuds pour trouver le courant de la source Is (sens indiqué).
La bobine n’est parcourue par aucun courant avant la fermeture de l’interrupteur à t = 0. Trouvez le courant i à t = 5 ms.
Vs = 9 VR = 47 ΩL = 100 mHt = 5 ms
i = A
8.Transitoires RC et RLDifficile
Juste avant la fermeture de l’interrupteur à t = 0, le condensateur est chargé à 4 V avec la polarité indiquée. Combien de temps faut-il à vC pour atteindre 4,7 V ? Trouvez t.
Vs = 5 VR = 1 kΩC = 47 µFvC(0) = 4 V
t = ms
9.Impédance et phaseurs en alternatifMoyen
Un circuit RLC série est alimenté sous 50 V (efficaces), 200 Hz. Trouvez le facteur de puissance cos φ du circuit.
V = 50 V (rms)f = 200 HzR = 20 ΩL = 50 mHC = 22 µF
cos φ =
10.Impédance et phaseurs en alternatifDifficile
Un circuit RLC série a R = 5 Ω, L = 10 mH et C = 1 µF. Trouvez son facteur de qualité Q à la résonance.
R = 5 ΩL = 10 mHC = 1 µF
Q =
11.Puissance alternative et facteur de puissanceMoyen
Une charge inductive absorbe 15 A et 1350 W sur une alimentation monophasée de 120 V (efficace). Modélisez-la par une résistance R en série avec une réactance X. Trouvez X.
V = 120 VI = 15 AP = 1350 W
X = Ω
12.Puissance alternative et facteur de puissanceDifficile
Un transformateur monophasé de 200 kVA alimente une charge de 58 kW avec un facteur de puissance de 0,6 inductif. Quelle puissance active supplémentaire ΔP peut-on ajouter sous forme de charge résistive (facteur de puissance unitaire) avant que le transformateur atteigne sa puissance nominale en kVA ?
Smax = 200 kVAP1 = 58 kWpf1 = 0,6
ΔP = kW
13.Puissance triphaséeMoyen
Un moteur asynchrone triphasé fournit 90 kW de puissance mécanique utile à pleine charge. À cette charge, son rendement est de 94 % et son facteur de puissance vaut 0,86 (inductif). Le réseau a une tension composée de 400 V. Trouvez le courant de ligne IL.
Pout = 90 kWη = 94%cos φ = 0,86VL = 400 V
IL = A
14.Puissance triphaséeDifficile
Une charge triphasée équilibrée absorbe 120 kW avec un facteur de puissance de 0,72 (inductif) sur un réseau de 400 V (tension composée), 50 Hz. Une batterie de condensateurs triphasée branchée en parallèle avec la charge doit relever le facteur de puissance global à 0,98 (inductif). La puissance active reste la même. Les condensateurs sont couplés en triangle (Δ). Trouvez la capacité Cph de chaque condensateur, en µF.
P = 120 kWpf1 = 0,72pf2 = 0,98VL = 400 Vf = 50 Hz
Cph = µF
15.TransformateursMoyen
Un amplificateur de résistance de sortie 500 Ω alimente un haut-parleur de 5 Ω à travers un transformateur parfait. Pour un transfert de puissance maximal, le haut-parleur doit être vu comme 500 Ω depuis l’amplificateur. Trouvez le rapport de transformation a = N₁/N₂.
Rs = 500 ΩRL = 5 Ω
a =
16.TransformateursDifficile
Un transformateur monophasé de 75 kVA a des pertes fer de 375 W. À charge nominale et avec un facteur de puissance de 0,8 (inductif), son rendement est de 97,5 %. Trouvez les pertes cuivre à pleine charge Pcu,fl en watts.
S = 75 kVAPcore = 375 Wpf = 0,8η = 97,5%
Pcu,fl = W
3Solutions
1.Résistances en série et en parallèle
Réponse: Req = 17,5 Ω
Résistances en série et en parallèle : en série, le même courant traverse chaque résistance et R = R₁ + R₂ + …. En parallèle, chaque résistance a la même tension et 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Un réseau en échelle se réduit paire par paire jusqu’à une seule résistance équivalente.
Regrouper les résistances depuis l’extrémité
Commencez par l’extrémité la plus éloignée de la source et remontez vers elle. Des résistances parcourues par le même courant sont en série ; des résistances entre les deux mêmes nœuds sont en parallèle.
