Dessinez le tableau 2 × 2 et nommez a, b, c et d avant de calculer.
Lisez la sensibilité et la spécificité dans les colonnes, les valeurs prédictives dans les lignes.
Pour une autre prévalence, imaginez 10 000 personnes et remplissez le tableau avec Se, Sp et la prévalence.
Pour un rapport de vraisemblance, convertissez la probabilité en cote, multipliez, puis reconvertissez.
Pour un essai, trouvez d’abord EER et CER ; puis RR = EER/CER, RRA = CER − EER et NNT = 1/RRA arrondi au supérieur.
Statistique descriptive
Moyenne
x̄ = Σx/n
Écart-type d’échantillon
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Médiane
valeur du milieu des données triées
Score z
z = (x − μ)/σ
Loi normale
68% dans ±1σ, 95% dans ±2σ
Intervalles de confiance
σ connu
x̄ ± z·σ/√n
σ inconnu
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z critique
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Taille d’échantillon
n = (z·σ/E)², rounded up
Méthode
Choisissez entre z (σ de la population connu) et t (seulement l’écart type s de l’échantillon, avec n − 1 degrés de liberté).
Trouvez la valeur critique pour le niveau de confiance.
Marge d’erreur : E = valeur critique × écart type/√n.
Intervalle : x̄ ± E.
Tests d'hypothèse et intervalles de confiance
Test z pour une moyenne
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
Test t pour une moyenne
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Bilatéral à 5%
rejeter H0 si |z| > 1,96
Intervalle de confiance
x̄ ± z·σ/√n
Méthode
Énoncez H₀ et H₁ et déterminez si le test est unilatéral ou bilatéral.
Calculez la statistique de test : (x̄ − μ₀)/(σ/√n), ou avec s et t.
Comparez avec la valeur critique ou trouvez la valeur p.
Rejetez H₀ si la statistique dépasse la valeur critique (p inférieure à α), et énoncez la conclusion en mots.
2Exercices
1.Statistiques de la pratique fondée sur les preuvesMoyen
Exercice d’entraînement (valeurs fictives, pas une recommandation clinique). Dans une étude de cohorte, les personnes exposées ont apporté 7900 personnes-années avec 213 nouveaux cas, et les personnes non exposées 3600 personnes-années avec 32 nouveaux cas. Trouvez le rapport des taux d’incidence IRR (exposés par rapport aux non-exposés). Arrondissez à deux décimales.
exposés: 213/7900 PYnon exposés: 32/3600 PY
IRR =
2.Statistiques de la pratique fondée sur les preuvesDifficile
Exercice d’entraînement (valeurs fictives, pas une recommandation clinique). Un test de dépistage a une sensibilité de 92 % et une spécificité de 94 %. Il est utilisé dans une population où la prévalence est de 3 %. Trouvez la valeur prédictive négative NPV sous forme de pourcentage. Arrondissez à une décimale.
Se = 92%Sp = 94%p = 3%
NPV = %
3.Statistique descriptiveMoyen
Trouve l'écart-type d'échantillon s des données : 30, 53, 60, 44, 14, 28.
n = 6
s =
4.Statistique descriptiveDifficile
Les notes d'un examen suivent une loi normale de moyenne 170 et d'écart-type 8. Trouve le score z z d'une note de 174,8.
μ = 170σ = 8x = 174,8
z =
5.Intervalles de confianceMoyen
Un échantillon de 21 éléments a une moyenne de 104,5 et un écart-type s = 19,5. La population est approximativement normale. Trouvez la marge d’erreur E d’un intervalle de confiance à 95 % pour la moyenne.
n = 21x̄ = 104,5s = 19,595%t(20) = 2,086
E =
6.Intervalles de confianceDifficile
L’écart-type de la population est 31. Quelle taille d’échantillon n faut-il pour qu’un intervalle de confiance à 95 % pour la moyenne ait une marge d’erreur d’au plus 1 ?
σ = 31E = 195%
n =
7.Tests d'hypothèse et intervalles de confianceMoyen
11 employés passent un test de dactylographie avant et après une formation. Pour chaque personne, on relève la différence d = après − avant (mots par minute). La différence moyenne vaut −3,14 et l’écart-type des différences 2,6. Trouvez la statistique du test apparié t pour H₀ : μd = 0.
n = 11d̄ = −3,14sd = 2,6
t =
8.Tests d'hypothèse et intervalles de confianceDifficile
Dans un essai, 210 patients sur 300 sous traitement A guérissent, et 85 sur 150 sous traitement B. En utilisant la proportion commune, trouvez la statistique de test z pour H₀ : p₁ = p₂.
x₁ = 210n₁ = 300x₂ = 85n₂ = 150
z =
3Solutions
1.Statistiques de la pratique fondée sur les preuves
Réponse: IRR = 3,03
Rapports de vraisemblance et mesures du risque : RV+ = sensibilité/(1 − spécificité), RV− = (1 − sensibilité)/spécificité. Dans un essai, EER et CER sont les taux d’événements avec et sans traitement : RR = EER/CER, RRA = CER − EER, RRR = RRA/CER et NNT = 1/RRA, arrondi au supérieur. Dans une étude cas-témoins, seul l’odds ratio OR = ad/(bc) est utilisable. Un taux d’incidence = nouveaux cas/personnes-temps.
