Dessinez le tableau 2 × 2 et nommez a, b, c et d avant de calculer.
Lisez la sensibilité et la spécificité dans les colonnes, les valeurs prédictives dans les lignes.
Pour une autre prévalence, imaginez 10 000 personnes et remplissez le tableau avec Se, Sp et la prévalence.
Pour un rapport de vraisemblance, convertissez la probabilité en cote, multipliez, puis reconvertissez.
Pour un essai, trouvez d’abord EER et CER ; puis RR = EER/CER, RRA = CER − EER et NNT = 1/RRA arrondi au supérieur.
Statistique descriptive
Moyenne
x̄ = Σx/n
Écart-type d’échantillon
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Médiane
valeur du milieu des données triées
Score z
z = (x − μ)/σ
Loi normale
68% dans ±1σ, 95% dans ±2σ
Intervalles de confiance
σ connu
x̄ ± z·σ/√n
σ inconnu
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z critique
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Taille d’échantillon
n = (z·σ/E)², rounded up
Méthode
Choisissez entre z (σ de la population connu) et t (seulement l’écart type s de l’échantillon, avec n − 1 degrés de liberté).
Trouvez la valeur critique pour le niveau de confiance.
Marge d’erreur : E = valeur critique × écart type/√n.
Intervalle : x̄ ± E.
Tests d'hypothèse et intervalles de confiance
Test z pour une moyenne
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
Test t pour une moyenne
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Bilatéral à 5%
rejeter H0 si |z| > 1,96
Intervalle de confiance
x̄ ± z·σ/√n
Méthode
Énoncez H₀ et H₁ et déterminez si le test est unilatéral ou bilatéral.
Calculez la statistique de test : (x̄ − μ₀)/(σ/√n), ou avec s et t.
Comparez avec la valeur critique ou trouvez la valeur p.
Rejetez H₀ si la statistique dépasse la valeur critique (p inférieure à α), et énoncez la conclusion en mots.
2Exercices
1.Statistiques de la pratique fondée sur les preuvesMoyen
Exercice d’entraînement (valeurs fictives, pas une recommandation clinique). Dans une étude de cohorte, les personnes exposées ont apporté 6400 personnes-années avec 202 nouveaux cas, et les personnes non exposées 500 personnes-années avec 11 nouveaux cas. Trouvez le rapport des taux d’incidence IRR (exposés par rapport aux non-exposés). Arrondissez à deux décimales.
exposés: 202/6400 PYnon exposés: 11/500 PY
IRR =
2.Statistiques de la pratique fondée sur les preuvesDifficile
Exercice d’entraînement (valeurs fictives, pas une recommandation clinique). 10 000 personnes sont dépistées avec un test de sensibilité 98 % et de spécificité 78 %. La prévalence de la maladie est de 29 %. Combien de résultats faux positifs FP attend-on ?
N = 10 000p = 29%Se = 98%Sp = 78%
FP =
3.Statistique descriptiveMoyen
Trouve l'écart-type d'échantillon s des données : 25, 30, 12, 24, 52.
n = 5
s =
4.Statistique descriptiveDifficile
Les notes d'un examen suivent une loi normale de moyenne 500 et d'écart-type 75. Trouve le score z z d'une note de 387,5.
μ = 500σ = 75x = 387,5
z =
5.Intervalles de confianceMoyen
Un échantillon de 11 éléments a une moyenne de 107,5 et un écart-type s = 14. La population est approximativement normale. Trouvez la borne supérieure de l’intervalle de confiance à 95 % pour la moyenne.
n = 11x̄ = 107,5s = 1495%t(10) = 2,228
borne supérieure =
6.Intervalles de confianceDifficile
L’écart-type de la population est 10. Quelle taille d’échantillon n faut-il pour qu’un intervalle de confiance à 90 % pour la moyenne ait une marge d’erreur d’au plus 1 ?
σ = 10E = 190%
n =
7.Tests d'hypothèse et intervalles de confianceMoyen
8 employés passent un test de dactylographie avant et après une formation. Pour chaque personne, on relève la différence d = après − avant (mots par minute). La différence moyenne vaut 2,8 et l’écart-type des différences 6,1. Trouvez la statistique du test apparié t pour H₀ : μd = 0.
n = 8d̄ = 2,8sd = 6,1
t =
8.Tests d'hypothèse et intervalles de confianceDifficile
Dans un essai, 105 patients sur 300 sous traitement A guérissent, et 36 sur 120 sous traitement B. En utilisant la proportion commune, trouvez la statistique de test z pour H₀ : p₁ = p₂.
x₁ = 105n₁ = 300x₂ = 36n₂ = 120
z =
3Solutions
1.Statistiques de la pratique fondée sur les preuves
Réponse: IRR = 1,43
Rapports de vraisemblance et mesures du risque : RV+ = sensibilité/(1 − spécificité), RV− = (1 − sensibilité)/spécificité. Dans un essai, EER et CER sont les taux d’événements avec et sans traitement : RR = EER/CER, RRA = CER − EER, RRR = RRA/CER et NNT = 1/RRA, arrondi au supérieur. Dans une étude cas-témoins, seul l’odds ratio OR = ad/(bc) est utilisable. Un taux d’incidence = nouveaux cas/personnes-temps.
