Dessinez le tableau 2 × 2 et nommez a, b, c et d avant de calculer.
Lisez la sensibilité et la spécificité dans les colonnes, les valeurs prédictives dans les lignes.
Pour une autre prévalence, imaginez 10 000 personnes et remplissez le tableau avec Se, Sp et la prévalence.
Pour un rapport de vraisemblance, convertissez la probabilité en cote, multipliez, puis reconvertissez.
Pour un essai, trouvez d’abord EER et CER ; puis RR = EER/CER, RRA = CER − EER et NNT = 1/RRA arrondi au supérieur.
Statistique descriptive
Moyenne
x̄ = Σx/n
Écart-type d’échantillon
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Médiane
valeur du milieu des données triées
Score z
z = (x − μ)/σ
Loi normale
68% dans ±1σ, 95% dans ±2σ
Intervalles de confiance
σ connu
x̄ ± z·σ/√n
σ inconnu
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z critique
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Taille d’échantillon
n = (z·σ/E)², rounded up
Méthode
Choisissez entre z (σ de la population connu) et t (seulement l’écart type s de l’échantillon, avec n − 1 degrés de liberté).
Trouvez la valeur critique pour le niveau de confiance.
Marge d’erreur : E = valeur critique × écart type/√n.
Intervalle : x̄ ± E.
Tests d'hypothèse et intervalles de confiance
Test z pour une moyenne
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
Test t pour une moyenne
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Bilatéral à 5%
rejeter H0 si |z| > 1,96
Intervalle de confiance
x̄ ± z·σ/√n
Méthode
Énoncez H₀ et H₁ et déterminez si le test est unilatéral ou bilatéral.
Calculez la statistique de test : (x̄ − μ₀)/(σ/√n), ou avec s et t.
Comparez avec la valeur critique ou trouvez la valeur p.
Rejetez H₀ si la statistique dépasse la valeur critique (p inférieure à α), et énoncez la conclusion en mots.
2Exercices
1.Statistiques de la pratique fondée sur les preuvesMoyen
Exercice d’entraînement (valeurs fictives, pas une recommandation clinique). Dans un essai randomisé, 860 patients ont reçu un nouveau traitement et 830 ont reçu le traitement témoin. Le tableau indique combien, dans chaque groupe, ont présenté l’événement (un événement indésirable tel qu’un AVC). Trouvez la réduction relative du risque RRR sous forme de pourcentage. Arrondissez à une décimale.
traitement: 117/860témoin: 282/830
RRR = %
2.Statistiques de la pratique fondée sur les preuvesDifficile
Exercice d’entraînement (valeurs fictives, pas une recommandation clinique). 10 000 personnes sont dépistées avec un test de sensibilité 74 % et de spécificité 79 %. La prévalence de la maladie est de 20 %. Combien de résultats vrais positifs TP attend-on ?
N = 10 000p = 20%Se = 74%Sp = 79%
TP =
3.Statistique descriptiveMoyen
Trouve l'écart-type d'échantillon s des données : 59, 21, 16, 13, 28.
n = 5
s =
4.Statistique descriptiveDifficile
Une grandeur suit une loi normale de moyenne 170 et d'écart-type 5. Quelle proportion P des valeurs est supérieure à 176,3 ?
μ = 170σ = 5x = 176,3
P =
5.Intervalles de confianceMoyen
Un échantillon de 25 éléments a une moyenne de 61,5 et un écart-type s = 9,5. La population est approximativement normale. Trouvez la borne inférieure de l’intervalle de confiance à 99 % pour la moyenne.
n = 25x̄ = 61,5s = 9,599%t(24) = 2,797
borne inférieure =
6.Intervalles de confianceDifficile
On teste deux engrais. Groupe de parcelles 1 : 5 parcelles, rendement moyen 18 kg, écart-type 6,5 kg. Groupe de parcelles 2 : 7 parcelles, moyenne 27,5 kg, écart-type 4,5 kg. Supposez les variances égales (t avec variance commune, df = n₁ + n₂ − 2). Trouvez la borne inférieure de l’intervalle de confiance à 99 % pour μ₁ − μ₂.
7.Tests d'hypothèse et intervalles de confianceMoyen
La moyenne d’une population est censée valoir 100 ; l’écart-type de la population est connu et vaut 4. Un échantillon aléatoire de 64 observations a une moyenne de 99,06. Testez H₀ : μ = 100 contre H₁ : μ < 100. Trouvez la valeur p p.
μ₀ = 100σ = 4n = 64x̄ = 99,06H₁: μ < μ₀
p =
8.Tests d'hypothèse et intervalles de confianceDifficile
Un test z unilatéral au seuil α = 0,01 doit détecter un décalage de la moyenne de 4 unités avec une puissance de 95 %. L’écart-type vaut 21. Trouvez la taille d’échantillon minimale n.
