Dessinez le tableau 2 × 2 et nommez a, b, c et d avant de calculer.
Lisez la sensibilité et la spécificité dans les colonnes, les valeurs prédictives dans les lignes.
Pour une autre prévalence, imaginez 10 000 personnes et remplissez le tableau avec Se, Sp et la prévalence.
Pour un rapport de vraisemblance, convertissez la probabilité en cote, multipliez, puis reconvertissez.
Pour un essai, trouvez d’abord EER et CER ; puis RR = EER/CER, RRA = CER − EER et NNT = 1/RRA arrondi au supérieur.
Statistique descriptive
Moyenne
x̄ = Σx/n
Écart-type d’échantillon
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Médiane
valeur du milieu des données triées
Score z
z = (x − μ)/σ
Loi normale
68% dans ±1σ, 95% dans ±2σ
Intervalles de confiance
σ connu
x̄ ± z·σ/√n
σ inconnu
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z critique
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Taille d’échantillon
n = (z·σ/E)², rounded up
Méthode
Choisissez entre z (σ de la population connu) et t (seulement l’écart type s de l’échantillon, avec n − 1 degrés de liberté).
Trouvez la valeur critique pour le niveau de confiance.
Marge d’erreur : E = valeur critique × écart type/√n.
Intervalle : x̄ ± E.
Tests d'hypothèse et intervalles de confiance
Test z pour une moyenne
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
Test t pour une moyenne
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Bilatéral à 5%
rejeter H0 si |z| > 1,96
Intervalle de confiance
x̄ ± z·σ/√n
Méthode
Énoncez H₀ et H₁ et déterminez si le test est unilatéral ou bilatéral.
Calculez la statistique de test : (x̄ − μ₀)/(σ/√n), ou avec s et t.
Comparez avec la valeur critique ou trouvez la valeur p.
Rejetez H₀ si la statistique dépasse la valeur critique (p inférieure à α), et énoncez la conclusion en mots.
2Exercices
1.Statistiques de la pratique fondée sur les preuvesMoyen
Exercice d’entraînement (valeurs fictives, pas une recommandation clinique). Une étude cas-témoins compare 100 patients atteints d’une maladie (cas) et 400 personnes qui n’en sont pas atteintes (témoins). Le tableau indique combien, dans chaque groupe, ont été exposés à un facteur de risque. Trouvez l’odds ratio OR de l’exposition. Arrondissez à deux décimales.
a = 13b = 108c = 87d = 292
OR =
2.Statistiques de la pratique fondée sur les preuvesDifficile
Exercice d’entraînement (valeurs fictives, pas une recommandation clinique). Un patient a une probabilité pré-test de 40 % pour une maladie. Un test de sensibilité 86 % et de spécificité 73 % donne un résultat positive. Trouvez la probabilité post-test p′ de la maladie sous forme de pourcentage. Arrondissez à une décimale.
pré-test 40%Se = 86%Sp = 73%positive
p′ = %
3.Statistique descriptiveMoyen
Trouve l'écart-type d'échantillon s des données : 50, 25, 21, 34, 53.
n = 5
s =
4.Statistique descriptiveDifficile
Les notes d'un examen suivent une loi normale de moyenne 60 et d'écart-type 5. Trouve le score z z d'une note de 63.
μ = 60σ = 5x = 63
z =
5.Intervalles de confianceMoyen
On mesure la tension artérielle de 6 patients avant et après un traitement. Les différences d = avant − après (mmHg) ont une moyenne de −8,2 et un écart-type de 2,9. Trouvez la borne inférieure de l’intervalle de confiance à 90 % pour la différence moyenne.
n = 6d̄ = −8,2sd = 2,990%t(5) = 2,015
borne inférieure = mmHg
6.Intervalles de confianceDifficile
L’écart-type de la population est 40. Quelle taille d’échantillon n faut-il pour qu’un intervalle de confiance à 99 % pour la moyenne ait une marge d’erreur d’au plus 4 ?
σ = 40E = 499%
n =
7.Tests d'hypothèse et intervalles de confianceMoyen
La moyenne d’une population est censée valoir 100 ; l’écart-type de la population est connu et vaut 48. Un échantillon aléatoire de 144 observations a une moyenne de 92,72. Testez H₀ : μ = 100 contre H₁ : μ < 100. Trouvez la valeur p p.
μ₀ = 100σ = 48n = 144x̄ = 92,72H₁: μ < μ₀
p =
8.Tests d'hypothèse et intervalles de confianceDifficile
Un test z unilatéral de H₀ : μ = 80 contre H₁ : μ > 80 est réalisé au seuil α = 0,05 avec un échantillon de 36 ; l’écart-type est connu et vaut 18. En réalité, la moyenne vaut 88,1. Trouvez la puissance 1 − β du test en pourcentage.