R3 + R4 = 8 + 4 = 12 Ω
R2 ∥ 12 = 20·12/(20+12) = 7,5 Ω
Req = R1 + 7,5 = 10 + 7,5 = 17,5 Ω
Réponse
Req = 17,5 Ω
2.Résistances en série et en parallèle
Réponse: IR1 = 2,752 A
Résistances en série et en parallèle : en série, le même courant traverse chaque résistance et R = R₁ + R₂ + …. En parallèle, chaque résistance a la même tension et 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Un réseau en échelle se réduit paire par paire jusqu’à une seule résistance équivalente.
Regrouper les résistances depuis l’extrémité
Commencez par l’extrémité la plus éloignée de la source et remontez vers elle. Des résistances parcourues par le même courant sont en série ; des résistances entre les deux mêmes nœuds sont en parallèle.
R5 + R6 = 3 + 5 = 8 Ω
R4 ∥ 8 = 6,061 Ω
R3 + 6,061 = 11,06 Ω
R2 ∥ 11,06 = 8,081 Ω
Req = R1 + 8,081 = 5 + 8,081 = 13,08 Ω
Courant fourni par la source
La source ne voit que Req, donc la loi d’Ohm donne le courant qu’elle fournit. Ce courant traverse R₁.
IR1 = V1/Req = 36/13,08 = 2,752 A
Réponse
IR1 = 2,752 A
3.Méthode des nœuds
Réponse: VB = 15,64 V
Méthode des nœuds : choisissez un nœud de référence, nommez les potentiels inconnus, écrivez la loi des nœuds de Kirchhoff à chaque nœud inconnu avec la loi d’Ohm (I = ΔV/R), puis résolvez le système obtenu.
Poser les nœuds
La masse est le fil du bas. Les potentiels connus viennent directement des sources (V1 = 24 V). Inconnues : VA, VB.
Loi des nœuds au nœud A
Les courants qui quittent A par les résistances égalent le courant injecté dans A par les sources.
VA/R2 + (VA − V1)/R1 + (VA − VB)/R3 = 0
VA/8 + (VA − 24)/3 + (VA − VB)/12 = 0
0,5417·VA − 0,08333·VB = 8
Loi des nœuds au nœud B
Les courants qui quittent B par les résistances égalent le courant injecté dans B par les sources.
Méthode des nœuds : choisissez un nœud de référence, nommez les potentiels inconnus, écrivez la loi des nœuds de Kirchhoff à chaque nœud inconnu avec la loi d’Ohm (I = ΔV/R), puis résolvez le système obtenu.
Loi des nœuds en A
VA est connu, donc cette équation donne VB.
(VA − V1)/R1 + VA/R2 + (VA − VB)/R3 = 0
(13 − 10)/30 + 13/3 = (VB − 13)/3
4,433 = (VB − 13)/3 → VB = 26,3 V
Loi des nœuds en B
Les courants sortant de B par les résistances sont égaux au courant injecté dans B par les sources.
Is = (VB − VA)/R3 + VB/R4 = (26,3 − 13)/3 + 26,3/25 = 5,485 A
Réponse
Is = 5,485 A
5.Thévenin et Norton
Réponse: IL = 0,3529 A
Théorème de Thévenin : tout réseau linéaire à deux bornes se comporte comme une seule source de tension Vth en série avec une résistance Rth. Le théorème de Norton donne le même réseau sous forme d’une source de courant IN = Vth/Rth en parallèle avec Rth.
Trouver Rth avec toutes les sources éteintes
Remplacez les sources de tension par des courts-circuits et les sources de courant par des circuits ouverts, puis regardez le circuit depuis a–b.
R1 ∥ R2 = 6·6/(6+6) = 3 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 3 + 6 = 9 Ω
Trouver Vth, la tension à vide
Avec a–b ouverts, aucun courant ne traverse R₃, donc aucune chute de tension et V_b = V_A. R₁ et R₂ forment un pont diviseur.
Vth = V1·R2/(R1+R2) = 12·6/(6+6) = 6 V
Brancher la charge sur l’équivalent de Thévenin
La source de Thévenin et R_th en série se comportent exactement comme le circuit d’origine en a–b, donc la charge voit une simple boucle série.
