Dessinez le tableau 2 × 2 et nommez a, b, c et d avant de calculer.
Lisez la sensibilité et la spécificité dans les colonnes, les valeurs prédictives dans les lignes.
Pour une autre prévalence, imaginez 10 000 personnes et remplissez le tableau avec Se, Sp et la prévalence.
Pour un rapport de vraisemblance, convertissez la probabilité en cote, multipliez, puis reconvertissez.
Pour un essai, trouvez d’abord EER et CER ; puis RR = EER/CER, RRA = CER − EER et NNT = 1/RRA arrondi au supérieur.
Statistique descriptive
Moyenne
x̄ = Σx/n
Écart-type d’échantillon
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Médiane
valeur du milieu des données triées
Score z
z = (x − μ)/σ
Loi normale
68% dans ±1σ, 95% dans ±2σ
Intervalles de confiance
σ connu
x̄ ± z·σ/√n
σ inconnu
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z critique
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Taille d’échantillon
n = (z·σ/E)², rounded up
Méthode
Choisissez entre z (σ de la population connu) et t (seulement l’écart type s de l’échantillon, avec n − 1 degrés de liberté).
Trouvez la valeur critique pour le niveau de confiance.
Marge d’erreur : E = valeur critique × écart type/√n.
Intervalle : x̄ ± E.
Tests d'hypothèse et intervalles de confiance
Test z pour une moyenne
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
Test t pour une moyenne
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Bilatéral à 5%
rejeter H0 si |z| > 1,96
Intervalle de confiance
x̄ ± z·σ/√n
Méthode
Énoncez H₀ et H₁ et déterminez si le test est unilatéral ou bilatéral.
Calculez la statistique de test : (x̄ − μ₀)/(σ/√n), ou avec s et t.
Comparez avec la valeur critique ou trouvez la valeur p.
Rejetez H₀ si la statistique dépasse la valeur critique (p inférieure à α), et énoncez la conclusion en mots.
2Exercices
1.Statistiques de la pratique fondée sur les preuvesMoyen
Exercice d’entraînement (valeurs fictives, pas une recommandation clinique). Dans un essai randomisé, 620 patients ont reçu un nouveau traitement et 400 ont reçu le traitement témoin. Le tableau indique combien, dans chaque groupe, ont présenté l’événement (un événement indésirable tel qu’un AVC). Trouvez le risque relatif RR de l’événement avec le traitement. Arrondissez à deux décimales.
traitement: 47/620témoin: 40/400
RR =
2.Statistiques de la pratique fondée sur les preuvesDifficile
Exercice d’entraînement (valeurs fictives, pas une recommandation clinique). Un test de dépistage a une sensibilité de 96 % et une spécificité de 97 %. Il est utilisé dans une population où la prévalence est de 20 %. Trouvez la valeur prédictive positive PPV sous forme de pourcentage. Arrondissez à une décimale.
Se = 96%Sp = 97%p = 20%
PPV = %
3.Statistique descriptiveMoyen
Trouve l'écart-type d'échantillon s des données : 47, 24, 17, 14, 12, 23.
n = 6
s =
4.Statistique descriptiveDifficile
Une grandeur suit une loi normale de moyenne 170 et d'écart-type 8. Quelle proportion P des valeurs est inférieure à 162 ?
μ = 170σ = 8x = 162
P =
5.Intervalles de confianceMoyen
Un échantillon de 13 éléments a une moyenne de 45 et un écart-type s = 11,5. La population est approximativement normale. Trouvez la borne supérieure de l’intervalle de confiance à 99 % pour la moyenne.
n = 13x̄ = 45s = 11,599%t(12) = 3,055
borne supérieure =
6.Intervalles de confianceDifficile
On teste deux engrais. Groupe de parcelles 1 : 7 parcelles, rendement moyen 37 kg, écart-type 3 kg. Groupe de parcelles 2 : 19 parcelles, moyenne 48 kg, écart-type 1 kg. Supposez les variances égales (t avec variance commune, df = n₁ + n₂ − 2). Trouvez la marge d’erreur E de l’intervalle de confiance à 99 % pour μ₁ − μ₂.
7.Tests d'hypothèse et intervalles de confianceMoyen
Deux lignes de production fabriquent la même pièce. Ligne 1 : un échantillon de 60 pièces a une longueur moyenne de 49,5 mm, et l’écart-type connu de la ligne vaut 11 mm. Ligne 2 : un échantillon de 50 pièces a une moyenne de 52 mm, écart-type connu 5 mm. Trouvez la statistique de test z pour H₀ : μ₁ = μ₂, en prenant la différence x̄₁ − x̄₂ (ligne 1 moins ligne 2).
