Dessinez le tableau 2 × 2 et nommez a, b, c et d avant de calculer.
Lisez la sensibilité et la spécificité dans les colonnes, les valeurs prédictives dans les lignes.
Pour une autre prévalence, imaginez 10 000 personnes et remplissez le tableau avec Se, Sp et la prévalence.
Pour un rapport de vraisemblance, convertissez la probabilité en cote, multipliez, puis reconvertissez.
Pour un essai, trouvez d’abord EER et CER ; puis RR = EER/CER, RRA = CER − EER et NNT = 1/RRA arrondi au supérieur.
Statistique descriptive
Moyenne
x̄ = Σx/n
Écart-type d’échantillon
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Médiane
valeur du milieu des données triées
Score z
z = (x − μ)/σ
Loi normale
68% dans ±1σ, 95% dans ±2σ
Intervalles de confiance
σ connu
x̄ ± z·σ/√n
σ inconnu
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z critique
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Taille d’échantillon
n = (z·σ/E)², rounded up
Méthode
Choisissez entre z (σ de la population connu) et t (seulement l’écart type s de l’échantillon, avec n − 1 degrés de liberté).
Trouvez la valeur critique pour le niveau de confiance.
Marge d’erreur : E = valeur critique × écart type/√n.
Intervalle : x̄ ± E.
Tests d'hypothèse et intervalles de confiance
Test z pour une moyenne
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
Test t pour une moyenne
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Bilatéral à 5%
rejeter H0 si |z| > 1,96
Intervalle de confiance
x̄ ± z·σ/√n
Méthode
Énoncez H₀ et H₁ et déterminez si le test est unilatéral ou bilatéral.
Calculez la statistique de test : (x̄ − μ₀)/(σ/√n), ou avec s et t.
Comparez avec la valeur critique ou trouvez la valeur p.
Rejetez H₀ si la statistique dépasse la valeur critique (p inférieure à α), et énoncez la conclusion en mots.
2Exercices
1.Statistiques de la pratique fondée sur les preuvesMoyen
Exercice d’entraînement (valeurs fictives, pas une recommandation clinique). Une étude cas-témoins compare 200 patients atteints d’une maladie (cas) et 310 personnes qui n’en sont pas atteintes (témoins). Le tableau indique combien, dans chaque groupe, ont été exposés à un facteur de risque. Trouvez l’odds ratio OR de l’exposition. Arrondissez à deux décimales.
a = 167b = 174c = 33d = 136
OR =
2.Statistiques de la pratique fondée sur les preuvesDifficile
Exercice d’entraînement (valeurs fictives, pas une recommandation clinique). 10 000 personnes sont dépistées avec un test de sensibilité 99 % et de spécificité 77 %. La prévalence de la maladie est de 22 %. Combien de résultats faux positifs FP attend-on ?
N = 10 000p = 22%Se = 99%Sp = 77%
FP =
3.Statistique descriptiveMoyen
Trouve l'écart-type d'échantillon s des données : 53, 13, 46, 58, 12, 10, 40.
n = 7
s =
4.Statistique descriptiveDifficile
Une grandeur suit une loi normale de moyenne 500 et d'écart-type 100. Quelle proportion P des valeurs est inférieure à 450 ?
μ = 500σ = 100x = 450
P =
5.Intervalles de confianceMoyen
Un échantillon de 9 éléments a une moyenne de 74 et un écart-type s = 12. La population est approximativement normale. Trouvez la borne supérieure de l’intervalle de confiance à 90 % pour la moyenne.
n = 9x̄ = 74s = 1290%t(8) = 1,86
borne supérieure =
6.Intervalles de confianceDifficile
Les diamètres de 15 arbres usinés ont un écart-type d’échantillon de 1,6 µm. En supposant les diamètres normalement distribués, trouvez la borne inférieure σ de l’intervalle de confiance à 95 % pour l’écart-type de la population. Avec df = 14, 2,5 % de la loi du χ² se trouve en dessous de 5,629 et 2,5 % au-dessus de 26,119.
n = 15s = 1,6 µmχ² = 5,629, 26,119
σ = µm
7.Tests d'hypothèse et intervalles de confianceMoyen
20 employés passent un test de dactylographie avant et après une formation. Pour chaque personne, on relève la différence d = après − avant (mots par minute). La différence moyenne vaut 0,47 et l’écart-type des différences 1,3. Trouvez la statistique du test apparié t pour H₀ : μd = 0.
n = 20d̄ = 0,47sd = 1,3
t =
8.Tests d'hypothèse et intervalles de confianceDifficile
Un échantillon de 36 mesures a une moyenne de 46,9. L'écart-type de la population est 8. Trouve la borne supérieure U de l'intervalle de confiance à 90 % pour la moyenne.
x̄ = 46,9σ = 8n = 3690%
U =
3Solutions
1.Statistiques de la pratique fondée sur les preuves
Réponse: OR = 3,96
Rapports de vraisemblance et mesures du risque : RV+ = sensibilité/(1 − spécificité), RV− = (1 − sensibilité)/spécificité. Dans un essai, EER et CER sont les taux d’événements avec et sans traitement : RR = EER/CER, RRA = CER − EER, RRR = RRA/CER et NNT = 1/RRA, arrondi au supérieur. Dans une étude cas-témoins, seul l’odds ratio OR = ad/(bc) est utilisable. Un taux d’incidence = nouveaux cas/personnes-temps.
