Dessinez le tableau 2 × 2 et nommez a, b, c et d avant de calculer.
Lisez la sensibilité et la spécificité dans les colonnes, les valeurs prédictives dans les lignes.
Pour une autre prévalence, imaginez 10 000 personnes et remplissez le tableau avec Se, Sp et la prévalence.
Pour un rapport de vraisemblance, convertissez la probabilité en cote, multipliez, puis reconvertissez.
Pour un essai, trouvez d’abord EER et CER ; puis RR = EER/CER, RRA = CER − EER et NNT = 1/RRA arrondi au supérieur.
Statistique descriptive
Moyenne
x̄ = Σx/n
Écart-type d’échantillon
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Médiane
valeur du milieu des données triées
Score z
z = (x − μ)/σ
Loi normale
68% dans ±1σ, 95% dans ±2σ
Intervalles de confiance
σ connu
x̄ ± z·σ/√n
σ inconnu
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z critique
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Taille d’échantillon
n = (z·σ/E)², rounded up
Méthode
Choisissez entre z (σ de la population connu) et t (seulement l’écart type s de l’échantillon, avec n − 1 degrés de liberté).
Trouvez la valeur critique pour le niveau de confiance.
Marge d’erreur : E = valeur critique × écart type/√n.
Intervalle : x̄ ± E.
Tests d'hypothèse et intervalles de confiance
Test z pour une moyenne
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
Test t pour une moyenne
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Bilatéral à 5%
rejeter H0 si |z| > 1,96
Intervalle de confiance
x̄ ± z·σ/√n
Méthode
Énoncez H₀ et H₁ et déterminez si le test est unilatéral ou bilatéral.
Calculez la statistique de test : (x̄ − μ₀)/(σ/√n), ou avec s et t.
Comparez avec la valeur critique ou trouvez la valeur p.
Rejetez H₀ si la statistique dépasse la valeur critique (p inférieure à α), et énoncez la conclusion en mots.
2Exercices
1.Statistiques de la pratique fondée sur les preuvesMoyen
Exercice d’entraînement (valeurs fictives, pas une recommandation clinique). Dans une cohorte, des groupes de personnes ont été suivis pendant des durées différentes (voir le tableau : nombre de personnes et années de suivi de chaque groupe). Pendant le suivi, 101 nouveaux cas sont survenus. Trouvez le taux d’incidence IR pour 1000 personnes-années. Arrondissez à une décimale.
330 × 5 ans90 × 5 ans150 × 3 ans101 nouveaux cas
IR = pour 1000 personnes-années
2.Statistiques de la pratique fondée sur les preuvesDifficile
Exercice d’entraînement (valeurs fictives, pas une recommandation clinique). Un patient a une probabilité pré-test de 60 % pour une maladie. Un test de sensibilité 65 % et de spécificité 75 % donne un résultat positive. Trouvez la probabilité post-test p′ de la maladie sous forme de pourcentage. Arrondissez à une décimale.
pré-test 60%Se = 65%Sp = 75%positive
p′ = %
3.Statistique descriptiveMoyen
Trouve l'écart-type d'échantillon s des données : 58, 56, 48, 34, 50, 57, 46.
n = 7
s =
4.Statistique descriptiveDifficile
Une grandeur suit une loi normale de moyenne 60 et d'écart-type 8. Quelle proportion P des valeurs est inférieure à 76 ?
μ = 60σ = 8x = 76
P =
5.Intervalles de confianceMoyen
On compare l’autonomie de la batterie de deux modèles de téléphone. Modèle 1 : 100 téléphones, moyenne 129,5 h, écart-type connu 13 h. Modèle 2 : 40 téléphones, moyenne 126,5 h, écart-type connu 3 h. Trouvez la borne inférieure de l’intervalle de confiance à 99 % pour μ₁ − μ₂.
Les diamètres de 30 arbres usinés ont un écart-type d’échantillon de 6,2 µm. En supposant les diamètres normalement distribués, trouvez la borne inférieure σ de l’intervalle de confiance à 95 % pour l’écart-type de la population. Avec df = 29, 2,5 % de la loi du χ² se trouve en dessous de 16,047 et 2,5 % au-dessus de 45,722.
n = 30s = 6,2 µmχ² = 16,047, 45,722
σ = µm
7.Tests d'hypothèse et intervalles de confianceMoyen
Un échantillon de 25 étudiants a une note moyenne de 502,1 et un écart-type d'échantillon de 5. Calcule la statistique de test t pour H₀ : μ = 500.
μ₀ = 500x̄ = 502,1s = 5n = 25
t =
8.Tests d'hypothèse et intervalles de confianceDifficile
Quelle taille doit avoir un échantillon pour que l'intervalle de confiance à 99 % d'une moyenne ait une marge d'erreur d'au plus 2 ? L'écart-type est 15. Trouve la plus petite taille d'échantillon n.
