Dessinez le tableau 2 × 2 et nommez a, b, c et d avant de calculer.
Lisez la sensibilité et la spécificité dans les colonnes, les valeurs prédictives dans les lignes.
Pour une autre prévalence, imaginez 10 000 personnes et remplissez le tableau avec Se, Sp et la prévalence.
Pour un rapport de vraisemblance, convertissez la probabilité en cote, multipliez, puis reconvertissez.
Pour un essai, trouvez d’abord EER et CER ; puis RR = EER/CER, RRA = CER − EER et NNT = 1/RRA arrondi au supérieur.
Statistique descriptive
Moyenne
x̄ = Σx/n
Écart-type d’échantillon
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Médiane
valeur du milieu des données triées
Score z
z = (x − μ)/σ
Loi normale
68% dans ±1σ, 95% dans ±2σ
Intervalles de confiance
σ connu
x̄ ± z·σ/√n
σ inconnu
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z critique
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Taille d’échantillon
n = (z·σ/E)², rounded up
Méthode
Choisissez entre z (σ de la population connu) et t (seulement l’écart type s de l’échantillon, avec n − 1 degrés de liberté).
Trouvez la valeur critique pour le niveau de confiance.
Marge d’erreur : E = valeur critique × écart type/√n.
Intervalle : x̄ ± E.
Tests d'hypothèse et intervalles de confiance
Test z pour une moyenne
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
Test t pour une moyenne
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Bilatéral à 5%
rejeter H0 si |z| > 1,96
Intervalle de confiance
x̄ ± z·σ/√n
Méthode
Énoncez H₀ et H₁ et déterminez si le test est unilatéral ou bilatéral.
Calculez la statistique de test : (x̄ − μ₀)/(σ/√n), ou avec s et t.
Comparez avec la valeur critique ou trouvez la valeur p.
Rejetez H₀ si la statistique dépasse la valeur critique (p inférieure à α), et énoncez la conclusion en mots.
2Exercices
1.Statistiques de la pratique fondée sur les preuvesMoyen
Exercice d’entraînement (valeurs fictives, pas une recommandation clinique). Une étude cas-témoins compare 270 patients atteints d’une maladie (cas) et 710 personnes qui n’en sont pas atteintes (témoins). Le tableau indique combien, dans chaque groupe, ont été exposés à un facteur de risque. Trouvez l’odds ratio OR de l’exposition. Arrondissez à deux décimales.
a = 89b = 99c = 181d = 611
OR =
2.Statistiques de la pratique fondée sur les preuvesDifficile
Exercice d’entraînement (valeurs fictives, pas une recommandation clinique). Un test de dépistage a une sensibilité de 96 % et une spécificité de 85 %. Il est utilisé dans une population où la prévalence est de 2 %. Trouvez la valeur prédictive positive PPV sous forme de pourcentage. Arrondissez à une décimale.
Se = 96%Sp = 85%p = 2%
PPV = %
3.Statistique descriptiveMoyen
Trouve l'écart-type d'échantillon s des données : 59, 44, 34, 21, 18, 52, 11.
n = 7
s =
4.Statistique descriptiveDifficile
Les notes d'un examen suivent une loi normale de moyenne 170 et d'écart-type 15. Trouve le score z z d'une note de 179.
μ = 170σ = 15x = 179
z =
5.Intervalles de confianceMoyen
On compare l’autonomie de la batterie de deux modèles de téléphone. Modèle 1 : 80 téléphones, moyenne 48,5 h, écart-type connu 5 h. Modèle 2 : 60 téléphones, moyenne 44 h, écart-type connu 15 h. Trouvez la marge d’erreur E de l’intervalle de confiance à 90 % pour μ₁ − μ₂.
On teste deux engrais. Groupe de parcelles 1 : 5 parcelles, rendement moyen 85 kg, écart-type 6,5 kg. Groupe de parcelles 2 : 26 parcelles, moyenne 93,5 kg, écart-type 1 kg. Supposez les variances égales (t avec variance commune, df = n₁ + n₂ − 2). Trouvez la borne inférieure de l’intervalle de confiance à 90 % pour μ₁ − μ₂.
7.Tests d'hypothèse et intervalles de confianceMoyen
Un échantillon de 49 étudiants a une note moyenne de 75,86 et un écart-type d'échantillon de 5. Calcule la statistique de test t pour H₀ : μ = 75.
