Dessinez le tableau 2 × 2 et nommez a, b, c et d avant de calculer.
Lisez la sensibilité et la spécificité dans les colonnes, les valeurs prédictives dans les lignes.
Pour une autre prévalence, imaginez 10 000 personnes et remplissez le tableau avec Se, Sp et la prévalence.
Pour un rapport de vraisemblance, convertissez la probabilité en cote, multipliez, puis reconvertissez.
Pour un essai, trouvez d’abord EER et CER ; puis RR = EER/CER, RRA = CER − EER et NNT = 1/RRA arrondi au supérieur.
Statistique descriptive
Moyenne
x̄ = Σx/n
Écart-type d’échantillon
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Médiane
valeur du milieu des données triées
Score z
z = (x − μ)/σ
Loi normale
68% dans ±1σ, 95% dans ±2σ
Intervalles de confiance
σ connu
x̄ ± z·σ/√n
σ inconnu
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z critique
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Taille d’échantillon
n = (z·σ/E)², rounded up
Méthode
Choisissez entre z (σ de la population connu) et t (seulement l’écart type s de l’échantillon, avec n − 1 degrés de liberté).
Trouvez la valeur critique pour le niveau de confiance.
Marge d’erreur : E = valeur critique × écart type/√n.
Intervalle : x̄ ± E.
Tests d'hypothèse et intervalles de confiance
Test z pour une moyenne
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
Test t pour une moyenne
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Bilatéral à 5%
rejeter H0 si |z| > 1,96
Intervalle de confiance
x̄ ± z·σ/√n
Méthode
Énoncez H₀ et H₁ et déterminez si le test est unilatéral ou bilatéral.
Calculez la statistique de test : (x̄ − μ₀)/(σ/√n), ou avec s et t.
Comparez avec la valeur critique ou trouvez la valeur p.
Rejetez H₀ si la statistique dépasse la valeur critique (p inférieure à α), et énoncez la conclusion en mots.
2Exercices
1.Statistiques de la pratique fondée sur les preuvesMoyen
Exercice d’entraînement (valeurs fictives, pas une recommandation clinique). Un nouveau test a été comparé à la méthode de référence dans une étude (voir le tableau 2 × 2). Trouvez le rapport de vraisemblance négatif LR−. Arrondissez à deux décimales.
a = 307b = 109c = 23d = 211
LR− =
2.Statistiques de la pratique fondée sur les preuvesDifficile
Exercice d’entraînement (valeurs fictives, pas une recommandation clinique). Un patient a une probabilité pré-test de 40 % pour une maladie. Un test de sensibilité 88 % et de spécificité 62 % donne un résultat positive. Trouvez la probabilité post-test p′ de la maladie sous forme de pourcentage. Arrondissez à une décimale.
pré-test 40%Se = 88%Sp = 62%positive
p′ = %
3.Statistique descriptiveMoyen
Trouve l'écart-type d'échantillon s des données : 22, 38, 16, 39, 50, 19, 13.
n = 7
s =
4.Statistique descriptiveDifficile
Une grandeur suit une loi normale de moyenne 500 et d'écart-type 60. Quelle proportion P des valeurs est inférieure à 452 ?
μ = 500σ = 60x = 452
P =
5.Intervalles de confianceMoyen
Un échantillon de 9 éléments a une moyenne de 116 et un écart-type s = 11,5. La population est approximativement normale. Trouvez la borne inférieure de l’intervalle de confiance à 99 % pour la moyenne.
n = 9x̄ = 116s = 11,599%t(8) = 3,355
borne inférieure =
6.Intervalles de confianceDifficile
Les diamètres de 25 arbres usinés ont un écart-type d’échantillon de 8 µm. En supposant les diamètres normalement distribués, trouvez la borne supérieure σ de l’intervalle de confiance à 95 % pour l’écart-type de la population. Avec df = 24, 2,5 % de la loi du χ² se trouve en dessous de 12,401 et 2,5 % au-dessus de 39,364.
n = 25s = 8 µmχ² = 12,401, 39,364
σ = µm
7.Tests d'hypothèse et intervalles de confianceMoyen
Deux lignes de production fabriquent la même pièce. Ligne 1 : un échantillon de 80 pièces a une longueur moyenne de 135 mm, et l’écart-type connu de la ligne vaut 16 mm. Ligne 2 : un échantillon de 40 pièces a une moyenne de 141,8 mm, écart-type connu 12 mm. Trouvez la statistique de test z pour H₀ : μ₁ = μ₂, en prenant la différence x̄₁ − x̄₂ (ligne 1 moins ligne 2).
8.Tests d'hypothèse et intervalles de confianceDifficile
Quelle taille doit avoir un échantillon pour que l'intervalle de confiance à 95 % d'une moyenne ait une marge d'erreur d'au plus 2 ? L'écart-type est 20. Trouve la plus petite taille d'échantillon n.
σ = 20E = 295%
n =
3Solutions
1.Statistiques de la pratique fondée sur les preuves
Réponse: LR− = 0,11
Rapports de vraisemblance et mesures du risque : RV+ = sensibilité/(1 − spécificité), RV− = (1 − sensibilité)/spécificité. Dans un essai, EER et CER sont les taux d’événements avec et sans traitement : RR = EER/CER, RRA = CER − EER, RRR = RRA/CER et NNT = 1/RRA, arrondi au supérieur. Dans une étude cas-témoins, seul l’odds ratio OR = ad/(bc) est utilisable. Un taux d’incidence = nouveaux cas/personnes-temps.
