Dessinez le tableau 2 × 2 et nommez a, b, c et d avant de calculer.
Lisez la sensibilité et la spécificité dans les colonnes, les valeurs prédictives dans les lignes.
Pour une autre prévalence, imaginez 10 000 personnes et remplissez le tableau avec Se, Sp et la prévalence.
Pour un rapport de vraisemblance, convertissez la probabilité en cote, multipliez, puis reconvertissez.
Pour un essai, trouvez d’abord EER et CER ; puis RR = EER/CER, RRA = CER − EER et NNT = 1/RRA arrondi au supérieur.
Statistique descriptive
Moyenne
x̄ = Σx/n
Écart-type d’échantillon
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Médiane
valeur du milieu des données triées
Score z
z = (x − μ)/σ
Loi normale
68% dans ±1σ, 95% dans ±2σ
Intervalles de confiance
σ connu
x̄ ± z·σ/√n
σ inconnu
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z critique
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Taille d’échantillon
n = (z·σ/E)², rounded up
Méthode
Choisissez entre z (σ de la population connu) et t (seulement l’écart type s de l’échantillon, avec n − 1 degrés de liberté).
Trouvez la valeur critique pour le niveau de confiance.
Marge d’erreur : E = valeur critique × écart type/√n.
Intervalle : x̄ ± E.
Tests d'hypothèse et intervalles de confiance
Test z pour une moyenne
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
Test t pour une moyenne
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Bilatéral à 5%
rejeter H0 si |z| > 1,96
Intervalle de confiance
x̄ ± z·σ/√n
Méthode
Énoncez H₀ et H₁ et déterminez si le test est unilatéral ou bilatéral.
Calculez la statistique de test : (x̄ − μ₀)/(σ/√n), ou avec s et t.
Comparez avec la valeur critique ou trouvez la valeur p.
Rejetez H₀ si la statistique dépasse la valeur critique (p inférieure à α), et énoncez la conclusion en mots.
2Exercices
1.Statistiques de la pratique fondée sur les preuvesMoyen
Exercice d’entraînement (valeurs fictives, pas une recommandation clinique). Dans un essai randomisé, 130 patients ont reçu un nouveau traitement et 990 ont reçu le traitement témoin. Le tableau indique combien, dans chaque groupe, ont présenté un effet indésirable. Trouvez le nombre de patients à exposer pour observer un effet nocif NNH : combien de patients faut-il traiter pour qu’un patient de plus présente l’effet indésirable ? Arrondissez au nombre entier de patients supérieur.
traitement: 36/130témoin: 139/990
NNH =
2.Statistiques de la pratique fondée sur les preuvesDifficile
Exercice d’entraînement (valeurs fictives, pas une recommandation clinique). 10 000 personnes sont dépistées avec un test de sensibilité 87 % et de spécificité 81 %. La prévalence de la maladie est de 29 %. Combien de personnes malades le test manque-t-il (faux négatifs, FN) ?
N = 10 000p = 29%Se = 87%Sp = 81%
FN =
3.Statistique descriptiveMoyen
Trouve l'écart-type d'échantillon s des données : 46, 51, 28, 42, 58.
n = 5
s =
4.Statistique descriptiveDifficile
Une grandeur suit une loi normale de moyenne 60 et d'écart-type 5. Quelle proportion P des valeurs est supérieure à 65 ?
μ = 60σ = 5x = 65
P =
5.Intervalles de confianceMoyen
Un échantillon de 7 éléments a une moyenne de 22,5 et un écart-type s = 7,5. La population est approximativement normale. Trouvez la borne inférieure de l’intervalle de confiance à 90 % pour la moyenne.
n = 7x̄ = 22,5s = 7,590%t(6) = 1,943
borne inférieure =
6.Intervalles de confianceDifficile
L’écart-type de la population est 39. Quelle taille d’échantillon n faut-il pour qu’un intervalle de confiance à 90 % pour la moyenne ait une marge d’erreur d’au plus 2,5 ?
σ = 39E = 2,590%
n =
7.Tests d'hypothèse et intervalles de confianceMoyen
6 employés passent un test de dactylographie avant et après une formation. Pour chaque personne, on relève la différence d = après − avant (mots par minute). La différence moyenne vaut −9,43 et l’écart-type des différences 7. Trouvez la statistique du test apparié t pour H₀ : μd = 0.
n = 6d̄ = −9,43sd = 7
t =
8.Tests d'hypothèse et intervalles de confianceDifficile
Dans un essai, 100 patients sur 250 sous traitement A guérissent, et 71 sur 150 sous traitement B. En utilisant la proportion commune, trouvez la statistique de test z pour H₀ : p₁ = p₂.
x₁ = 100n₁ = 250x₂ = 71n₂ = 150
z =
3Solutions
1.Statistiques de la pratique fondée sur les preuves
Réponse: NNH = 8
Rapports de vraisemblance et mesures du risque : RV+ = sensibilité/(1 − spécificité), RV− = (1 − sensibilité)/spécificité. Dans un essai, EER et CER sont les taux d’événements avec et sans traitement : RR = EER/CER, RRA = CER − EER, RRR = RRA/CER et NNT = 1/RRA, arrondi au supérieur. Dans une étude cas-témoins, seul l’odds ratio OR = ad/(bc) est utilisable. Un taux d’incidence = nouveaux cas/personnes-temps.