μ₀ = 75x̄ = 75,86s = 5n = 49
t =
8.Tests d'hypothèse et intervalles de confianceDifficile
Dans un essai, 45 patients sur 300 sous traitement A guérissent, et 23 sur 80 sous traitement B. En utilisant la proportion commune, trouvez la statistique de test z pour H₀ : p₁ = p₂.
x₁ = 45n₁ = 300x₂ = 23n₂ = 80
z =
3Solutions
1.Statistiques de la pratique fondée sur les preuves
Réponse: OR = 3,03
Rapports de vraisemblance et mesures du risque : RV+ = sensibilité/(1 − spécificité), RV− = (1 − sensibilité)/spécificité. Dans un essai, EER et CER sont les taux d’événements avec et sans traitement : RR = EER/CER, RRA = CER − EER, RRR = RRA/CER et NNT = 1/RRA, arrondi au supérieur. Dans une étude cas-témoins, seul l’odds ratio OR = ad/(bc) est utilisable. Un taux d’incidence = nouveaux cas/personnes-temps.
Cote d’exposition
cas: 89/181 = 0,4917
témoins: 99/611 = 0,162
Odds ratio
OR = (89·611)/(99·181) = 3,035 ≈ 3,03
Réponse
OR = 3,03
OR supérieur à 1 : l’exposition est plus fréquente chez les cas.
2.Statistiques de la pratique fondée sur les preuves
Réponse: PPV = 11,6 %
Les valeurs prédictives dépendent de la prévalence : VPP = Se·p/(Se·p + (1 − Sp)(1 − p)) et VPN = Sp(1 − p)/(Sp(1 − p) + (1 − Se)p). Avec les rapports de vraisemblance : cote pré-test = p/(1 − p), cote post-test = cote pré-test × RV, probabilité = cote/(1 + cote). Pour une population de N, vrais positifs = N·p·Se et faux positifs = N·(1 − p)·(1 − Sp). NNT = 1/(CER × RRR), arrondi au supérieur.
Vrais et faux positifs (par personne)
Se·p = 0,96·0,02 = 0,0192
(1 − Sp)·(1 − p) = 0,15·0,98 = 0,147
Valeur prédictive positive
PPV = 0,0192/(0,0192 + 0,147) = 0,1155 ≈ 11,6%
Réponse
PPV = 11,6%
Plus la prévalence est faible, plus la VPP du même test est basse.
3.Statistique descriptive
Réponse: s = 18,27
Statistique descriptive : la moyenne est la somme divisée par n ; la médiane est la valeur du milieu des données triées (la moyenne des deux valeurs du milieu si n est pair). L'écart-type d'échantillon est s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un score z = (x − μ)/σ indique à combien d'écarts-types une valeur se trouve de la moyenne.
Statistique descriptive : la moyenne est la somme divisée par n ; la médiane est la valeur du milieu des données triées (la moyenne des deux valeurs du milieu si n est pair). L'écart-type d'échantillon est s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un score z = (x − μ)/σ indique à combien d'écarts-types une valeur se trouve de la moyenne.
Centrer-réduire
z = (179 − 170)/15 = 0,6
Réponse
z = 0,6
5.Intervalles de confiance
Réponse: E = 3,316 h
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Estimation ponctuelle
x̄₁ − x̄₂ = 48,5 − 44 = 4,5
Erreur type
SE = √(5²/80 + 15²/60) = 2,016
Marge d'erreur
E = 1,645·2,016 = 3,316
Réponse
E = 3,316 h
L’intervalle ne contient pas 0, donc les moyennes diffèrent significativement.
6.Intervalles de confiance
Réponse: borne inférieure = −10,65 kg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Écart-type commun
sp² = (4·6,5² + 25·1²)/29 = 6,69
sp = 2,586
Marge d'erreur
E = 1,699·2,586·√(1/5 + 1/26) = 2,146
Intervalle
−8,5 ± 2,146 → [−10,65, −6,354]
Réponse
borne inférieure = −10,65 kg
7.Tests d'hypothèse et intervalles de confiance
Réponse: t = 1,204
Test sur une moyenne : la statistique de test mesure à combien d'erreurs types la moyenne de l'échantillon se trouve de la valeur affirmée dans H₀ : z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) quand σ est connu, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) quand il est estimé sur l'échantillon. Un intervalle de confiance vaut x̄ ± (valeur critique)·(erreur type).
Erreur type
SE = 5/√49 = 5/7 = 0,7143
Statistique de test
t = (75,86 − 75)/0,7143 = 1,204
Réponse
t = 1,204
t0,025; df = 48 = 2,011
|t| < 2.011, donc H₀ n’est pas rejetée au seuil de 5 % (bilatéral).
8.Tests d'hypothèse et intervalles de confiance
Réponse: z = −2,851
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Proportions des échantillons
p̂₁ = 45/300 = 0,15
p̂₂ = 23/80 = 0,2875
p̂ = 68/380 = 0,1789
Erreur type sous H₀
SE = √(0,1789·0,8211·(1/300 + 1/80)) = 0,04823
Statistique de test
z = (0,15 − 0,2875)/0,04823 = −2,851
Réponse
z = −2,851
|z| > 1,96, donc H₀ est rejetée au seuil de 5 % (bilatéral).