Sensibilité et spécificité
Se = 307/330 = 0,9303
Sp = 211/320 = 0,6594
Rapport de vraisemblance négatif
LR− = (1 − 0,9303)/0,6594 = 0,1057 ≈ 0,11
Réponse
LR− = 0,11
2.Statistiques de la pratique fondée sur les preuves
Réponse: p′ = 60,7 %
Les valeurs prédictives dépendent de la prévalence : VPP = Se·p/(Se·p + (1 − Sp)(1 − p)) et VPN = Sp(1 − p)/(Sp(1 − p) + (1 − Se)p). Avec les rapports de vraisemblance : cote pré-test = p/(1 − p), cote post-test = cote pré-test × RV, probabilité = cote/(1 + cote). Pour une population de N, vrais positifs = N·p·Se et faux positifs = N·(1 − p)·(1 − Sp). NNT = 1/(CER × RRR), arrondi au supérieur.
Rapport de vraisemblance
LR+ = 0,88/(1 − 0,62) = 2,316
Cote pré-test
0,4/(1 − 0,4) = 0,6667
Cote post-test
0,6667·2,316 = 1,544
Probabilité post-test
p′ = 1,544/(1 + 1,544) = 0,6069 ≈ 60,7%
Réponse
p′ = 60,7%
3.Statistique descriptive
Réponse: s = 14,09
Statistique descriptive : la moyenne est la somme divisée par n ; la médiane est la valeur du milieu des données triées (la moyenne des deux valeurs du milieu si n est pair). L'écart-type d'échantillon est s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un score z = (x − μ)/σ indique à combien d'écarts-types une valeur se trouve de la moyenne.
Statistique descriptive : la moyenne est la somme divisée par n ; la médiane est la valeur du milieu des données triées (la moyenne des deux valeurs du milieu si n est pair). L'écart-type d'échantillon est s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un score z = (x − μ)/σ indique à combien d'écarts-types une valeur se trouve de la moyenne.
Centrer-réduire
z = −0,8
Table de la loi normale
Φ(−0,8) = 0,2119
P = 0,2119
Réponse
P = 0,2119
5.Intervalles de confiance
Réponse: borne inférieure = 103,1
Intervalle de confiance pour une moyenne : x̄ ± marge d’erreur. Si l’écart-type σ de la population est connu, la marge vaut z·σ/√n ; si l’on ne dispose que de l’écart-type de l’échantillon s, utilisez t à n − 1 degrés de liberté : t·s/√n. Valeurs critiques : z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Pour obtenir une marge E ou moins, il faut n ≥ (z·σ/E)², arrondi à l’entier supérieur.
Valeur critique
df = n − 1 = 8, t = 3,355
Marge d'erreur
E = 3,355·11,5/√9 = 12,86
Intervalle
116 ± 12,86 → [103,1, 128,9]
Réponse
borne inférieure = 103,1
6.Intervalles de confiance
Réponse: σ = 11,13 µm
Intervalle pour une variance : (n − 1)s²/σ² suit une loi du χ² à n − 1 degrés de liberté. L’intervalle à 95 % pour σ² va de (n − 1)s² divisé par la valeur supérieure du χ² (2,5 % au-dessus) à (n − 1)s² divisé par la valeur inférieure du χ² (2,5 % en dessous) ; l’intervalle pour σ est la racine carrée des deux bornes. Il n’est pas symétrique autour de s.
Somme des carrés
(n − 1)s² = 24·8² = 1536
Bornes pour σ²
1536/39,364 = 39,02
1536/12,401 = 123,9
Borne pour σ
σ = √123,9 = 11,13 µm
Réponse
σ = 11,13 µm
Intervalle à 95 % pour σ : [6,247, 11,13] µm.
7.Tests d'hypothèse et intervalles de confiance
Réponse: z = −2,608
Test d’hypothèse : la statistique de test = (estimation − valeur sous H₀)/(erreur type sous H₀). La valeur p est la probabilité, en supposant H₀ vraie, d’obtenir une statistique au moins aussi extrême que celle observée : l’aire d’une queue pour un H₁ unilatéral, deux fois l’aire de la queue pour un H₁ bilatéral. Rejetez H₀ quand p ≤ α.
Erreur type de la différence
SE = √(16²/80 + 12²/40) = √6,8 = 2,608
Statistique de test
z = (135 − 141,8)/2,608 = −2,608
Réponse
z = −2,608
|z| > 1,96, donc H₀ est rejetée au seuil de 5 % (bilatéral).
8.Tests d'hypothèse et intervalles de confiance
Réponse: n = 385
Test sur une moyenne : la statistique de test mesure à combien d'erreurs types la moyenne de l'échantillon se trouve de la valeur affirmée dans H₀ : z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) quand σ est connu, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) quand il est estimé sur l'échantillon. Un intervalle de confiance vaut x̄ ± (valeur critique)·(erreur type).