Dessinez le tableau 2 × 2 et nommez a, b, c et d avant de calculer.
Lisez la sensibilité et la spécificité dans les colonnes, les valeurs prédictives dans les lignes.
Pour une autre prévalence, imaginez 10 000 personnes et remplissez le tableau avec Se, Sp et la prévalence.
Pour un rapport de vraisemblance, convertissez la probabilité en cote, multipliez, puis reconvertissez.
Pour un essai, trouvez d’abord EER et CER ; puis RR = EER/CER, RRA = CER − EER et NNT = 1/RRA arrondi au supérieur.
Statistique descriptive
Moyenne
x̄ = Σx/n
Écart-type d’échantillon
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Médiane
valeur du milieu des données triées
Score z
z = (x − μ)/σ
Loi normale
68% dans ±1σ, 95% dans ±2σ
Intervalles de confiance
σ connu
x̄ ± z·σ/√n
σ inconnu
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z critique
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Taille d’échantillon
n = (z·σ/E)², rounded up
Méthode
Choisissez entre z (σ de la population connu) et t (seulement l’écart type s de l’échantillon, avec n − 1 degrés de liberté).
Trouvez la valeur critique pour le niveau de confiance.
Marge d’erreur : E = valeur critique × écart type/√n.
Intervalle : x̄ ± E.
Tests d'hypothèse et intervalles de confiance
Test z pour une moyenne
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
Test t pour une moyenne
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Bilatéral à 5%
rejeter H0 si |z| > 1,96
Intervalle de confiance
x̄ ± z·σ/√n
Méthode
Énoncez H₀ et H₁ et déterminez si le test est unilatéral ou bilatéral.
Calculez la statistique de test : (x̄ − μ₀)/(σ/√n), ou avec s et t.
Comparez avec la valeur critique ou trouvez la valeur p.
Rejetez H₀ si la statistique dépasse la valeur critique (p inférieure à α), et énoncez la conclusion en mots.
2Exercices
1.Statistiques de la pratique fondée sur les preuvesMoyen
Exercice d’entraînement (valeurs fictives, pas une recommandation clinique). Dans un essai randomisé, 780 patients ont reçu un nouveau traitement et 440 ont reçu le traitement témoin. Le tableau indique combien, dans chaque groupe, ont présenté l’événement (un événement indésirable tel qu’un AVC). Trouvez le nombre de patients à traiter NNT pour éviter un événement. Arrondissez au nombre entier de patients supérieur.
traitement: 162/780témoin: 114/440
NNT =
2.Statistiques de la pratique fondée sur les preuvesDifficile
Exercice d’entraînement (valeurs fictives, pas une recommandation clinique). 10 000 personnes sont dépistées avec un test de sensibilité 84 % et de spécificité 76 %. La prévalence de la maladie est de 21 %. Combien de résultats positifs n₊ attend-on au total ?
N = 10 000p = 21%Se = 84%Sp = 76%
n₊ =
3.Statistique descriptiveMoyen
Trouve l'écart-type d'échantillon s des données : 25, 43, 57, 39, 17.
n = 5
s =
4.Statistique descriptiveDifficile
Une grandeur suit une loi normale de moyenne 50 et d'écart-type 5. Quelle proportion P des valeurs est inférieure à 53 ?
μ = 50σ = 5x = 53
P =
5.Intervalles de confianceMoyen
On mesure la tension artérielle de 12 patients avant et après un traitement. Les différences d = avant − après (mmHg) ont une moyenne de 6,6 et un écart-type de 7,5. Trouvez la borne supérieure de l’intervalle de confiance à 90 % pour la différence moyenne.
n = 12d̄ = 6,6sd = 7,590%t(11) = 1,796
borne supérieure = mmHg
6.Intervalles de confianceDifficile
On ne sait rien à l’avance sur la proportion de produits défectueux. Combien de produits n faut-il contrôler pour qu’un intervalle de confiance à 90 % pour la proportion ait une marge d’erreur d’au plus 0,025 ?
p = 0,5E = 0,02590%
n =
7.Tests d'hypothèse et intervalles de confianceMoyen
On compare deux méthodes d’enseignement. Groupe 1 : 7 étudiants, note moyenne 38, écart-type 9,5. Groupe 2 : 5 étudiants, note moyenne 54,2, écart-type 5,5. Supposez les variances des populations égales et utilisez le test t à deux échantillons avec variance commune. Trouvez la statistique de test t pour H₀ : μ₁ = μ₂, en prenant la différence x̄₁ − x̄₂ (groupe 1 moins groupe 2).
n₁ = 7x̄₁ = 38s₁ = 9,5n₂ = 5x̄₂ = 54,2s₂ = 5,5
t =
8.Tests d'hypothèse et intervalles de confianceDifficile
Un test z unilatéral de H₀ : μ = 50 contre H₁ : μ < 50 est réalisé au seuil α = 0.10 avec un échantillon de 100 ; l’écart-type est connu et vaut 25. En réalité, la moyenne vaut 47.5. Trouvez la probabilité d’une erreur de deuxième espèce β en pourcentage.