8.Tests d'hypothèse et intervalles de confianceDifficile
Un test z unilatéral de H₀ : μ = 500 contre H₁ : μ < 500 est réalisé au seuil α = 0.05 avec un échantillon de 36 ; l’écart-type est connu et vaut 9. En réalité, la moyenne vaut 498.5. Trouvez la puissance 1 − β du test en pourcentage.
μ₀ = 500μ = 498,5σ = 9n = 36α = 0,05
1 − β = %
3Solutions
1.Statistiques de la pratique fondée sur les preuves
Réponse: RR = 0,76
Rapports de vraisemblance et mesures du risque : RV+ = sensibilité/(1 − spécificité), RV− = (1 − sensibilité)/spécificité. Dans un essai, EER et CER sont les taux d’événements avec et sans traitement : RR = EER/CER, RRA = CER − EER, RRR = RRA/CER et NNT = 1/RRA, arrondi au supérieur. Dans une étude cas-témoins, seul l’odds ratio OR = ad/(bc) est utilisable. Un taux d’incidence = nouveaux cas/personnes-temps.
Taux d’événements
EER = 47/620 = 0,07581
CER = 40/400 = 0,1
Risque relatif
RR = 0,07581/0,1 = 0,7581 ≈ 0,76
Réponse
RR = 0,76
2.Statistiques de la pratique fondée sur les preuves
Réponse: PPV = 88,9 %
Les valeurs prédictives dépendent de la prévalence : VPP = Se·p/(Se·p + (1 − Sp)(1 − p)) et VPN = Sp(1 − p)/(Sp(1 − p) + (1 − Se)p). Avec les rapports de vraisemblance : cote pré-test = p/(1 − p), cote post-test = cote pré-test × RV, probabilité = cote/(1 + cote). Pour une population de N, vrais positifs = N·p·Se et faux positifs = N·(1 − p)·(1 − Sp). NNT = 1/(CER × RRR), arrondi au supérieur.
Vrais et faux positifs (par personne)
Se·p = 0,96·0,2 = 0,192
(1 − Sp)·(1 − p) = 0,03·0,8 = 0,024
Valeur prédictive positive
PPV = 0,192/(0,192 + 0,024) = 0,8889 ≈ 88,9%
Réponse
PPV = 88,9%
Plus la prévalence est faible, plus la VPP du même test est basse.
3.Statistique descriptive
Réponse: s = 12,77
Statistique descriptive : la moyenne est la somme divisée par n ; la médiane est la valeur du milieu des données triées (la moyenne des deux valeurs du milieu si n est pair). L'écart-type d'échantillon est s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un score z = (x − μ)/σ indique à combien d'écarts-types une valeur se trouve de la moyenne.
Statistique descriptive : la moyenne est la somme divisée par n ; la médiane est la valeur du milieu des données triées (la moyenne des deux valeurs du milieu si n est pair). L'écart-type d'échantillon est s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un score z = (x − μ)/σ indique à combien d'écarts-types une valeur se trouve de la moyenne.
Centrer-réduire
z = −1
Table de la loi normale
Φ(−1) = 0,1587
P = 0,1587
Réponse
P = 0,1587
5.Intervalles de confiance
Réponse: borne supérieure = 54,74
Intervalle de confiance pour une moyenne : x̄ ± marge d’erreur. Si l’écart-type σ de la population est connu, la marge vaut z·σ/√n ; si l’on ne dispose que de l’écart-type de l’échantillon s, utilisez t à n − 1 degrés de liberté : t·s/√n. Valeurs critiques : z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Pour obtenir une marge E ou moins, il faut n ≥ (z·σ/E)², arrondi à l’entier supérieur.
Valeur critique
df = n − 1 = 12, t = 3,055
Marge d'erreur
E = 3,055·11,5/√13 = 9,744
Intervalle
45 ± 9,744 → [35,26, 54,74]
Réponse
borne supérieure = 54,74
6.Intervalles de confiance
Réponse: E = 2,142 kg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Écart-type commun
sp² = (6·3² + 18·1²)/24 = 3
sp = 1,732
Marge d'erreur
E = 2,797·1,732·√(1/7 + 1/19) = 2,142
Réponse
E = 2,142 kg
7.Tests d'hypothèse et intervalles de confiance
Réponse: z = −1,576
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Erreur type de la différence
SE = √(11²/60 + 5²/50) = √2,517 = 1,586
Statistique de test
z = (49,5 − 52)/1,586 = −1,576
Réponse
z = −1,576
|z| < 1,96, donc H₀ n’est pas rejetée au seuil de 5 % (bilatéral).
8.Tests d'hypothèse et intervalles de confiance
Réponse: 1 − β = 25,95 %
Puissance d’un test : la puissance 1 − β est la probabilité de rejeter H₀ quand elle est fausse. Trouvez le seuil x̄c à partir de μ₀ et z_α, puis calculez la probabilité de dépasser x̄c avec la vraie moyenne : z = (x̄c − μ)/(σ/√n).