Taux d’incidence
exposés: 213/7900 = 26,96 pour 1000 personnes-années
non exposés: 32/3600 = 8,889 pour 1000 personnes-années
Rapport des taux
IRR = 26,96/8,889 = 3,033 ≈ 3,03
Réponse
IRR = 3,03
2.Statistiques de la pratique fondée sur les preuves
Réponse: NPV = 99,7 %
Les valeurs prédictives dépendent de la prévalence : VPP = Se·p/(Se·p + (1 − Sp)(1 − p)) et VPN = Sp(1 − p)/(Sp(1 − p) + (1 − Se)p). Avec les rapports de vraisemblance : cote pré-test = p/(1 − p), cote post-test = cote pré-test × RV, probabilité = cote/(1 + cote). Pour une population de N, vrais positifs = N·p·Se et faux positifs = N·(1 − p)·(1 − Sp). NNT = 1/(CER × RRR), arrondi au supérieur.
Vrais et faux négatifs (par personne)
Sp·(1 − p) = 0,94·0,97 = 0,9118
(1 − Se)·p = 0,08·0,03 = 0,0024
Valeur prédictive négative
NPV = 0,9118/(0,9118 + 0,0024) = 0,9974 ≈ 99,7%
Réponse
NPV = 99,7%
3.Statistique descriptive
Réponse: s = 17,23
Statistique descriptive : la moyenne est la somme divisée par n ; la médiane est la valeur du milieu des données triées (la moyenne des deux valeurs du milieu si n est pair). L'écart-type d'échantillon est s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un score z = (x − μ)/σ indique à combien d'écarts-types une valeur se trouve de la moyenne.
Statistique descriptive : la moyenne est la somme divisée par n ; la médiane est la valeur du milieu des données triées (la moyenne des deux valeurs du milieu si n est pair). L'écart-type d'échantillon est s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un score z = (x − μ)/σ indique à combien d'écarts-types une valeur se trouve de la moyenne.
Centrer-réduire
z = (174,8 − 170)/8 = 0,6
Réponse
z = 0,6
5.Intervalles de confiance
Réponse: E = 8,876
Intervalle de confiance pour une moyenne : x̄ ± marge d’erreur. Si l’écart-type σ de la population est connu, la marge vaut z·σ/√n ; si l’on ne dispose que de l’écart-type de l’échantillon s, utilisez t à n − 1 degrés de liberté : t·s/√n. Valeurs critiques : z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Pour obtenir une marge E ou moins, il faut n ≥ (z·σ/E)², arrondi à l’entier supérieur.
Valeur critique
df = n − 1 = 20, t = 2,086
Marge d'erreur
E = 2,086·19,5/√21 = 8,876
Réponse
E = 8,876
6.Intervalles de confiance
Réponse: n = 3692
Intervalle de confiance pour une moyenne : x̄ ± marge d’erreur. Si l’écart-type σ de la population est connu, la marge vaut z·σ/√n ; si l’on ne dispose que de l’écart-type de l’échantillon s, utilisez t à n − 1 degrés de liberté : t·s/√n. Valeurs critiques : z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Pour obtenir une marge E ou moins, il faut n ≥ (z·σ/E)², arrondi à l’entier supérieur.
Résoudre pour n
n = (1,96·31/1)² = 3692
Arrondir vers le haut
Une taille d’échantillon est un nombre entier, et arrondir vers le bas rendrait la marge trop grande.
n = 3692
Réponse
n = 3692
7.Tests d'hypothèse et intervalles de confiance
Réponse: t = −4,005
Test sur une moyenne : la statistique de test mesure à combien d'erreurs types la moyenne de l'échantillon se trouve de la valeur affirmée dans H₀ : z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) quand σ est connu, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) quand il est estimé sur l'échantillon. Un intervalle de confiance vaut x̄ ± (valeur critique)·(erreur type).
Erreur type de la différence moyenne
SE = 2,6/√11 = 0,7839
Statistique de test
t = −3,14/0,7839 = −4,005
Réponse
t = −4,005
Avec df = 10, la valeur critique bilatérale à 5 % vaut 2,228 ; |t| est plus grand, donc H₀ est rejetée.
8.Tests d'hypothèse et intervalles de confiance
Réponse: z = 2,806
Test d’hypothèse : la statistique de test = (estimation − valeur sous H₀)/(erreur type sous H₀). La valeur p est la probabilité, en supposant H₀ vraie, d’obtenir une statistique au moins aussi extrême que celle observée : l’aire d’une queue pour un H₁ unilatéral, deux fois l’aire de la queue pour un H₁ bilatéral. Rejetez H₀ quand p ≤ α.
Proportions des échantillons
p̂₁ = 210/300 = 0,7
p̂₂ = 85/150 = 0,5667
p̂ = 295/450 = 0,6556
Erreur type sous H₀
SE = √(0,6556·0,3444·(1/300 + 1/150)) = 0,04752
Statistique de test
z = (0,7 − 0,5667)/0,04752 = 2,806
Réponse
z = 2,806
|z| > 1,96, donc H₀ est rejetée au seuil de 5 % (bilatéral).