Dessinez le tableau 2 × 2 et nommez a, b, c et d avant de calculer.
Lisez la sensibilité et la spécificité dans les colonnes, les valeurs prédictives dans les lignes.
Pour une autre prévalence, imaginez 10 000 personnes et remplissez le tableau avec Se, Sp et la prévalence.
Pour un rapport de vraisemblance, convertissez la probabilité en cote, multipliez, puis reconvertissez.
Pour un essai, trouvez d’abord EER et CER ; puis RR = EER/CER, RRA = CER − EER et NNT = 1/RRA arrondi au supérieur.
Statistique descriptive
Moyenne
x̄ = Σx/n
Écart-type d’échantillon
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Médiane
valeur du milieu des données triées
Score z
z = (x − μ)/σ
Loi normale
68% dans ±1σ, 95% dans ±2σ
Intervalles de confiance
σ connu
x̄ ± z·σ/√n
σ inconnu
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z critique
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Taille d’échantillon
n = (z·σ/E)², rounded up
Méthode
Choisissez entre z (σ de la population connu) et t (seulement l’écart type s de l’échantillon, avec n − 1 degrés de liberté).
Trouvez la valeur critique pour le niveau de confiance.
Marge d’erreur : E = valeur critique × écart type/√n.
Intervalle : x̄ ± E.
Tests d'hypothèse et intervalles de confiance
Test z pour une moyenne
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
Test t pour une moyenne
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Bilatéral à 5%
rejeter H0 si |z| > 1,96
Intervalle de confiance
x̄ ± z·σ/√n
Méthode
Énoncez H₀ et H₁ et déterminez si le test est unilatéral ou bilatéral.
Calculez la statistique de test : (x̄ − μ₀)/(σ/√n), ou avec s et t.
Comparez avec la valeur critique ou trouvez la valeur p.
Rejetez H₀ si la statistique dépasse la valeur critique (p inférieure à α), et énoncez la conclusion en mots.
2Exercices
1.Statistiques de la pratique fondée sur les preuvesMoyen
Exercice d’entraînement (valeurs fictives, pas une recommandation clinique). Dans une cohorte, des groupes de personnes ont été suivis pendant des durées différentes (voir le tableau : nombre de personnes et années de suivi de chaque groupe). Pendant le suivi, 38 nouveaux cas sont survenus. Trouvez le taux d’incidence IR pour 1000 personnes-années. Arrondissez à une décimale.
2.Statistiques de la pratique fondée sur les preuvesDifficile
Exercice d’entraînement (valeurs fictives, pas une recommandation clinique). Un patient a une probabilité pré-test de 40 % pour une maladie. Un test de sensibilité 73 % et de spécificité 69 % donne un résultat positive. Trouvez la probabilité post-test p′ de la maladie sous forme de pourcentage. Arrondissez à une décimale.
pré-test 40%Se = 73%Sp = 69%positive
p′ = %
3.Statistique descriptiveMoyen
Trouve l'écart-type d'échantillon s des données : 60, 51, 60, 34, 48, 10.
n = 6
s =
4.Statistique descriptiveDifficile
Les notes d'un examen suivent une loi normale de moyenne 50 et d'écart-type 10. Trouve le score z z d'une note de 38.
μ = 50σ = 10x = 38
z =
5.Intervalles de confianceMoyen
Un intervalle de confiance à 95 % pour une moyenne, fondé sur 50 observations et un σ connu, a une marge d’erreur de 8,1. Quelle est la marge d’erreur E₂ d’un intervalle à 99 % obtenu avec les mêmes données ?
95%n₁ = 50E₁ = 8,199%
E₂ =
6.Intervalles de confianceDifficile
L’écart-type de la population est 9. Quelle taille d’échantillon n faut-il pour qu’un intervalle de confiance à 90 % pour la moyenne ait une marge d’erreur d’au plus 2,5 ?
σ = 9E = 2,590%
n =
7.Tests d'hypothèse et intervalles de confianceMoyen
12 employés passent un test de dactylographie avant et après une formation. Pour chaque personne, on relève la différence d = après − avant (mots par minute). La différence moyenne vaut −0,89 et l’écart-type des différences 2,8. Trouvez la statistique du test apparié t pour H₀ : μd = 0.
n = 12d̄ = −0,89sd = 2,8
t =
8.Tests d'hypothèse et intervalles de confianceDifficile
Un test z unilatéral de H₀ : μ = 500 contre H₁ : μ < 500 est réalisé au seuil α = 0.01 avec un échantillon de 64 ; l’écart-type est connu et vaut 20. En réalité, la moyenne vaut 494.5. Trouvez la puissance 1 − β du test en pourcentage.