Cote d’exposition
cas: 167/33 = 5,061
témoins: 174/136 = 1,279
Odds ratio
OR = (167·136)/(174·33) = 3,955 ≈ 3,96
Réponse
OR = 3,96
OR supérieur à 1 : l’exposition est plus fréquente chez les cas.
2.Statistiques de la pratique fondée sur les preuves
Réponse: FP = 1794
Les valeurs prédictives dépendent de la prévalence : VPP = Se·p/(Se·p + (1 − Sp)(1 − p)) et VPN = Sp(1 − p)/(Sp(1 − p) + (1 − Se)p). Avec les rapports de vraisemblance : cote pré-test = p/(1 − p), cote post-test = cote pré-test × RV, probabilité = cote/(1 + cote). Pour une population de N, vrais positifs = N·p·Se et faux positifs = N·(1 − p)·(1 − Sp). NNT = 1/(CER × RRR), arrondi au supérieur.
Avec et sans la maladie
10 000·0,22 = 2200
10 000 − 2200 = 7800
Faux positifs
FP = 7800·0,23 = 1794
Réponse
FP = 1794
Sur les 3972 positifs, seuls 2178 ont la maladie (VPP 54,8 %).
3.Statistique descriptive
Réponse: s = 20,87
Statistique descriptive : la moyenne est la somme divisée par n ; la médiane est la valeur du milieu des données triées (la moyenne des deux valeurs du milieu si n est pair). L'écart-type d'échantillon est s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un score z = (x − μ)/σ indique à combien d'écarts-types une valeur se trouve de la moyenne.
Statistique descriptive : la moyenne est la somme divisée par n ; la médiane est la valeur du milieu des données triées (la moyenne des deux valeurs du milieu si n est pair). L'écart-type d'échantillon est s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un score z = (x − μ)/σ indique à combien d'écarts-types une valeur se trouve de la moyenne.
Centrer-réduire
z = −0,5
Table de la loi normale
Φ(−0,5) = 0,3085
P = 0,3085
Réponse
P = 0,3085
5.Intervalles de confiance
Réponse: borne supérieure = 81,44
Intervalle de confiance pour une moyenne : x̄ ± marge d’erreur. Si l’écart-type σ de la population est connu, la marge vaut z·σ/√n ; si l’on ne dispose que de l’écart-type de l’échantillon s, utilisez t à n − 1 degrés de liberté : t·s/√n. Valeurs critiques : z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Pour obtenir une marge E ou moins, il faut n ≥ (z·σ/E)², arrondi à l’entier supérieur.
Valeur critique
df = n − 1 = 8, t = 1,86
Marge d'erreur
E = 1,86·12/√9 = 7,44
Intervalle
74 ± 7,44 → [66,56, 81,44]
Réponse
borne supérieure = 81,44
6.Intervalles de confiance
Réponse: σ = 1,171 µm
Intervalle pour une variance : (n − 1)s²/σ² suit une loi du χ² à n − 1 degrés de liberté. L’intervalle à 95 % pour σ² va de (n − 1)s² divisé par la valeur supérieure du χ² (2,5 % au-dessus) à (n − 1)s² divisé par la valeur inférieure du χ² (2,5 % en dessous) ; l’intervalle pour σ est la racine carrée des deux bornes. Il n’est pas symétrique autour de s.
Somme des carrés
(n − 1)s² = 14·1,6² = 35,84
Bornes pour σ²
35,84/26,119 = 1,372
35,84/5,629 = 6,367
Borne pour σ
σ = √1,372 = 1,171 µm
Réponse
σ = 1,171 µm
Intervalle à 95 % pour σ : [1,171, 2,523] µm.
7.Tests d'hypothèse et intervalles de confiance
Réponse: t = 1,617
Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).
Erreur type de la différence moyenne
SE = 1,3/√20 = 0,2907
Statistique de test
t = 0,47/0,2907 = 1,617
Réponse
t = 1,617
Avec df = 19, la valeur critique bilatérale à 5 % vaut 2,093 ; |t| est plus petit, donc H₀ n’est pas rejetée.
8.Tests d'hypothèse et intervalles de confiance
Réponse: U = 49,09
Test sur une moyenne : la statistique de test mesure à combien d'erreurs types la moyenne de l'échantillon se trouve de la valeur affirmée dans H₀ : z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) quand σ est connu, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) quand il est estimé sur l'échantillon. Un intervalle de confiance vaut x̄ ± (valeur critique)·(erreur type).