IL = Vth/(Rth + RL) = 6/(9 + 8) = 0,3529 A
6.Thévenin et Norton
Réponse: IL = 1,877 A
Théorème de Thévenin : tout réseau linéaire à deux bornes se comporte comme une seule source de tension Vth en série avec une résistance Rth. Le théorème de Norton donne le même réseau sous forme d’une source de courant IN = Vth/Rth en parallèle avec Rth.
Trouver Rth avec toutes les sources éteintes
Remplacez les sources de tension par des courts-circuits et les sources de courant par des circuits ouverts, puis regardez le circuit depuis a–b.
R1 ∥ R2 = 3·30/(3+30) = 2,727 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 2,727 + 5 = 7,727 Ω
Trouver Vth, la tension à vide
Avec a–b ouverts, le seul chemin pour Iₛ passe par R₃ vers le nœud A. Trouvez V_A par superposition de V₁ et Iₛ, puis ajoutez la chute de tension dans R₃.
VA = V1·R2/(R1+R2) + Is·(R1∥R2) = 32,73 + 2,5·2,727 = 39,55 V
Vth = VB = VA + Is·R3 = 39,55 + 2,5·5 = 52,05 V
Brancher la charge sur l’équivalent de Thévenin
La source de Thévenin et R_th en série se comportent exactement comme le circuit d’origine en a–b, donc la charge voit une simple boucle série.
IL = Vth/(Rth + RL) = 52,05/(7,727 + 20) = 1,877 A
7.Transitoires RC et RL
Réponse: i = 0,1732 A
Régimes transitoires du premier ordre : dans un circuit avec un condensateur ou une bobine, chaque tension et chaque courant passe exponentiellement de sa valeur initiale à sa valeur finale : x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, avec τ = RC ou τ = L/R. Après environ 5τ, le circuit est stabilisé.
Constante de temps et courant final
Longtemps après la fermeture, la bobine se comporte comme un court-circuit, donc le courant final est fixé par R seule.
Régimes transitoires du premier ordre : dans un circuit avec un condensateur ou une bobine, chaque tension et chaque courant passe exponentiellement de sa valeur initiale à sa valeur finale : x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, avec τ = RC ou τ = L/R. Après environ 5τ, le circuit est stabilisé.
Valeur initiale, valeur finale, constante de temps
La tension d’un condensateur ne peut pas sauter : elle part de sa valeur stockée et tend vers la tension de la source.
t = τ·ln((4 − 5)/(4,7 − 5)) = 47·ln(3,333) = 56,59 ms
Réponse
t = 56,59 ms
9.Impédance et phaseurs en alternatif
Réponse: cos φ = 0,6001
Circuits alternatifs et phaseurs : résistances, bobines et condensateurs ont pour impédances R, jωL et 1/(jωC), avec ω = 2πf. En série, les impédances s’additionnent comme des résistances, mais en nombres complexes. Courant et tension efficaces suivent la loi d’Ohm avec |Z|.
Réactances
XL = 62,83 Ω, XC = 36,17 Ω
Impédance
|Z| = √(20² + (26,66)²) = 33,33 Ω
Facteur de puissance
cos φ = R/|Z| = 20/33,33 = 0,6001
Le circuit est inductif, donc le facteur de puissance est inductif (courant en retard).
Réponse
cos φ = 0,6001
10.Impédance et phaseurs en alternatif
Réponse: Q = 20
Circuits alternatifs et phaseurs : résistances, bobines et condensateurs ont pour impédances R, jωL et 1/(jωC), avec ω = 2πf. En série, les impédances s’additionnent comme des résistances, mais en nombres complexes. Courant et tension efficaces suivent la loi d’Ohm avec |Z|.
Fréquence de résonance
f0 = 1/(2π·√(0,01·1·10⁻⁶)) = 1592 Hz
Facteur de qualité
Q compare la réactance à la résonance à la résistance : Q = ω₀L/R.
Q = (1/R)·√(L/C) = (1/5)·√(0,01/(1·10⁻⁶)) = 20
Réponse
Q = 20
11.Puissance alternative et facteur de puissance
Réponse: X = 5,292 Ω
Puissance en alternatif : la puissance apparente S = V·I (VA) se partage entre la puissance active P = S·cos φ (W), qui fournit un travail utile, et la puissance réactive Q = S·sin φ (var), qui fait des allers-retours entre source et charge. Le facteur de puissance est cos φ. Un condensateur en parallèle fournit la puissance réactive sur place, donc le courant de ligne baisse pour la même puissance active.