μ₀ = 80μ = 88,1σ = 18n = 36α = 0,05
1 − β = %
3Solutions
1.Statistiques de la pratique fondée sur les preuves
Réponse: OR = 0,4
Rapports de vraisemblance et mesures du risque : RV+ = sensibilité/(1 − spécificité), RV− = (1 − sensibilité)/spécificité. Dans un essai, EER et CER sont les taux d’événements avec et sans traitement : RR = EER/CER, RRA = CER − EER, RRR = RRA/CER et NNT = 1/RRA, arrondi au supérieur. Dans une étude cas-témoins, seul l’odds ratio OR = ad/(bc) est utilisable. Un taux d’incidence = nouveaux cas/personnes-temps.
Cote d’exposition
cas: 13/87 = 0,1494
témoins: 108/292 = 0,3699
Odds ratio
OR = (13·292)/(108·87) = 0,404 ≈ 0,4
Réponse
OR = 0,4
OR inférieur à 1 : l’exposition est moins fréquente chez les cas, ce qui suggère un effet protecteur.
2.Statistiques de la pratique fondée sur les preuves
Réponse: p′ = 68 %
Les valeurs prédictives dépendent de la prévalence : VPP = Se·p/(Se·p + (1 − Sp)(1 − p)) et VPN = Sp(1 − p)/(Sp(1 − p) + (1 − Se)p). Avec les rapports de vraisemblance : cote pré-test = p/(1 − p), cote post-test = cote pré-test × RV, probabilité = cote/(1 + cote). Pour une population de N, vrais positifs = N·p·Se et faux positifs = N·(1 − p)·(1 − Sp). NNT = 1/(CER × RRR), arrondi au supérieur.
Rapport de vraisemblance
LR+ = 0,86/(1 − 0,73) = 3,185
Cote pré-test
0,4/(1 − 0,4) = 0,6667
Cote post-test
0,6667·3,185 = 2,123
Probabilité post-test
p′ = 2,123/(1 + 2,123) = 0,6798 ≈ 68%
Réponse
p′ = 68%
3.Statistique descriptive
Réponse: s = 14,43
Statistique descriptive : la moyenne est la somme divisée par n ; la médiane est la valeur du milieu des données triées (la moyenne des deux valeurs du milieu si n est pair). L'écart-type d'échantillon est s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un score z = (x − μ)/σ indique à combien d'écarts-types une valeur se trouve de la moyenne.
Statistique descriptive : la moyenne est la somme divisée par n ; la médiane est la valeur du milieu des données triées (la moyenne des deux valeurs du milieu si n est pair). L'écart-type d'échantillon est s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un score z = (x − μ)/σ indique à combien d'écarts-types une valeur se trouve de la moyenne.
Centrer-réduire
z = (63 − 60)/5 = 0,6
Réponse
z = 0,6
5.Intervalles de confiance
Réponse: borne inférieure = −10,59 mmHg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Valeur critique
df = 5, t = 2,015
Marge d'erreur
E = 2,015·2,9/√6 = 2,386
Intervalle
−8,2 ± 2,386 → [−10,59, −5,814]
Réponse
borne inférieure = −10,59 mmHg
6.Intervalles de confiance
Réponse: n = 664
Intervalle de confiance pour une moyenne : x̄ ± marge d’erreur. Si l’écart-type σ de la population est connu, la marge vaut z·σ/√n ; si l’on ne dispose que de l’écart-type de l’échantillon s, utilisez t à n − 1 degrés de liberté : t·s/√n. Valeurs critiques : z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Pour obtenir une marge E ou moins, il faut n ≥ (z·σ/E)², arrondi à l’entier supérieur.
Résoudre pour n
n = (2,576·40/4)² = 663,6
Arrondir vers le haut
Une taille d’échantillon est un nombre entier, et arrondir vers le bas rendrait la marge trop grande.
n = 664
Réponse
n = 664
7.Tests d'hypothèse et intervalles de confiance
Réponse: p = 0,03438
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Statistique de test
SE = σ/√n = 48/√144 = 4
z = (92,72 − 100)/4 = −1,82
Aire de la queue
Φ(1,82) = 0,9656
1 − Φ(1,82) = 0,0344
Valeur p
p = 0,03438
Réponse
p = 0,03438
p ≤ 0,05, donc H₀ est rejetée au seuil de 5 %.
8.Tests d'hypothèse et intervalles de confiance
Réponse: 1 − β = 85,43 %
Puissance d’un test : la puissance 1 − β est la probabilité de rejeter H₀ quand elle est fausse. Trouvez le seuil x̄c à partir de μ₀ et z_α, puis calculez la probabilité de dépasser x̄c avec la vraie moyenne : z = (x̄c − μ)/(σ/√n).