Dessinez le tableau 2 × 2 et nommez a, b, c et d avant de calculer.
Lisez la sensibilité et la spécificité dans les colonnes, les valeurs prédictives dans les lignes.
Pour une autre prévalence, imaginez 10 000 personnes et remplissez le tableau avec Se, Sp et la prévalence.
Pour un rapport de vraisemblance, convertissez la probabilité en cote, multipliez, puis reconvertissez.
Pour un essai, trouvez d’abord EER et CER ; puis RR = EER/CER, RRA = CER − EER et NNT = 1/RRA arrondi au supérieur.
Statistique descriptive
Moyenne
x̄ = Σx/n
Écart-type d’échantillon
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Médiane
valeur du milieu des données triées
Score z
z = (x − μ)/σ
Loi normale
68% dans ±1σ, 95% dans ±2σ
Intervalles de confiance
σ connu
x̄ ± z·σ/√n
σ inconnu
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z critique
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Taille d’échantillon
n = (z·σ/E)², rounded up
Méthode
Choisissez entre z (σ de la population connu) et t (seulement l’écart type s de l’échantillon, avec n − 1 degrés de liberté).
Trouvez la valeur critique pour le niveau de confiance.
Marge d’erreur : E = valeur critique × écart type/√n.
Intervalle : x̄ ± E.
Tests d'hypothèse et intervalles de confiance
Test z pour une moyenne
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
Test t pour une moyenne
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Bilatéral à 5%
rejeter H0 si |z| > 1,96
Intervalle de confiance
x̄ ± z·σ/√n
Méthode
Énoncez H₀ et H₁ et déterminez si le test est unilatéral ou bilatéral.
Calculez la statistique de test : (x̄ − μ₀)/(σ/√n), ou avec s et t.
Comparez avec la valeur critique ou trouvez la valeur p.
Rejetez H₀ si la statistique dépasse la valeur critique (p inférieure à α), et énoncez la conclusion en mots.
2Exercices
1.Statistiques de la pratique fondée sur les preuvesMoyen
Exercice d’entraînement (valeurs fictives, pas une recommandation clinique). Une étude cas-témoins compare 390 patients atteints d’une maladie (cas) et 270 personnes qui n’en sont pas atteintes (témoins). Le tableau indique combien, dans chaque groupe, ont été exposés à un facteur de risque. Trouvez l’odds ratio OR de l’exposition. Arrondissez à deux décimales.
a = 56b = 68c = 334d = 202
OR =
2.Statistiques de la pratique fondée sur les preuvesDifficile
Exercice d’entraînement (valeurs fictives, pas une recommandation clinique). Un test de dépistage a une sensibilité de 86 % et une spécificité de 80 %. Il est utilisé dans une population où la prévalence est de 1 %. Trouvez la valeur prédictive négative NPV sous forme de pourcentage. Arrondissez à une décimale.
Se = 86%Sp = 80%p = 1%
NPV = %
3.Statistique descriptiveMoyen
Trouve l'écart-type d'échantillon s des données : 18, 44, 31, 23, 15, 58, 32.
n = 7
s =
4.Statistique descriptiveDifficile
Les notes d'un examen suivent une loi normale de moyenne 170 et d'écart-type 10. Trouve le score z z d'une note de 180.
μ = 170σ = 10x = 180
z =
5.Intervalles de confianceMoyen
Un échantillon de 9 éléments a une moyenne de 38 et un écart-type s = 18,5. La population est approximativement normale. Trouvez la borne supérieure de l’intervalle de confiance à 99 % pour la moyenne.
n = 9x̄ = 38s = 18,599%t(8) = 3,355
borne supérieure =
6.Intervalles de confianceDifficile
Une étude pilote suggère qu’environ 0,2 des produits sont défectueux. Combien de produits n faut-il contrôler pour qu’un intervalle de confiance à 95 % pour la proportion ait une marge d’erreur d’au plus 0,05 ?
p ≈ 0,2E = 0,0595%
n =
7.Tests d'hypothèse et intervalles de confianceMoyen
La moyenne d’une population est censée valoir 80 ; l’écart-type de la population est connu et vaut 10. Un échantillon aléatoire de 25 observations a une moyenne de 84,28. Testez H₀ : μ = 80 contre H₁ : μ > 80. Trouvez la valeur p p.