1.Statistiques de la pratique fondée sur les preuves
Réponse: RRR = 60 %
Rapports de vraisemblance et mesures du risque : RV+ = sensibilité/(1 − spécificité), RV− = (1 − sensibilité)/spécificité. Dans un essai, EER et CER sont les taux d’événements avec et sans traitement : RR = EER/CER, RRA = CER − EER, RRR = RRA/CER et NNT = 1/RRA, arrondi au supérieur. Dans une étude cas-témoins, seul l’odds ratio OR = ad/(bc) est utilisable. Un taux d’incidence = nouveaux cas/personnes-temps.
Taux d’événements
EER = 117/860 = 0,136
CER = 282/830 = 0,3398
Réduction relative du risque
ARR = 0,3398 − 0,136 = 0,2037
RRR = 0,2037/0,3398 = 0,5996 ≈ 60%
Réponse
RRR = 60%
2.Statistiques de la pratique fondée sur les preuves
Réponse: TP = 1480
Les valeurs prédictives dépendent de la prévalence : VPP = Se·p/(Se·p + (1 − Sp)(1 − p)) et VPN = Sp(1 − p)/(Sp(1 − p) + (1 − Se)p). Avec les rapports de vraisemblance : cote pré-test = p/(1 − p), cote post-test = cote pré-test × RV, probabilité = cote/(1 + cote). Pour une population de N, vrais positifs = N·p·Se et faux positifs = N·(1 − p)·(1 − Sp). NNT = 1/(CER × RRR), arrondi au supérieur.
Avec et sans la maladie
10 000·0,2 = 2000
10 000 − 2000 = 8000
Vrais positifs
TP = 2000·0,74 = 1480
Réponse
TP = 1480
3.Statistique descriptive
Réponse: s = 18,56
Statistique descriptive : la moyenne est la somme divisée par n ; la médiane est la valeur du milieu des données triées (la moyenne des deux valeurs du milieu si n est pair). L'écart-type d'échantillon est s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un score z = (x − μ)/σ indique à combien d'écarts-types une valeur se trouve de la moyenne.
Statistique descriptive : la moyenne est la somme divisée par n ; la médiane est la valeur du milieu des données triées (la moyenne des deux valeurs du milieu si n est pair). L'écart-type d'échantillon est s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un score z = (x − μ)/σ indique à combien d'écarts-types une valeur se trouve de la moyenne.
Centrer-réduire
z = 1,25
Table de la loi normale
Φ(1,25) = 0,8944
P = 1 − 0,8944 = 0,1056
Réponse
P = 0,1056
5.Intervalles de confiance
Réponse: borne inférieure = 56,19
Intervalle de confiance pour une moyenne : x̄ ± marge d’erreur. Si l’écart-type σ de la population est connu, la marge vaut z·σ/√n ; si l’on ne dispose que de l’écart-type de l’échantillon s, utilisez t à n − 1 degrés de liberté : t·s/√n. Valeurs critiques : z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Pour obtenir une marge E ou moins, il faut n ≥ (z·σ/E)², arrondi à l’entier supérieur.
Valeur critique
df = n − 1 = 24, t = 2,797
Marge d'erreur
E = 2,797·9,5/√25 = 5,314
Intervalle
61,5 ± 5,314 → [56,19, 66,81]
Réponse
borne inférieure = 56,19
6.Intervalles de confiance
Réponse: borne inférieure = −19,5 kg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Écart-type commun
sp² = (4·6,5² + 6·4,5²)/10 = 29,05
sp = 5,39
Marge d'erreur
E = 3,169·5,39·√(1/5 + 1/7) = 10
Intervalle
−9,5 ± 10 → [−19,5, 0,5012]
Réponse
borne inférieure = −19,5 kg
7.Tests d'hypothèse et intervalles de confiance
Réponse: p = 0,03005
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Statistique de test
SE = σ/√n = 4/√64 = 0,5
z = (99,06 − 100)/0,5 = −1,88
Aire de la queue
Φ(1,88) = 0,9699
1 − Φ(1,88) = 0,0301
Valeur p
p = 0,03005
Réponse
p = 0,03005
p ≤ 0,05, donc H₀ est rejetée au seuil de 5 %.
8.Tests d'hypothèse et intervalles de confiance
Réponse: n = 435
Taille d’échantillon pour un test : pour détecter un vrai décalage δ avec une puissance 1 − β dans un test z unilatéral au seuil α, l’erreur type doit vérifier δ = (z_α + z_β)·σ/√n, donc n = ((z_α + z_β)·σ/δ)², arrondi à l’entier supérieur.