Taux d’événements
EER = 36/130 = 0,2769
CER = 139/990 = 0,1404
Nombre de patients à exposer pour observer un effet nocif (NNH)
ARI = 0,2769 − 0,1404 = 0,1365
NNH = 1/0,1365 = 7,325 → 8
Réponse
NNH = 8
Environ un patient traité sur 8 présente l’effet indésirable à cause du traitement.
2.Statistiques de la pratique fondée sur les preuves
Réponse: FN = 377
Les valeurs prédictives dépendent de la prévalence : VPP = Se·p/(Se·p + (1 − Sp)(1 − p)) et VPN = Sp(1 − p)/(Sp(1 − p) + (1 − Se)p). Avec les rapports de vraisemblance : cote pré-test = p/(1 − p), cote post-test = cote pré-test × RV, probabilité = cote/(1 + cote). Pour une population de N, vrais positifs = N·p·Se et faux positifs = N·(1 − p)·(1 − Sp). NNT = 1/(CER × RRR), arrondi au supérieur.
Avec et sans la maladie
10 000·0,29 = 2900
10 000 − 2900 = 7100
Faux négatifs
FN = 2900·0,13 = 377
Réponse
FN = 377
3.Statistique descriptive
Réponse: s = 11,22
Statistique descriptive : la moyenne est la somme divisée par n ; la médiane est la valeur du milieu des données triées (la moyenne des deux valeurs du milieu si n est pair). L'écart-type d'échantillon est s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un score z = (x − μ)/σ indique à combien d'écarts-types une valeur se trouve de la moyenne.
Moyenne
x̄ = 225/5 = 45
Écarts au carré
Σ(x − x̄)² = 1² + 6² + (−17)² + (−3)² + 13² = 504
Écart-type
s = √(504/4) = 11,22
Réponse
s = 11,22
4.Statistique descriptive
Réponse: P = 0,1587
Statistique descriptive : la moyenne est la somme divisée par n ; la médiane est la valeur du milieu des données triées (la moyenne des deux valeurs du milieu si n est pair). L'écart-type d'échantillon est s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un score z = (x − μ)/σ indique à combien d'écarts-types une valeur se trouve de la moyenne.
Centrer-réduire
z = 1
Table de la loi normale
Φ(1) = 0,8413
P = 1 − 0,8413 = 0,1587
Réponse
P = 0,1587
5.Intervalles de confiance
Réponse: borne inférieure = 16,99
Intervalle de confiance pour une moyenne : x̄ ± marge d’erreur. Si l’écart-type σ de la population est connu, la marge vaut z·σ/√n ; si l’on ne dispose que de l’écart-type de l’échantillon s, utilisez t à n − 1 degrés de liberté : t·s/√n. Valeurs critiques : z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Pour obtenir une marge E ou moins, il faut n ≥ (z·σ/E)², arrondi à l’entier supérieur.
Valeur critique
df = n − 1 = 6, t = 1,943
Marge d'erreur
E = 1,943·7,5/√7 = 5,508
Intervalle
22,5 ± 5,508 → [16,99, 28,01]
Réponse
borne inférieure = 16,99
6.Intervalles de confiance
Réponse: n = 659
Intervalle de confiance pour une moyenne : x̄ ± marge d’erreur. Si l’écart-type σ de la population est connu, la marge vaut z·σ/√n ; si l’on ne dispose que de l’écart-type de l’échantillon s, utilisez t à n − 1 degrés de liberté : t·s/√n. Valeurs critiques : z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Pour obtenir une marge E ou moins, il faut n ≥ (z·σ/E)², arrondi à l’entier supérieur.
Résoudre pour n
n = (1,645·39/2,5)² = 658,5
Arrondir vers le haut
Une taille d’échantillon est un nombre entier, et arrondir vers le bas rendrait la marge trop grande.
n = 659
Réponse
n = 659
7.Tests d'hypothèse et intervalles de confiance
Réponse: t = −3,3
Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).
Erreur type de la différence moyenne
SE = 7/√6 = 2,858
Statistique de test
t = −9,43/2,858 = −3,3
Réponse
t = −3,3
Avec df = 5, la valeur critique bilatérale à 5 % vaut 2,571 ; |t| est plus grand, donc H₀ est rejetée.
8.Tests d'hypothèse et intervalles de confiance
Réponse: z = −1,435
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Proportions des échantillons
p̂₁ = 100/250 = 0,4
p̂₂ = 71/150 = 0,4733
p̂ = 171/400 = 0,4275
Erreur type sous H₀
SE = √(0,4275·0,5725·(1/250 + 1/150)) = 0,05109
Statistique de test
z = (0,4 − 0,4733)/0,05109 = −1,435
Réponse
z = −1,435
|z| < 1,96, donc H₀ n’est pas rejetée au seuil de 5 % (bilatéral).