μ₀ = 80σ = 10n = 25x̄ = 84,28H₁: μ > μ₀
p =
8.Tests d'hypothèse et intervalles de confianceDifficile
Dans un essai, 48 patients sur 120 sous traitement A guérissent, et 78 sur 150 sous traitement B. En utilisant la proportion commune, trouvez la statistique de test z pour H₀ : p₁ = p₂.
x₁ = 48n₁ = 120x₂ = 78n₂ = 150
z =
3Solutions
1.Statistiques de la pratique fondée sur les preuves
Réponse: OR = 0,5
Rapports de vraisemblance et mesures du risque : RV+ = sensibilité/(1 − spécificité), RV− = (1 − sensibilité)/spécificité. Dans un essai, EER et CER sont les taux d’événements avec et sans traitement : RR = EER/CER, RRA = CER − EER, RRR = RRA/CER et NNT = 1/RRA, arrondi au supérieur. Dans une étude cas-témoins, seul l’odds ratio OR = ad/(bc) est utilisable. Un taux d’incidence = nouveaux cas/personnes-temps.
Cote d’exposition
cas: 56/334 = 0,1677
témoins: 68/202 = 0,3366
Odds ratio
OR = (56·202)/(68·334) = 0,4981 ≈ 0,5
Réponse
OR = 0,5
OR inférieur à 1 : l’exposition est moins fréquente chez les cas, ce qui suggère un effet protecteur.
2.Statistiques de la pratique fondée sur les preuves
Réponse: NPV = 99,8 %
Les valeurs prédictives dépendent de la prévalence : VPP = Se·p/(Se·p + (1 − Sp)(1 − p)) et VPN = Sp(1 − p)/(Sp(1 − p) + (1 − Se)p). Avec les rapports de vraisemblance : cote pré-test = p/(1 − p), cote post-test = cote pré-test × RV, probabilité = cote/(1 + cote). Pour une population de N, vrais positifs = N·p·Se et faux positifs = N·(1 − p)·(1 − Sp). NNT = 1/(CER × RRR), arrondi au supérieur.
Vrais et faux négatifs (par personne)
Sp·(1 − p) = 0,8·0,99 = 0,792
(1 − Se)·p = 0,14·0,01 = 0,0014
Valeur prédictive négative
NPV = 0,792/(0,792 + 0,0014) = 0,9982 ≈ 99,8%
Réponse
NPV = 99,8%
3.Statistique descriptive
Réponse: s = 15,2
Statistique descriptive : la moyenne est la somme divisée par n ; la médiane est la valeur du milieu des données triées (la moyenne des deux valeurs du milieu si n est pair). L'écart-type d'échantillon est s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un score z = (x − μ)/σ indique à combien d'écarts-types une valeur se trouve de la moyenne.
Statistique descriptive : la moyenne est la somme divisée par n ; la médiane est la valeur du milieu des données triées (la moyenne des deux valeurs du milieu si n est pair). L'écart-type d'échantillon est s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un score z = (x − μ)/σ indique à combien d'écarts-types une valeur se trouve de la moyenne.
Centrer-réduire
z = (180 − 170)/10 = 1
Réponse
z = 1
5.Intervalles de confiance
Réponse: borne supérieure = 58,69
Intervalle de confiance pour une moyenne : x̄ ± marge d’erreur. Si l’écart-type σ de la population est connu, la marge vaut z·σ/√n ; si l’on ne dispose que de l’écart-type de l’échantillon s, utilisez t à n − 1 degrés de liberté : t·s/√n. Valeurs critiques : z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Pour obtenir une marge E ou moins, il faut n ≥ (z·σ/E)², arrondi à l’entier supérieur.
Valeur critique
df = n − 1 = 8, t = 3,355
Marge d'erreur
E = 3,355·18,5/√9 = 20,69
Intervalle
38 ± 20,69 → [17,31, 58,69]
Réponse
borne supérieure = 58,69
6.Intervalles de confiance
Réponse: n = 246
Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0,5, which gives the largest n.
Résoudre pour n
n = 1,96²·0,2·0,8/0,05² = 245,9
Arrondir vers le haut
n = 246
Réponse
n = 246
7.Tests d'hypothèse et intervalles de confiance
Réponse: p = 0,01618
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Statistique de test
SE = σ/√n = 10/√25 = 2
z = (84,28 − 80)/2 = 2,14
Aire de la queue
Φ(2,14) = 0,9838
1 − Φ(2,14) = 0,0162
Valeur p
p = 0,01618
Réponse
p = 0,01618
p ≤ 0,05, donc H₀ est rejetée au seuil de 5 %.
8.Tests d'hypothèse et intervalles de confiance
Réponse: z = −1,964
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Proportions des échantillons
p̂₁ = 48/120 = 0,4
p̂₂ = 78/150 = 0,52
p̂ = 126/270 = 0,4667
Erreur type sous H₀
SE = √(0,4667·0,5333·(1/120 + 1/150)) = 0,0611
Statistique de test
z = (0,4 − 0,52)/0,0611 = −1,964
Réponse
z = −1,964
|z| > 1,96, donc H₀ est rejetée au seuil de 5 % (bilatéral).