σ = 15E = 299%
n =
3Solutions
1.Statistiques de la pratique fondée sur les preuves
Réponse: IR = 39,6 pour 1000 personnes-années
Rapports de vraisemblance et mesures du risque : RV+ = sensibilité/(1 − spécificité), RV− = (1 − sensibilité)/spécificité. Dans un essai, EER et CER sont les taux d’événements avec et sans traitement : RR = EER/CER, RRA = CER − EER, RRR = RRA/CER et NNT = 1/RRA, arrondi au supérieur. Dans une étude cas-témoins, seul l’odds ratio OR = ad/(bc) est utilisable. Un taux d’incidence = nouveaux cas/personnes-temps.
Personnes-années
PY = 330·5 + 90·5 + 150·3 = 2550
Taux d’incidence
IR = 101/2550·1000 = 39,6 pour 1000 personnes-années
Réponse
IR = 39,6 pour 1000 personnes-années
2.Statistiques de la pratique fondée sur les preuves
Réponse: p′ = 79,6 %
Les valeurs prédictives dépendent de la prévalence : VPP = Se·p/(Se·p + (1 − Sp)(1 − p)) et VPN = Sp(1 − p)/(Sp(1 − p) + (1 − Se)p). Avec les rapports de vraisemblance : cote pré-test = p/(1 − p), cote post-test = cote pré-test × RV, probabilité = cote/(1 + cote). Pour une population de N, vrais positifs = N·p·Se et faux positifs = N·(1 − p)·(1 − Sp). NNT = 1/(CER × RRR), arrondi au supérieur.
Rapport de vraisemblance
LR+ = 0,65/(1 − 0,75) = 2,6
Cote pré-test
0,6/(1 − 0,6) = 1,5
Cote post-test
1,5·2,6 = 3,9
Probabilité post-test
p′ = 3,9/(1 + 3,9) = 0,7959 ≈ 79,6%
Réponse
p′ = 79,6%
3.Statistique descriptive
Réponse: s = 8,415
Statistique descriptive : la moyenne est la somme divisée par n ; la médiane est la valeur du milieu des données triées (la moyenne des deux valeurs du milieu si n est pair). L'écart-type d'échantillon est s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un score z = (x − μ)/σ indique à combien d'écarts-types une valeur se trouve de la moyenne.
Statistique descriptive : la moyenne est la somme divisée par n ; la médiane est la valeur du milieu des données triées (la moyenne des deux valeurs du milieu si n est pair). L'écart-type d'échantillon est s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un score z = (x − μ)/σ indique à combien d'écarts-types une valeur se trouve de la moyenne.
Centrer-réduire
z = 2
Table de la loi normale
Φ(2) = 0,9772
P = 0,9772
Réponse
P = 0,9772
5.Intervalles de confiance
Réponse: borne inférieure = −0,5648 h
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Estimation ponctuelle
x̄₁ − x̄₂ = 129,5 − 126,5 = 3
Erreur type
SE = √(13²/100 + 3²/40) = 1,384
Marge d'erreur
E = 2,576·1,384 = 3,565
Intervalle
3 ± 3,565 → [−0,5648, 6,565]
Réponse
borne inférieure = −0,5648 h
L’intervalle contient 0, donc les données ne montrent pas de différence significative.
6.Intervalles de confiance
Réponse: σ = 4,938 µm
Intervalle pour une variance : (n − 1)s²/σ² suit une loi du χ² à n − 1 degrés de liberté. L’intervalle à 95 % pour σ² va de (n − 1)s² divisé par la valeur supérieure du χ² (2,5 % au-dessus) à (n − 1)s² divisé par la valeur inférieure du χ² (2,5 % en dessous) ; l’intervalle pour σ est la racine carrée des deux bornes. Il n’est pas symétrique autour de s.
Somme des carrés
(n − 1)s² = 29·6,2² = 1115
Bornes pour σ²
1115/45,722 = 24,38
1115/16,047 = 69,47
Borne pour σ
σ = √24,38 = 4,938 µm
Réponse
σ = 4,938 µm
Intervalle à 95 % pour σ : [4,938, 8,335] µm.
7.Tests d'hypothèse et intervalles de confiance
Réponse: t = 2,1
Test sur une moyenne : la statistique de test mesure à combien d'erreurs types la moyenne de l'échantillon se trouve de la valeur affirmée dans H₀ : z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) quand σ est connu, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) quand il est estimé sur l'échantillon. Un intervalle de confiance vaut x̄ ± (valeur critique)·(erreur type).
Erreur type
SE = 5/√25 = 5/5 = 1
Statistique de test
t = (502,1 − 500)/1 = 2,1
Réponse
t = 2,1
t0,025; df = 24 = 2,064
|t| > 2,064, donc H₀ est rejetée au seuil de 5 % (bilatéral).
8.Tests d'hypothèse et intervalles de confiance
Réponse: n = 374
Test sur une moyenne : la statistique de test mesure à combien d'erreurs types la moyenne de l'échantillon se trouve de la valeur affirmée dans H₀ : z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) quand σ est connu, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) quand il est estimé sur l'échantillon. Un intervalle de confiance vaut x̄ ± (valeur critique)·(erreur type).