Dessinez le tableau 2 × 2 et nommez a, b, c et d avant de calculer.
Lisez la sensibilité et la spécificité dans les colonnes, les valeurs prédictives dans les lignes.
Pour une autre prévalence, imaginez 10 000 personnes et remplissez le tableau avec Se, Sp et la prévalence.
Pour un rapport de vraisemblance, convertissez la probabilité en cote, multipliez, puis reconvertissez.
Pour un essai, trouvez d’abord EER et CER ; puis RR = EER/CER, RRA = CER − EER et NNT = 1/RRA arrondi au supérieur.
Statistique descriptive
Moyenne
x̄ = Σx/n
Écart-type d’échantillon
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Médiane
valeur du milieu des données triées
Score z
z = (x − μ)/σ
Loi normale
68% dans ±1σ, 95% dans ±2σ
Intervalles de confiance
σ connu
x̄ ± z·σ/√n
σ inconnu
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z critique
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Taille d’échantillon
n = (z·σ/E)², rounded up
Méthode
Choisissez entre z (σ de la population connu) et t (seulement l’écart type s de l’échantillon, avec n − 1 degrés de liberté).
Trouvez la valeur critique pour le niveau de confiance.
Marge d’erreur : E = valeur critique × écart type/√n.
Intervalle : x̄ ± E.
Tests d'hypothèse et intervalles de confiance
Test z pour une moyenne
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
Test t pour une moyenne
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Bilatéral à 5%
rejeter H0 si |z| > 1,96
Intervalle de confiance
x̄ ± z·σ/√n
Méthode
Énoncez H₀ et H₁ et déterminez si le test est unilatéral ou bilatéral.
Calculez la statistique de test : (x̄ − μ₀)/(σ/√n), ou avec s et t.
Comparez avec la valeur critique ou trouvez la valeur p.
Rejetez H₀ si la statistique dépasse la valeur critique (p inférieure à α), et énoncez la conclusion en mots.
2Exercices
1.Statistiques de la pratique fondée sur les preuvesMoyen
Exercice d’entraînement (valeurs fictives, pas une recommandation clinique). Un test a une sensibilité de 90 % et une spécificité de 62 %. Trouvez le rapport de vraisemblance positif LR+. Arrondissez à deux décimales.
Se = 90%Sp = 62%
LR+ =
2.Statistiques de la pratique fondée sur les preuvesDifficile
Exercice d’entraînement (valeurs fictives, pas une recommandation clinique). 10 000 personnes sont dépistées avec un test de sensibilité 81 % et de spécificité 99 %. La prévalence de la maladie est de 5 %. Combien de résultats vrais positifs TP attend-on ?
N = 10 000p = 5%Se = 81%Sp = 99%
TP =
3.Statistique descriptiveMoyen
Trouve l'écart-type d'échantillon s des données : 45, 56, 50, 37, 26.
n = 5
s =
4.Statistique descriptiveDifficile
Une grandeur suit une loi normale de moyenne 70 et d'écart-type 12. Quelle proportion P des valeurs est supérieure à 60,4 ?
μ = 70σ = 12x = 60,4
P =
5.Intervalles de confianceMoyen
On compare l’autonomie de la batterie de deux modèles de téléphone. Modèle 1 : 50 téléphones, moyenne 94,5 h, écart-type connu 19 h. Modèle 2 : 80 téléphones, moyenne 107,5 h, écart-type connu 4 h. Trouvez la marge d’erreur E de l’intervalle de confiance à 99 % pour μ₁ − μ₂.
Les diamètres de 25 arbres usinés ont un écart-type d’échantillon de 10,6 µm. En supposant les diamètres normalement distribués, trouvez la borne inférieure σ de l’intervalle de confiance à 95 % pour l’écart-type de la population. Avec df = 24, 2,5 % de la loi du χ² se trouve en dessous de 12,401 et 2,5 % au-dessus de 39,364.
n = 25s = 10,6 µmχ² = 12,401, 39,364
σ = µm
7.Tests d'hypothèse et intervalles de confianceMoyen
La moyenne d’une population est censée valoir 500 ; l’écart-type de la population est connu et vaut 18. Un échantillon aléatoire de 36 observations a une moyenne de 497,12. Testez H₀ : μ = 500 contre H₁ : μ < 500. Trouvez la valeur p p.
μ₀ = 500σ = 18n = 36x̄ = 497,12H₁: μ < μ₀
p =
8.Tests d'hypothèse et intervalles de confianceDifficile
Quelle taille doit avoir un échantillon pour que l'intervalle de confiance à 95 % d'une moyenne ait une marge d'erreur d'au plus 1,5 ? L'écart-type est 5. Trouve la plus petite taille d'échantillon n.