μ₀ = 500μ = 494,5σ = 20n = 64α = 0,01
1 − β = %
3Solutions
1.Statistiques de la pratique fondée sur les preuves
Réponse: IR = 38 pour 1000 personnes-années
Rapports de vraisemblance et mesures du risque : RV+ = sensibilité/(1 − spécificité), RV− = (1 − sensibilité)/spécificité. Dans un essai, EER et CER sont les taux d’événements avec et sans traitement : RR = EER/CER, RRA = CER − EER, RRR = RRA/CER et NNT = 1/RRA, arrondi au supérieur. Dans une étude cas-témoins, seul l’odds ratio OR = ad/(bc) est utilisable. Un taux d’incidence = nouveaux cas/personnes-temps.
Personnes-années
PY = 570·1 + 250·1 + 360·0,5 = 1000
Taux d’incidence
IR = 38/1000·1000 = 38 pour 1000 personnes-années
Réponse
IR = 38 pour 1000 personnes-années
2.Statistiques de la pratique fondée sur les preuves
Réponse: p′ = 61,1 %
Les valeurs prédictives dépendent de la prévalence : VPP = Se·p/(Se·p + (1 − Sp)(1 − p)) et VPN = Sp(1 − p)/(Sp(1 − p) + (1 − Se)p). Avec les rapports de vraisemblance : cote pré-test = p/(1 − p), cote post-test = cote pré-test × RV, probabilité = cote/(1 + cote). Pour une population de N, vrais positifs = N·p·Se et faux positifs = N·(1 − p)·(1 − Sp). NNT = 1/(CER × RRR), arrondi au supérieur.
Rapport de vraisemblance
LR+ = 0,73/(1 − 0,69) = 2,355
Cote pré-test
0,4/(1 − 0,4) = 0,6667
Cote post-test
0,6667·2,355 = 1,57
Probabilité post-test
p′ = 1,57/(1 + 1,57) = 0,6109 ≈ 61,1%
Réponse
p′ = 61,1%
3.Statistique descriptive
Réponse: s = 19,15
Statistique descriptive : la moyenne est la somme divisée par n ; la médiane est la valeur du milieu des données triées (la moyenne des deux valeurs du milieu si n est pair). L'écart-type d'échantillon est s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un score z = (x − μ)/σ indique à combien d'écarts-types une valeur se trouve de la moyenne.
Statistique descriptive : la moyenne est la somme divisée par n ; la médiane est la valeur du milieu des données triées (la moyenne des deux valeurs du milieu si n est pair). L'écart-type d'échantillon est s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un score z = (x − μ)/σ indique à combien d'écarts-types une valeur se trouve de la moyenne.
Centrer-réduire
z = (38 − 50)/10 = −1,2
Réponse
z = −1,2
5.Intervalles de confiance
Réponse: E₂ = 10,65
Intervalle de confiance pour une moyenne : x̄ ± marge d’erreur. Si l’écart-type σ de la population est connu, la marge vaut z·σ/√n ; si l’on ne dispose que de l’écart-type de l’échantillon s, utilisez t à n − 1 degrés de liberté : t·s/√n. Valeurs critiques : z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Pour obtenir une marge E ou moins, il faut n ≥ (z·σ/E)², arrondi à l’entier supérieur.
Rapport des marges
E₂/E₁ = (2,576/1,96)·√(50/50) = 1,314
Nouvelle marge
E₂ = 8,1·1,314 = 10,65
Réponse
E₂ = 10,65
6.Intervalles de confiance
Réponse: n = 36
Intervalle de confiance pour une moyenne : x̄ ± marge d’erreur. Si l’écart-type σ de la population est connu, la marge vaut z·σ/√n ; si l’on ne dispose que de l’écart-type de l’échantillon s, utilisez t à n − 1 degrés de liberté : t·s/√n. Valeurs critiques : z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Pour obtenir une marge E ou moins, il faut n ≥ (z·σ/E)², arrondi à l’entier supérieur.
Résoudre pour n
n = (1,645·9/2,5)² = 35,07
Arrondir vers le haut
Une taille d’échantillon est un nombre entier, et arrondir vers le bas rendrait la marge trop grande.
n = 36
Réponse
n = 36
7.Tests d'hypothèse et intervalles de confiance
Réponse: t = −1,101
Test sur une moyenne : la statistique de test mesure à combien d'erreurs types la moyenne de l'échantillon se trouve de la valeur affirmée dans H₀ : z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) quand σ est connu, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) quand il est estimé sur l'échantillon. Un intervalle de confiance vaut x̄ ± (valeur critique)·(erreur type).
Erreur type de la différence moyenne
SE = 2,8/√12 = 0,8083
Statistique de test
t = −0,89/0,8083 = −1,101
Réponse
t = −1,101
Avec df = 11, la valeur critique bilatérale à 5 % vaut 2,201 ; |t| est plus petit, donc H₀ n’est pas rejetée.
8.Tests d'hypothèse et intervalles de confiance
Réponse: 1 − β = 44,99 %
Puissance d’un test : la puissance 1 − β est la probabilité de rejeter H₀ quand elle est fausse. Trouvez le seuil x̄c à partir de μ₀ et z_α, puis calculez la probabilité de dépasser x̄c avec la vraie moyenne : z = (x̄c − μ)/(σ/√n).