Dessinez le tableau 2 × 2 et nommez a, b, c et d avant de calculer.
Lisez la sensibilité et la spécificité dans les colonnes, les valeurs prédictives dans les lignes.
Pour une autre prévalence, imaginez 10 000 personnes et remplissez le tableau avec Se, Sp et la prévalence.
Pour un rapport de vraisemblance, convertissez la probabilité en cote, multipliez, puis reconvertissez.
Pour un essai, trouvez d’abord EER et CER ; puis RR = EER/CER, RRA = CER − EER et NNT = 1/RRA arrondi au supérieur.
Statistique descriptive
Moyenne
x̄ = Σx/n
Écart-type d’échantillon
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Médiane
valeur du milieu des données triées
Score z
z = (x − μ)/σ
Loi normale
68% dans ±1σ, 95% dans ±2σ
Intervalles de confiance
σ connu
x̄ ± z·σ/√n
σ inconnu
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z critique
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Taille d’échantillon
n = (z·σ/E)², rounded up
Méthode
Choisissez entre z (σ de la population connu) et t (seulement l’écart type s de l’échantillon, avec n − 1 degrés de liberté).
Trouvez la valeur critique pour le niveau de confiance.
Marge d’erreur : E = valeur critique × écart type/√n.
Intervalle : x̄ ± E.
Tests d'hypothèse et intervalles de confiance
Test z pour une moyenne
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
Test t pour une moyenne
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Bilatéral à 5%
rejeter H0 si |z| > 1,96
Intervalle de confiance
x̄ ± z·σ/√n
Méthode
Énoncez H₀ et H₁ et déterminez si le test est unilatéral ou bilatéral.
Calculez la statistique de test : (x̄ − μ₀)/(σ/√n), ou avec s et t.
Comparez avec la valeur critique ou trouvez la valeur p.
Rejetez H₀ si la statistique dépasse la valeur critique (p inférieure à α), et énoncez la conclusion en mots.
2Exercices
1.Statistiques de la pratique fondée sur les preuvesMoyen
Exercice d’entraînement (valeurs fictives, pas une recommandation clinique). Un test a une sensibilité de 78 % et une spécificité de 81 %. Trouvez le rapport de vraisemblance négatif LR−. Arrondissez à deux décimales.
Se = 78%Sp = 81%
LR− =
2.Statistiques de la pratique fondée sur les preuvesDifficile
Exercice d’entraînement (valeurs fictives, pas une recommandation clinique). Un patient a une probabilité pré-test de 15 % pour une maladie. Un test de sensibilité 71 % et de spécificité 86 % donne un résultat positive. Trouvez la probabilité post-test p′ de la maladie sous forme de pourcentage. Arrondissez à une décimale.
pré-test 15%Se = 71%Sp = 86%positive
p′ = %
3.Statistique descriptiveMoyen
Trouve l'écart-type d'échantillon s des données : 56, 59, 35, 18, 35, 57.
n = 6
s =
4.Statistique descriptiveDifficile
Une grandeur suit une loi normale de moyenne 170 et d'écart-type 8. Quelle proportion P des valeurs est supérieure à 173,2 ?
μ = 170σ = 8x = 173,2
P =
5.Intervalles de confianceMoyen
Un échantillon de 21 éléments a une moyenne de 87,5 et un écart-type s = 4,5. La population est approximativement normale. Trouvez la marge d’erreur E d’un intervalle de confiance à 95 % pour la moyenne.
n = 21x̄ = 87,5s = 4,595%t(20) = 2,086
E =
6.Intervalles de confianceDifficile
On teste deux engrais. Groupe de parcelles 1 : 11 parcelles, rendement moyen 95,5 kg, écart-type 5 kg. Groupe de parcelles 2 : 15 parcelles, moyenne 83,5 kg, écart-type 8 kg. Supposez les variances égales (t avec variance commune, df = n₁ + n₂ − 2). Trouvez la borne supérieure de l’intervalle de confiance à 99 % pour μ₁ − μ₂.
7.Tests d'hypothèse et intervalles de confianceMoyen
Deux lignes de production fabriquent la même pièce. Ligne 1 : un échantillon de 50 pièces a une longueur moyenne de 148,5 mm, et l’écart-type connu de la ligne vaut 15 mm. Ligne 2 : un échantillon de 60 pièces a une moyenne de 153,6 mm, écart-type connu 11 mm. Trouvez la statistique de test z pour H₀ : μ₁ = μ₂, en prenant la différence x̄₁ − x̄₂ (ligne 1 moins ligne 2).
8.Tests d'hypothèse et intervalles de confianceDifficile
Dans un essai, 48 patients sur 80 sous traitement A guérissent, et 45 sur 100 sous traitement B. En utilisant la proportion commune, trouvez la statistique de test z pour H₀ : p₁ = p₂.
x₁ = 48n₁ = 80x₂ = 45n₂ = 100
z =
3Solutions
1.Statistiques de la pratique fondée sur les preuves
Réponse: LR− = 0,27
Rapports de vraisemblance et mesures du risque : RV+ = sensibilité/(1 − spécificité), RV− = (1 − sensibilité)/spécificité. Dans un essai, EER et CER sont les taux d’événements avec et sans traitement : RR = EER/CER, RRA = CER − EER, RRR = RRA/CER et NNT = 1/RRA, arrondi au supérieur. Dans une étude cas-témoins, seul l’odds ratio OR = ad/(bc) est utilisable. Un taux d’incidence = nouveaux cas/personnes-temps.