μ₀ = 50μ = 47,5σ = 25n = 100α = 0,10
β = %
3Solutions
1.Statistiques de la pratique fondée sur les preuves
Réponse: NNT = 20
Rapports de vraisemblance et mesures du risque : RV+ = sensibilité/(1 − spécificité), RV− = (1 − sensibilité)/spécificité. Dans un essai, EER et CER sont les taux d’événements avec et sans traitement : RR = EER/CER, RRA = CER − EER, RRR = RRA/CER et NNT = 1/RRA, arrondi au supérieur. Dans une étude cas-témoins, seul l’odds ratio OR = ad/(bc) est utilisable. Un taux d’incidence = nouveaux cas/personnes-temps.
Taux d’événements
EER = 162/780 = 0,2077
CER = 114/440 = 0,2591
Nombre de patients à traiter (NNT)
ARR = 0,2591 − 0,2077 = 0,0514
NNT = 1/0,0514 = 19,46 → 20
Réponse
NNT = 20
Traiter 20 patients évite environ un événement.
2.Statistiques de la pratique fondée sur les preuves
Réponse: n₊ = 3660
Les valeurs prédictives dépendent de la prévalence : VPP = Se·p/(Se·p + (1 − Sp)(1 − p)) et VPN = Sp(1 − p)/(Sp(1 − p) + (1 − Se)p). Avec les rapports de vraisemblance : cote pré-test = p/(1 − p), cote post-test = cote pré-test × RV, probabilité = cote/(1 + cote). Pour une population de N, vrais positifs = N·p·Se et faux positifs = N·(1 − p)·(1 − Sp). NNT = 1/(CER × RRR), arrondi au supérieur.
Avec et sans la maladie
10 000·0,21 = 2100
10 000 − 2100 = 7900
Tous les résultats positifs
TP = 2100·0,84 = 1764
FP = 7900·0,24 = 1896
n₊ = 1764 + 1896 = 3660
Réponse
n₊ = 3660
Sur les 3660 positifs, seuls 1764 ont la maladie (VPP 48,2 %).
3.Statistique descriptive
Réponse: s = 15,66
Statistique descriptive : la moyenne est la somme divisée par n ; la médiane est la valeur du milieu des données triées (la moyenne des deux valeurs du milieu si n est pair). L'écart-type d'échantillon est s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un score z = (x − μ)/σ indique à combien d'écarts-types une valeur se trouve de la moyenne.
Statistique descriptive : la moyenne est la somme divisée par n ; la médiane est la valeur du milieu des données triées (la moyenne des deux valeurs du milieu si n est pair). L'écart-type d'échantillon est s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un score z = (x − μ)/σ indique à combien d'écarts-types une valeur se trouve de la moyenne.
Centrer-réduire
z = 0,6
Table de la loi normale
Φ(0,6) = 0,7257
P = 0,7257
Réponse
P = 0,7257
5.Intervalles de confiance
Réponse: borne supérieure = 10,49 mmHg
Intervalle pour une différence : estimation ± valeur critique × erreur type. Pour deux moyennes indépendantes avec σ connus : SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) et z. Avec des variances inconnues égales : s_p commun et t à n₁ + n₂ − 2 degrés de liberté. Pour des données appariées, travaillez sur les différences : d̄ ± t·s_d/√n.
Valeur critique
df = 11, t = 1,796
Marge d'erreur
E = 1,796·7,5/√12 = 3,888
Intervalle
6,6 ± 3,888 → [2,712, 10,49]
Réponse
borne supérieure = 10,49 mmHg
6.Intervalles de confiance
Réponse: n = 1083
Intervalle de confiance d’une proportion : p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), où p̂ = x/n. Pour obtenir une marge E, il faut n ≥ z²·p(1 − p)/E², arrondi à l’entier supérieur ; sans estimation préalable, prenez p = 0,5, qui donne le plus grand n.
Résoudre pour n
n = 1,645²·0,5·0,5/0,025² = 1082
Arrondir vers le haut
n = 1083
Réponse
n = 1083
7.Tests d'hypothèse et intervalles de confiance
Réponse: t = −3,399
Test d’hypothèse : la statistique de test = (estimation − valeur sous H₀)/(erreur type sous H₀). La valeur p est la probabilité, en supposant H₀ vraie, d’obtenir une statistique au moins aussi extrême que celle observée : l’aire d’une queue pour un H₁ unilatéral, deux fois l’aire de la queue pour un H₁ bilatéral. Rejetez H₀ quand p ≤ α.
Variance commune
sp² = (6·9,5² + 4·5,5²)/10 = 66,25
sp = 8,139
Erreur type
SE = 8,139·√(1/7 + 1/5) = 4,766
Statistique de test
t = (38 − 54,2)/4,766 = −3,399
Réponse
t = −3,399
Avec df = 10, la valeur critique bilatérale à 5 % vaut 2,228 ; |t| est plus grand, donc H₀ est rejetée.
8.Tests d'hypothèse et intervalles de confiance
Réponse: β = 61,1 %
Puissance d’un test : la puissance 1 − β est la probabilité de rejeter H₀ quand elle est fausse. Trouvez le seuil x̄c à partir de μ₀ et z_α, puis calculez la probabilité de dépasser x̄c avec la vraie moyenne : z = (x̄c − μ)/(σ/√n).