Dessinez le tableau 2 × 2 et nommez a, b, c et d avant de calculer.
Lisez la sensibilité et la spécificité dans les colonnes, les valeurs prédictives dans les lignes.
Pour une autre prévalence, imaginez 10 000 personnes et remplissez le tableau avec Se, Sp et la prévalence.
Pour un rapport de vraisemblance, convertissez la probabilité en cote, multipliez, puis reconvertissez.
Pour un essai, trouvez d’abord EER et CER ; puis RR = EER/CER, RRA = CER − EER et NNT = 1/RRA arrondi au supérieur.
Statistique descriptive
Moyenne
x̄ = Σx/n
Écart-type d’échantillon
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Médiane
valeur du milieu des données triées
Score z
z = (x − μ)/σ
Loi normale
68% dans ±1σ, 95% dans ±2σ
Intervalles de confiance
σ connu
x̄ ± z·σ/√n
σ inconnu
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z critique
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Taille d’échantillon
n = (z·σ/E)², rounded up
Méthode
Choisissez entre z (σ de la population connu) et t (seulement l’écart type s de l’échantillon, avec n − 1 degrés de liberté).
Trouvez la valeur critique pour le niveau de confiance.
Marge d’erreur : E = valeur critique × écart type/√n.
Intervalle : x̄ ± E.
Tests d'hypothèse et intervalles de confiance
Test z pour une moyenne
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
Test t pour une moyenne
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Bilatéral à 5%
rejeter H0 si |z| > 1,96
Intervalle de confiance
x̄ ± z·σ/√n
Méthode
Énoncez H₀ et H₁ et déterminez si le test est unilatéral ou bilatéral.
Calculez la statistique de test : (x̄ − μ₀)/(σ/√n), ou avec s et t.
Comparez avec la valeur critique ou trouvez la valeur p.
Rejetez H₀ si la statistique dépasse la valeur critique (p inférieure à α), et énoncez la conclusion en mots.
2Exercices
1.Statistiques de la pratique fondée sur les preuvesMoyen
Exercice d’entraînement (valeurs fictives, pas une recommandation clinique). Dans une étude de cohorte, les personnes exposées ont apporté 3600 personnes-années avec 29 nouveaux cas, et les personnes non exposées 2500 personnes-années avec 10 nouveaux cas. Trouvez le rapport des taux d’incidence IRR (exposés par rapport aux non-exposés). Arrondissez à deux décimales.
exposés: 29/3600 PYnon exposés: 10/2500 PY
IRR =
2.Statistiques de la pratique fondée sur les preuvesDifficile
Exercice d’entraînement (valeurs fictives, pas une recommandation clinique). 10 000 personnes sont dépistées avec un test de sensibilité 77 % et de spécificité 92 %. La prévalence de la maladie est de 5 %. Combien de résultats positifs n₊ attend-on au total ?
N = 10 000p = 5%Se = 77%Sp = 92%
n₊ =
3.Statistique descriptiveMoyen
Trouve l'écart-type d'échantillon s des données : 45, 44, 53, 18, 47, 13, 25.
n = 7
s =
4.Statistique descriptiveDifficile
Une grandeur suit une loi normale de moyenne 50 et d'écart-type 5. Quelle proportion P des valeurs est supérieure à 44 ?
μ = 50σ = 5x = 44
P =
5.Intervalles de confianceMoyen
Un échantillon de 15 éléments a une moyenne de 37 et un écart-type s = 1,5. La population est approximativement normale. Trouvez la borne inférieure de l’intervalle de confiance à 90 % pour la moyenne.
n = 15x̄ = 37s = 1,590%t(14) = 1,761
borne inférieure =
6.Intervalles de confianceDifficile
Les diamètres de 15 arbres usinés ont un écart-type d’échantillon de 3,9 µm. En supposant les diamètres normalement distribués, trouvez la borne inférieure σ de l’intervalle de confiance à 95 % pour l’écart-type de la population. Avec df = 14, 2,5 % de la loi du χ² se trouve en dessous de 5,629 et 2,5 % au-dessus de 26,119.
n = 15s = 3,9 µmχ² = 5,629, 26,119
σ = µm
7.Tests d'hypothèse et intervalles de confianceMoyen
Deux lignes de production fabriquent la même pièce. Ligne 1 : un échantillon de 30 pièces a une longueur moyenne de 45,5 mm, et l’écart-type connu de la ligne vaut 19 mm. Ligne 2 : un échantillon de 80 pièces a une moyenne de 51,4 mm, écart-type connu 17 mm. Trouvez la statistique de test z pour H₀ : μ₁ = μ₂, en prenant la différence x̄₁ − x̄₂ (ligne 1 moins ligne 2).