σ = 5E = 1,595%
n =
3Solutions
1.Statistiques de la pratique fondée sur les preuves
Réponse: LR+ = 2,37
Rapports de vraisemblance et mesures du risque : RV+ = sensibilité/(1 − spécificité), RV− = (1 − sensibilité)/spécificité. Dans un essai, EER et CER sont les taux d’événements avec et sans traitement : RR = EER/CER, RRA = CER − EER, RRR = RRA/CER et NNT = 1/RRA, arrondi au supérieur. Dans une étude cas-témoins, seul l’odds ratio OR = ad/(bc) est utilisable. Un taux d’incidence = nouveaux cas/personnes-temps.
Rapport de vraisemblance positif
LR+ = 0,9/(1 − 0,62) = 2,368 ≈ 2,37
Réponse
LR+ = 2,37
2.Statistiques de la pratique fondée sur les preuves
Réponse: TP = 405
Les valeurs prédictives dépendent de la prévalence : VPP = Se·p/(Se·p + (1 − Sp)(1 − p)) et VPN = Sp(1 − p)/(Sp(1 − p) + (1 − Se)p). Avec les rapports de vraisemblance : cote pré-test = p/(1 − p), cote post-test = cote pré-test × RV, probabilité = cote/(1 + cote). Pour une population de N, vrais positifs = N·p·Se et faux positifs = N·(1 − p)·(1 − Sp). NNT = 1/(CER × RRR), arrondi au supérieur.
Avec et sans la maladie
10 000·0,05 = 500
10 000 − 500 = 9500
Vrais positifs
TP = 500·0,81 = 405
Réponse
TP = 405
3.Statistique descriptive
Réponse: s = 11,69
Statistique descriptive : la moyenne est la somme divisée par n ; la médiane est la valeur du milieu des données triées (la moyenne des deux valeurs du milieu si n est pair). L'écart-type d'échantillon est s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un score z = (x − μ)/σ indique à combien d'écarts-types une valeur se trouve de la moyenne.
Statistique descriptive : la moyenne est la somme divisée par n ; la médiane est la valeur du milieu des données triées (la moyenne des deux valeurs du milieu si n est pair). L'écart-type d'échantillon est s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un score z = (x − μ)/σ indique à combien d'écarts-types une valeur se trouve de la moyenne.
Centrer-réduire
z = −0,8
Table de la loi normale
Φ(−0,8) = 0,2119
P = 1 − 0,2119 = 0,7881
Réponse
P = 0,7881
5.Intervalles de confiance
Réponse: E = 7,017 h
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Estimation ponctuelle
x̄₁ − x̄₂ = 94,5 − 107,5 = −13
Erreur type
SE = √(19²/50 + 4²/80) = 2,724
Marge d'erreur
E = 2,576·2,724 = 7,017
Réponse
E = 7,017 h
L’intervalle ne contient pas 0, donc les moyennes diffèrent significativement.
6.Intervalles de confiance
Réponse: σ = 8,277 µm
Intervalle pour une variance : (n − 1)s²/σ² suit une loi du χ² à n − 1 degrés de liberté. L’intervalle à 95 % pour σ² va de (n − 1)s² divisé par la valeur supérieure du χ² (2,5 % au-dessus) à (n − 1)s² divisé par la valeur inférieure du χ² (2,5 % en dessous) ; l’intervalle pour σ est la racine carrée des deux bornes. Il n’est pas symétrique autour de s.
Somme des carrés
(n − 1)s² = 24·10,6² = 2697
Bornes pour σ²
2697/39,364 = 68,51
2697/12,401 = 217,5
Borne pour σ
σ = √68,51 = 8,277 µm
Réponse
σ = 8,277 µm
Intervalle à 95 % pour σ : [8,277, 14,75] µm.
7.Tests d'hypothèse et intervalles de confiance
Réponse: p = 0,1685
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Statistique de test
SE = σ/√n = 18/√36 = 3
z = (497,12 − 500)/3 = −0,96
Aire de la queue
Φ(0,96) = 0,8315
1 − Φ(0,96) = 0,1685
Valeur p
p = 0,1685
Réponse
p = 0,1685
p > 0,05, donc H₀ n’est pas rejetée au seuil de 5 %.
8.Tests d'hypothèse et intervalles de confiance
Réponse: n = 43
Test sur une moyenne : la statistique de test mesure à combien d'erreurs types la moyenne de l'échantillon se trouve de la valeur affirmée dans H₀ : z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) quand σ est connu, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) quand il est estimé sur l'échantillon. Un intervalle de confiance vaut x̄ ± (valeur critique)·(erreur type).