Résistance d’après la puissance active
R = P/I² = 1350/15² = 6 Ω
Réactance d’après l’impédance
|Z| = V/I = 120/15 = 8 Ω
X = √(|Z|² − R²) = √(8² − 6²) = 5,292 Ω
Réponse
X = 5,292 Ω
12.Puissance alternative et facteur de puissance
Réponse: ΔP = 126,4 kW
Puissance en alternatif : la puissance apparente S = V·I (VA) se partage entre la puissance active P = S·cos φ (W), qui fournit un travail utile, et la puissance réactive Q = S·sin φ (var), qui fait des allers-retours entre source et charge. Le facteur de puissance est cos φ. Un condensateur en parallèle fournit la puissance réactive sur place, donc le courant de ligne baisse pour la même puissance active.
Puissance réactive de la charge existante
Q1 = 58·tan(arccos 0,6) = 77,33 kvar
Plus grande puissance active totale
À pleine charge nominale, S = Smax, et Q n’est pas modifiée par la charge résistive.
P = √(Smax² − Q1²) = √(200² − 77,33²) = 184,4 kW
Puissance active supplémentaire
ΔP = 184,4 − 58 = 126,4 kW
Réponse
ΔP = 126,4 kW
13.Puissance triphasée
Réponse: IL = 160,7 A
Systèmes triphasés équilibrés : en couplage étoile (Y), la tension composée vaut √3 fois la tension simple, VL = √3·Vph, et le courant de ligne est égal au courant de phase. En couplage triangle (Δ), la tension composée est égale à la tension de phase et le courant de ligne vaut √3 fois le courant de phase, IL = √3·Iph. La puissance totale vaut trois fois la puissance d’une phase : P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ.
Puissance électrique absorbée
Pin = Pout/η = 90/0,94 = 95,74 kW
Courant de ligne
IL = Pin/(√3·VL·cos φ) = 95745/(√3·400·0,86) = 160,7 A
Réponse
IL = 160,7 A
14.Puissance triphasée
Réponse: Cph = 605,4 µF
Systèmes triphasés équilibrés : en couplage étoile (Y), la tension composée vaut √3 fois la tension simple, VL = √3·Vph, et le courant de ligne est égal au courant de phase. En couplage triangle (Δ), la tension composée est égale à la tension de phase et le courant de ligne vaut √3 fois le courant de phase, IL = √3·Iph. La puissance totale vaut trois fois la puissance d’une phase : P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ. Compensation du facteur de puissance : les condensateurs fournissent localement de la puissance réactive, QC = P·(tan φ1 − tan φ2). Chacun des trois condensateurs fournit QC/3 = V²·ω·C, où V est la tension aux bornes de ce condensateur : VL dans une batterie en triangle, VL/√3 dans une batterie en étoile.
Puissance réactive avant et après
La puissance active ne change pas ; chaque facteur de puissance fixe donc la puissance réactive : Q = P·tan φ.
Q1 = 120·tan(acos 0,72) = 120·0,9639 = 115,7 kvar
Q2 = 120·tan(acos 0,98) = 120·0,2031 = 24,37 kvar
Puissance réactive fournie par les condensateurs
QC = Q1 − Q2 = 91,3 kvar
Capacité par phase
Dans une batterie en triangle, chaque condensateur est branché entre deux phases.
Transformateur parfait : les tensions sont dans le rapport des nombres de spires et les courants dans le rapport inverse : V₁/V₂ = N₁/N₂ = a et I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a ; la puissance absorbée est donc égale à la puissance fournie, V₁·I₁ = V₂·I₂. Une impédance de charge Z au secondaire est vue comme a²·Z depuis le primaire.
Adapter la charge ramenée
a²·5 = 500
a = √(500/5) = √100 = 10
Réponse
a = 10
16.Transformateurs
Réponse: Pcu,fl = 1163 W
Pertes d’un transformateur : les pertes fer (hystérésis et courants de Foucault) dépendent de la tension et sont les mêmes quelle que soit la charge. Les pertes cuivre dans les enroulements varient comme le carré du courant : à une fraction x de la charge nominale, elles valent x²·Pcu,fl. Rendement η = Pout/(Pout + Pcore + Pcu), avec Pout = x·S·pf. Le rendement est maximal pour la charge à laquelle les pertes cuivre égalent les pertes fer.