Rapport de vraisemblance négatif
LR− = (1 − 0,78)/0,81 = 0,2716 ≈ 0,27
Réponse
LR− = 0,27
2.Statistiques de la pratique fondée sur les preuves
Réponse: p′ = 47,2 %
Les valeurs prédictives dépendent de la prévalence : VPP = Se·p/(Se·p + (1 − Sp)(1 − p)) et VPN = Sp(1 − p)/(Sp(1 − p) + (1 − Se)p). Avec les rapports de vraisemblance : cote pré-test = p/(1 − p), cote post-test = cote pré-test × RV, probabilité = cote/(1 + cote). Pour une population de N, vrais positifs = N·p·Se et faux positifs = N·(1 − p)·(1 − Sp). NNT = 1/(CER × RRR), arrondi au supérieur.
Rapport de vraisemblance
LR+ = 0,71/(1 − 0,86) = 5,071
Cote pré-test
0,15/(1 − 0,15) = 0,1765
Cote post-test
0,1765·5,071 = 0,895
Probabilité post-test
p′ = 0,895/(1 + 0,895) = 0,4723 ≈ 47,2%
Réponse
p′ = 47,2%
3.Statistique descriptive
Réponse: s = 16,57
Statistique descriptive : la moyenne est la somme divisée par n ; la médiane est la valeur du milieu des données triées (la moyenne des deux valeurs du milieu si n est pair). L'écart-type d'échantillon est s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un score z = (x − μ)/σ indique à combien d'écarts-types une valeur se trouve de la moyenne.
Statistique descriptive : la moyenne est la somme divisée par n ; la médiane est la valeur du milieu des données triées (la moyenne des deux valeurs du milieu si n est pair). L'écart-type d'échantillon est s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un score z = (x − μ)/σ indique à combien d'écarts-types une valeur se trouve de la moyenne.
Centrer-réduire
z = 0,4
Table de la loi normale
Φ(0,4) = 0,6554
P = 1 − 0,6554 = 0,3446
Réponse
P = 0,3446
5.Intervalles de confiance
Réponse: E = 2,048
Intervalle de confiance pour une moyenne : x̄ ± marge d’erreur. Si l’écart-type σ de la population est connu, la marge vaut z·σ/√n ; si l’on ne dispose que de l’écart-type de l’échantillon s, utilisez t à n − 1 degrés de liberté : t·s/√n. Valeurs critiques : z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Pour obtenir une marge E ou moins, il faut n ≥ (z·σ/E)², arrondi à l’entier supérieur.
Valeur critique
df = n − 1 = 20, t = 2,086
Marge d'erreur
E = 2,086·4,5/√21 = 2,048
Réponse
E = 2,048
6.Intervalles de confiance
Réponse: borne supérieure = 19,67 kg
Intervalle pour une différence : estimation ± valeur critique × erreur type. Pour deux moyennes indépendantes avec σ connus : SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) et z. Avec des variances inconnues égales : s_p commun et t à n₁ + n₂ − 2 degrés de liberté. Pour des données appariées, travaillez sur les différences : d̄ ± t·s_d/√n.
Écart-type commun
sp² = (10·5² + 14·8²)/24 = 47,75
sp = 6,91
Marge d'erreur
E = 2,797·6,91·√(1/11 + 1/15) = 7,672
Intervalle
12 ± 7,672 → [4,328, 19,67]
Réponse
borne supérieure = 19,67 kg
7.Tests d'hypothèse et intervalles de confiance
Réponse: z = −1,998
Test d’hypothèse : la statistique de test = (estimation − valeur sous H₀)/(erreur type sous H₀). La valeur p est la probabilité, en supposant H₀ vraie, d’obtenir une statistique au moins aussi extrême que celle observée : l’aire d’une queue pour un H₁ unilatéral, deux fois l’aire de la queue pour un H₁ bilatéral. Rejetez H₀ quand p ≤ α.
Erreur type de la différence
SE = √(15²/50 + 11²/60) = √6,517 = 2,553
Statistique de test
z = (148,5 − 153,6)/2,553 = −1,998
Réponse
z = −1,998
|z| > 1,96, donc H₀ est rejetée au seuil de 5 % (bilatéral).
8.Tests d'hypothèse et intervalles de confiance
Réponse: z = 2,001
Test d’hypothèse : la statistique de test = (estimation − valeur sous H₀)/(erreur type sous H₀). La valeur p est la probabilité, en supposant H₀ vraie, d’obtenir une statistique au moins aussi extrême que celle observée : l’aire d’une queue pour un H₁ unilatéral, deux fois l’aire de la queue pour un H₁ bilatéral. Rejetez H₀ quand p ≤ α.
Proportions des échantillons
p̂₁ = 48/80 = 0,6
p̂₂ = 45/100 = 0,45
p̂ = 93/180 = 0,5167
Erreur type sous H₀
SE = √(0,5167·0,4833·(1/80 + 1/100)) = 0,07496
Statistique de test
z = (0,6 − 0,45)/0,07496 = 2,001
Réponse
z = 2,001
|z| > 1,96, donc H₀ est rejetée au seuil de 5 % (bilatéral).