Taux d’incidence
exposés: 202/6400 = 31,56 pour 1000 personnes-années
non exposés: 11/500 = 22 pour 1000 personnes-années
Rapport des taux
IRR = 31,56/22 = 1,435 ≈ 1,43
Réponse
IRR = 1,43
2.Statistiques de la pratique fondée sur les preuves
Réponse: FP = 1562
Les valeurs prédictives dépendent de la prévalence : VPP = Se·p/(Se·p + (1 − Sp)(1 − p)) et VPN = Sp(1 − p)/(Sp(1 − p) + (1 − Se)p). Avec les rapports de vraisemblance : cote pré-test = p/(1 − p), cote post-test = cote pré-test × RV, probabilité = cote/(1 + cote). Pour une population de N, vrais positifs = N·p·Se et faux positifs = N·(1 − p)·(1 − Sp). NNT = 1/(CER × RRR), arrondi au supérieur.
Avec et sans la maladie
10 000·0,29 = 2900
10 000 − 2900 = 7100
Faux positifs
FP = 7100·0,22 = 1562
Réponse
FP = 1562
Sur les 4404 positifs, seuls 2842 ont la maladie (VPP 64,5 %).
3.Statistique descriptive
Réponse: s = 14,66
Statistique descriptive : la moyenne est la somme divisée par n ; la médiane est la valeur du milieu des données triées (la moyenne des deux valeurs du milieu si n est pair). L'écart-type d'échantillon est s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un score z = (x − μ)/σ indique à combien d'écarts-types une valeur se trouve de la moyenne.
Statistique descriptive : la moyenne est la somme divisée par n ; la médiane est la valeur du milieu des données triées (la moyenne des deux valeurs du milieu si n est pair). L'écart-type d'échantillon est s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un score z = (x − μ)/σ indique à combien d'écarts-types une valeur se trouve de la moyenne.
Centrer-réduire
z = (387,5 − 500)/75 = −1,5
Réponse
z = −1,5
5.Intervalles de confiance
Réponse: borne supérieure = 116,9
Intervalle de confiance pour une moyenne : x̄ ± marge d’erreur. Si l’écart-type σ de la population est connu, la marge vaut z·σ/√n ; si l’on ne dispose que de l’écart-type de l’échantillon s, utilisez t à n − 1 degrés de liberté : t·s/√n. Valeurs critiques : z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Pour obtenir une marge E ou moins, il faut n ≥ (z·σ/E)², arrondi à l’entier supérieur.
Valeur critique
df = n − 1 = 10, t = 2,228
Marge d'erreur
E = 2,228·14/√11 = 9,405
Intervalle
107,5 ± 9,405 → [98,1, 116,9]
Réponse
borne supérieure = 116,9
6.Intervalles de confiance
Réponse: n = 271
Intervalle de confiance pour une moyenne : x̄ ± marge d’erreur. Si l’écart-type σ de la population est connu, la marge vaut z·σ/√n ; si l’on ne dispose que de l’écart-type de l’échantillon s, utilisez t à n − 1 degrés de liberté : t·s/√n. Valeurs critiques : z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Pour obtenir une marge E ou moins, il faut n ≥ (z·σ/E)², arrondi à l’entier supérieur.
Résoudre pour n
n = (1,645·10/1)² = 270,6
Arrondir vers le haut
Une taille d’échantillon est un nombre entier, et arrondir vers le bas rendrait la marge trop grande.
n = 271
Réponse
n = 271
7.Tests d'hypothèse et intervalles de confiance
Réponse: t = 1,298
Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).
Erreur type de la différence moyenne
SE = 6,1/√8 = 2,157
Statistique de test
t = 2,8/2,157 = 1,298
Réponse
t = 1,298
Avec df = 7, la valeur critique bilatérale à 5 % vaut 2,365 ; |t| est plus petit, donc H₀ n’est pas rejetée.
8.Tests d'hypothèse et intervalles de confiance
Réponse: z = 0,9802
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Proportions des échantillons
p̂₁ = 105/300 = 0,35
p̂₂ = 36/120 = 0,3
p̂ = 141/420 = 0,3357
Erreur type sous H₀
SE = √(0,3357·0,6643·(1/300 + 1/120)) = 0,05101
Statistique de test
z = (0,35 − 0,3)/0,05101 = 0,9802
Réponse
z = 0,9802
|z| < 1,96, donc H₀ n’est pas rejetée au seuil de 5 % (bilatéral).