8.Tests d'hypothèse et intervalles de confianceDifficile
Un échantillon de 36 mesures a une moyenne de 49,7. L'écart-type de la population est 5. Trouve la borne supérieure U de l'intervalle de confiance à 90 % pour la moyenne.
x̄ = 49,7σ = 5n = 3690%
U =
3Solutions
1.Statistiques de la pratique fondée sur les preuves
Réponse: IRR = 2,01
Rapports de vraisemblance et mesures du risque : RV+ = sensibilité/(1 − spécificité), RV− = (1 − sensibilité)/spécificité. Dans un essai, EER et CER sont les taux d’événements avec et sans traitement : RR = EER/CER, RRA = CER − EER, RRR = RRA/CER et NNT = 1/RRA, arrondi au supérieur. Dans une étude cas-témoins, seul l’odds ratio OR = ad/(bc) est utilisable. Un taux d’incidence = nouveaux cas/personnes-temps.
Taux d’incidence
exposés: 29/3600 = 8,056 pour 1000 personnes-années
non exposés: 10/2500 = 4 pour 1000 personnes-années
Rapport des taux
IRR = 8,056/4 = 2,014 ≈ 2,01
Réponse
IRR = 2,01
2.Statistiques de la pratique fondée sur les preuves
Réponse: n₊ = 1145
Les valeurs prédictives dépendent de la prévalence : VPP = Se·p/(Se·p + (1 − Sp)(1 − p)) et VPN = Sp(1 − p)/(Sp(1 − p) + (1 − Se)p). Avec les rapports de vraisemblance : cote pré-test = p/(1 − p), cote post-test = cote pré-test × RV, probabilité = cote/(1 + cote). Pour une population de N, vrais positifs = N·p·Se et faux positifs = N·(1 − p)·(1 − Sp). NNT = 1/(CER × RRR), arrondi au supérieur.
Avec et sans la maladie
10 000·0,05 = 500
10 000 − 500 = 9500
Tous les résultats positifs
TP = 500·0,77 = 385
FP = 9500·0,08 = 760
n₊ = 385 + 760 = 1145
Réponse
n₊ = 1145
Sur les 1145 positifs, seuls 385 ont la maladie (VPP 33,6 %).
3.Statistique descriptive
Réponse: s = 15,93
Statistique descriptive : la moyenne est la somme divisée par n ; la médiane est la valeur du milieu des données triées (la moyenne des deux valeurs du milieu si n est pair). L'écart-type d'échantillon est s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un score z = (x − μ)/σ indique à combien d'écarts-types une valeur se trouve de la moyenne.
Statistique descriptive : la moyenne est la somme divisée par n ; la médiane est la valeur du milieu des données triées (la moyenne des deux valeurs du milieu si n est pair). L'écart-type d'échantillon est s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un score z = (x − μ)/σ indique à combien d'écarts-types une valeur se trouve de la moyenne.
Centrer-réduire
z = −1,2
Table de la loi normale
Φ(−1,2) = 0,1151
P = 1 − 0,1151 = 0,8849
Réponse
P = 0,8849
5.Intervalles de confiance
Réponse: borne inférieure = 36,32
Intervalle de confiance pour une moyenne : x̄ ± marge d’erreur. Si l’écart-type σ de la population est connu, la marge vaut z·σ/√n ; si l’on ne dispose que de l’écart-type de l’échantillon s, utilisez t à n − 1 degrés de liberté : t·s/√n. Valeurs critiques : z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Pour obtenir une marge E ou moins, il faut n ≥ (z·σ/E)², arrondi à l’entier supérieur.
Valeur critique
df = n − 1 = 14, t = 1,761
Marge d'erreur
E = 1,761·1,5/√15 = 0,682
Intervalle
37 ± 0,682 → [36,32, 37,68]
Réponse
borne inférieure = 36,32
6.Intervalles de confiance
Réponse: σ = 2,855 µm
Intervalle pour une variance : (n − 1)s²/σ² suit une loi du χ² à n − 1 degrés de liberté. L’intervalle à 95 % pour σ² va de (n − 1)s² divisé par la valeur supérieure du χ² (2,5 % au-dessus) à (n − 1)s² divisé par la valeur inférieure du χ² (2,5 % en dessous) ; l’intervalle pour σ est la racine carrée des deux bornes. Il n’est pas symétrique autour de s.
Somme des carrés
(n − 1)s² = 14·3,9² = 212,9
Bornes pour σ²
212,9/26,119 = 8,153
212,9/5,629 = 37,83
Borne pour σ
σ = √8,153 = 2,855 µm
Réponse
σ = 2,855 µm
Intervalle à 95 % pour σ : [2,855, 6,151] µm.
7.Tests d'hypothèse et intervalles de confiance
Réponse: z = −1,492
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Erreur type de la différence
SE = √(19²/30 + 17²/80) = √15,65 = 3,955
Statistique de test
z = (45,5 − 51,4)/3,955 = −1,492
Réponse
z = −1,492
|z| < 1,96, donc H₀ n’est pas rejetée au seuil de 5 % (bilatéral).
8.Tests d'hypothèse et intervalles de confiance
Réponse: U = 51,07
Test sur une moyenne : la statistique de test mesure à combien d'erreurs types la moyenne de l'échantillon se trouve de la valeur affirmée dans H₀ : z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) quand σ est connu, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) quand il est estimé sur l'échantillon. Un intervalle de confiance vaut x̄ ± (valeur critique)·(erreur type).